【文档说明】高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习08 (含答案详解).doc，共(7)页，165.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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小题专项训练8立体几何一、选择题1．若直线a∥平面α，直线b∥直线a，点A∈b且A∈α，则b与α的位置关系是()A．b∩α＝AB．b⊂αC．b∥αD．b∥α或b⊂α【答案】B【解析】由a∥α，b∥a⇒b∥α或b⊂α.又b过α内一

点，故b⊂α.2．(陕西模拟)已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是m＝(2，－1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D

．P(3，－3,4)【答案】A【解析】记P(x，y，z)，则MP→＝(x－1，y＋1，z－2)，当MP→⊥α，即MP→·m＝2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，即2x－y＋2z＝7时，点P(x，y，z)在平面α内，验证知只有A满足．故选A

．3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由α⊥β，b⊥m，得b⊥α.又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b

”是“α⊥β”的必要不充分条件．故选B．4．(江苏宿迁期末)如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h.若在容器内放入一个半径为1的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球

的球心O(水没有溢出)，则h的值为()A．2π9B．2C．323D．32【答案】D【解析】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，倒圆锥的底面半径OC＝2tan30°＝233.放入小球之前，水深为h.，则底面半径

为htan30°＝33h.由题意得13π33h2h＝13π2332×2－12×43π×13，解得h＝32.故选D．5．如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上．若圆

柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为16π，则圆柱的体积为()A．2πB．8π3C．6πD．8π【答案】C【解析】设球的半径为R，则4πR2＝16，解得R＝2.设圆锥的高O1A＝O2B＝x，底面圆半径O1C＝O

2D＝y，则圆锥的母线长AC＝x2＋y2，圆柱的高为4－2x.由圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，得2πy(4－2x)＝2πyx2＋y2，则y2＝3x2－16x＋16.在Rt△OO1C中，可得(2－x)2＋y2＝4，解得x＝4，y＝0(舍去)或

x＝1，y＝3.所以圆柱的体积为V＝πy2(4－2x)＝6π.故选C．6．(广东珠海一模)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AA1＝3，AB＝BC＝CD＝3，∠BCD＝120°，则直线A1B与B1C所成的角的余弦值为()A．78B．58C．3

8D．68【答案】A【解析】以A为原点，在平面ABCD中，过点A的AD的垂线为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,3)，B32，32，0，B132，32，3，C32，332，0，A1B→

＝32，32，－3，B1C→＝(0，3，－3)．设直线A1B与B1C所成的角为θ，则cosθ＝|A1B→·B1C→||A1B→||B1C→|＝21212＝78.故选A．7．已知ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中

点，则MN与()A．AC，BD之一垂直B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直【答案】B【解析】∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.连接AN，CN，MN，则AN＝CN.在等腰△ANC中，∵M为AC的中点，∴MN⊥AC.同理可得

MN⊥BD.故选B．8．(福建福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中真命题

的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于①，若存在平面α，使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，∴①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，∴②正确；对于③，注意到

过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，∴③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b

相交于一定点N，∴④正确．综上，②③④正确．故选C．9．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A．34

B．34C．54D．74【答案】A【解析】如图，建立空间直角坐标系A－xyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，3，0)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BC→＝x，y，z

·－1，3，0＝0，n·BS→＝x，y，z·－2，0，3＝0，可取n＝(3，3，2)．又AB→＝(2,0,0)，所以当θ为AB与平面SBC所成的角时，sinθ＝|cos〈AB→，n〉|＝|AB→·n||AB→||n|＝62×1

6＝34.10．(江西模拟)如图所示，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为()A．18＋32B．613＋32C．65＋

92D．10＋32＋410【答案】B【解析】在平面A1B1C1D1中，双向延长EF，分别与A1D1，A1B1的延长线交于点P，Q，连接AP交DD1于点M，连接AQ交BB1于点N，则过A，E，F三点该正方体的截面为五边形AMEFN.易得D1P＝B1Q＝12AD＝2，

则DM＝BN＝4，D1M＝B1N＝2，所以AM＝AN＝62＋42＝213，ME＝NF＝22＋32＝13，EF＝32＋32＝32.所以截面的周长为613＋32.故选B．11．已知球O1和球O2的半径分别为1和2，且球心距为5.若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为()A．2πB．π

C．4π5D．π2【答案】C【解析】作出两球面相交的一个截面图如图所示，AB为相交圆的直径．由条件知O1A＝1，O2A＝2，O1O2＝5，∴△AO1O2为直角三角形．由三角形面积公式，得AC＝O1A·O2AO1O2＝25，∴所求圆的面积为π·

252＝4π5.12．(河北唐山模拟)设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心，球O的表面积为100π，且△ABC是边长为43的正三角形，则三棱锥O－ABC的体积为()A．12B．24C．243D．123【答案】D【解析】∵球O的表面积为

100π＝4πr2，∴球O的半径为5.如图，取△ABC的中心H，连接OH，连接AH并延长交BC于点M，则AM＝432－4322＝6，AH＝23AM＝4，∴OH＝OA2－AH2＝52－42＝3，∴三棱锥O－ABC的体积为V＝13×34×(43)2×3＝123.二、填

空题13．设一正方体外接球的体积为V1，内切球的体积为V2，则V1V2＝________.【答案】33【解析】设正方体的边长为1，则外接球半径r1＝32，内切球半径r2＝12，所以V1V2＝43πr3143πr32＝3

3.14．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件________时，有m∥β.(填所选条件的序号)【答案】③⑤【解析】根据面面平行的性质定理得，当m⊂α，α∥β时，m∥β，故满足条

件③⑤时，有m∥β.15．(辽宁沈阳三模)如图，将一块边长为10cm的正方形铁片裁下四个全等的等腰三角形(阴影部分)把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，若被裁下阴影部分的总面积为20cm2，则正四棱锥的体积为________cm3.【答案】32103【解析】如图，设

所截等腰三角形的底边边长为xcm，由4×12×5×x＝20，解得x＝2.所得四棱锥的底面边长为42，四棱锥的斜高EF＝25＋1－222＝32，四棱锥的高为OE＝322－222＝10，所以该容器的体积V＝13×(42)2×10＝32103.16．(甘肃天水一模)四棱锥P－ABCD的三

视图如图，且四棱锥P－ABCD的五个顶点都在同一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为________．【答案】12π【解析】将三视图还原为直观图如图中四棱锥

P－ABCD，可得四棱锥P－ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG，OA，AG.∵直线EF被球面所截得的线段长为22，即正方体面对角线长也是

22，∴AG＝2＝22a，得a＝2.在Rt△OGA中，OG＝12a＝1，AG＝2，则AO＝3，即外接球半径R＝3，∴所求外接球的表面积为4πR2＝12π.