【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值(含详解).ppt，共(33)页，598.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2增函数减函数定义当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是______

__当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是______图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______增函数减函数上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间

具有(严格的)，区间D叫做函数y＝f(x)的．单调性单调区间2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)

≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|答案：B[小题体验]2．y＝x2－6x＋5的单调减区间为________．解析：y＝x2－6

x＋5＝(x－3)2－4，表示开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]．答案：(－∞，3]3．若函数f(x)＝1x在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为34，则a＝________．解析：由f(x)＝1x的图象知，f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，

＋∞)，∴f(x)＝1x在[2，a]上也是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝12，f(x)min＝f(a)＝1a，∴12＋1a＝34，∴a＝4．答案：41．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在

两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1x．3．两函数f(x)，g(x)在

x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1fx等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7][

小题纠偏]2．函数f(x)＝2x－1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为______．解析：易知f(x)在[－2,0]上是减函数，∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－23－(－2)＝43．答案：43[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x

)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|考点一函数单调性的判断解析：当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈

32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x＋1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．答案：C2．试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a

x－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x

1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．法二(导数法)：f′(x)＝ax′x－1－

axx－1′x－12＝ax－1－axx－12＝－ax－12．当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上递增．3．判断函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上

的单调性．解：法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1．∵x1>－1，x2>－1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，又x1<x2，∴x2－x1>0，∴x2－x

1x1＋1x2＋1>0，即y1－y2>0．∴y1>y2，∴函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y＝x＋2x＋1＝1＋1x＋1．∵y＝x＋1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y＝1x＋1在(－1，＋∞)上是减函数，∴y＝1＋1x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数

y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤：取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论[典例引领]考点二求函数的单调

区间解：(1)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x＜0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]

，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；解：令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2．∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的

定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x

2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．(2)y＝log12(x2－3x＋2)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒]单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用

“或”联结．[即时应用]1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A．(－∞，0)B．0，12C．[0，＋∞)D．12，＋∞解析：y＝|x|(1－x)＝x1－x，x≥0，－x

1－x，x<0＝－x2＋x，x≥0，x2－x，x<0，＝－x－122＋14，x≥0，x－122－14，x<0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在0，12上单调递增．故选B．答案：B2．函数y＝1

3223+1xx的单调递增区间为()A．(1，＋∞)B．－∞，34C．12，＋∞D．34，＋∞解析：令u＝2x2－3x＋1＝2x－342－18．因为u＝

2x－342－18在－∞，34上单调递减，函数y＝13u在R上单调递减．所以y＝13223+1xx在－∞，34上单调递增．答案：B考点三函数单调性的应用[锁定考向]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现

，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．函数f(x)＝1

x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．解析：当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2．故函数f(x)的最大值为2．答案：2角度二：

比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2017·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bB．c>b

>aC．a>c>bD．b>a>c解析：因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f－12＝f52．由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e，∴f(2)>f

52>f(e)，∴b>a>c．答案：D解析：由f(x)为R上的减函数且f1x<f(1)，得1x>1，x≠0，即|x|<1，x≠0.∴－1<x

<0或0<x<1．故选C．答案：C角度三：解函数不等式3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1x<f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)角度四：利用单调性求参

数的取值范围或值4．已知函数f(x)＝a－2x－1，x≤1，logax，x>1，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：要使函数f(x)在R上单调递增，则有a>1，a－2>0，f1

≤0，即a>1，a>2，a－2－1≤0，解得2<a≤3，即实数a的取值范围是(2,3]．答案：(2,3]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数最值(五种常用方法)[通法在握]方法步骤单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出

函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元

转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，

使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒]①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单

调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)[演练冲关]解析：因为函数f(x)在(

－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1，故选A．答案：A2．已知函数f(x)＝x3，x≤0，lnx＋1，x>0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋

∞)C．(－1,2)D．(－2,1)解析：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于

2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1．答案：D3．函数f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上的值域为12，2，则a＝________，b＝________．解

析：∵f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上是增函数，∴f12＝12，f(2)＝2．即－2a＋b＝12，－a2＋b＝2，解得a＝1，b＝52．答案：152