【文档说明】高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习07 (含答案详解).doc，共(6)页，115.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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小题专项训练7平面向量一、选择题1．(福建厦门模拟)已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量AC→＝(－2,3)，则向量BC→＝()A．(3，－2)B．(2，－2)C．(－3，－2)D．(－3,2)【答案】D【解析】由A(－1,

1)，B(0,2)，可得AB→＝(1,1)，所以BC→＝AC→－AB→＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．故选D．2．平面四边形ABCD中，AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则四边形ABCD是()

A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】因为AB→＋CD→＝0，所以AB→＝DC→，四边形ABCD是平行四边形．又(AB→－AD→)·AC→＝DB→·AC→＝0，则四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．3

．(河北石家庄模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，c＝(2,4)，且(2a－5b)⊥c，则实数m＝()A．－310B．310C．110D．－110【答案】B【解析】因为2a－5b＝(4,2)－(5,5m)＝(－1,2－5m)．又(2a－

5b)⊥c，所以(2a－5b)·c＝0，即(－1,2－5m)·(2,4)＝－2＋4(2－5m)＝0，解得m＝310.4．已知平面向量a，b的夹角为2π3，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于()A．3B．23C．3D．4【答案】D【解析】因为a·(a－b)＝a·

a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.5．(广东潮州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a＋b在a的方向上的投影为32＋1，则向量a与b的夹角为()A．π6B．π4C．π3D．π2【答案】A【解析】设向量

a，b的夹角为θ，由a，b为单位向量可得|a|＝|b|＝1.a＋b在a方向上的投影为a＋b·a|a|＝a2＋ab|a|＝|a|2＋|a||b|cosθ|a|＝1＋cosθ，所以1＋cosθ＝32＋1，得cosθ＝32.又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.故选A．6．(辽宁模拟)赵爽是我国古代

数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等

的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，则()A．AD→＝213AC→＋913AB→B．AD→＝29AC→＋127AB→C．AD→＝313AC→＋613AB→D．AD→＝313AC→＋913AB→【答案】D【解析】由题图的特征及DF＝2AF，易得BD→＝13BE→，

CE→＝13CF→，AF→＝13AD→，所以AD→＝AB→＋13BE→，BE→＝BC→＋13CF→，CF→＝CA→＋13AD→.所以AD→＝AB→＋13BC→＋13CA→＋13AD→.所以2627AD→＝AB→＋13BC→＋19CA→＝AB→＋13(AC→－AB→)－19AC

→＝29AC→＋23AB→.所以AD→＝313AC→＋913AB→.故选D．7．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A．－2，12B．－2，12∪12，＋∞C．(－2，＋∞)D．[－2，＋∞)【答案】B【解析】当a，b共线

时，2k－1＝0，解得k＝12，此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不共线．由a·b＝2＋k>0，得k>－2.又k≠12，故实数k的取值范围是－2，12∪12，＋∞.故选B．8．(安徽合肥校级联考)在边长为1的正三

角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则AD→·AE→等于()A．16B．13C．29D．1318【答案】D【解析】如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A0，32，D－16，0，E16，0，∴AD→＝－16，－32，AE→

＝16，－32，∴AD→·AE→＝－16，－32·16，－32＝－136＋34＝1318.9．已知向量OA→＝(3,1)，OB→＝(－1，3)，OC→＝mOA→－nOB→(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|OC→|的最小值为()A．

52B．102C．5D．10【答案】C【解析】由OA→＝(3,1)，OB→＝(－1,3)，得OC→＝mOA→－nOB→＝(3m＋n，m－3n)．∵m＋n＝1(m>0，n>0)，∴n＝1－m且0<m<1.∴OC→＝(

1＋2m,4m－3)，则|OC→|＝1＋2m2＋4m－32＝20m－122＋5(0<m<1)．∴当m＝12时，|OC→|min＝5.10．(湖南长沙模拟)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，

设点D，E满足AD→＝λAB→，AE→＝(1－λ)AC→(λ∈R)，若BE→·CD→＝5，则λ＝()A．2B．3C．95D．－13【答案】B【解析】由题意得BE→＝AE→－AB→＝(1－λ)AC→－AB→，CD→＝AD→－AC→

＝λAB→－AC→，所以BE→·CD→＝(λ－1)AC→2－λAB→2＋(1＋λ－λ2)AC→·AB→.又∠A＝90°，则AC→·AB→＝0.而AB→＝1，AC→＝2，所以4(λ－1)－λ＝5，解得λ＝3.故选B．11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且向量a，b

不共线，则下列说法错误的是()A．|a|＝|b|＝1B．(a＋b)⊥(a－b)C．a与b的夹角等于α－βD．a与b在a＋b方向上的投影相等【答案】C【解析】由夹角公式可得cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos

(α－β)，当α－β∈[0，π]时，〈a，b〉＝α－β，当α－β∉[0，π]时，〈a，b〉≠α－β，C错误．易得A，B，D正确．故选C．12．(四川雅安模拟)如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径

的圆弧DEM上变动，若AP→＝λED→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是()A．[－2，1]B．[－2，2]C．－12，12D．－22，22【答案】A【解析】以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1,0

)，D(0,1)，F32，12，P(cosα，sinα)(－90°≤α≤90°)，则AP→＝(cosα，sinα)，ED→＝(－1,1)，AF→＝32，12.∵AP→＝λED→＋μAF→，∴cosα＝－λ＋32μ，sinα＝λ＋12μ，解得

λ＝14(3sinα－cosα)，μ＝12(cosα＋sinα)．∴2λ－μ＝sinα－cosα＝2sin(α－45°)．∵－90°≤α≤90°，∴－2≤2sin(α－45°)≤1.故选A．二、填空题13．

已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n＝________.【答案】－3【解析】由a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2

，n＝5，故m－n＝－3.14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝23，a与b的夹角的余弦值为sin17π3，则b·(2a－b)的值为________．【答案】－18【解析】因为a与b的夹角的余弦值为sin17π3＝－32，所以a·b＝－3

，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.15．已知A，B，C为单位圆O上任意三点，OC→·OB→＝0，OB→·OA→＝－12，OA→·OC→＝－32，若OA的中点为E，则CE→·CB→的值为________．【答案】3＋34【解析】由题意，设B(1,0)，C(0,1)，A(x，y)，则OA→＝

(x，y)，∴OB→·OA→＝x＝－12，OA→·OC→＝y＝－32.∴A－12，－32，OA的中点为E－14，－34.∴CE→·CB→＝－14，－34－1·(1，－1)＝－14＋34＋1＝3＋34.16．(江苏南京模拟)O是

平面α上一定点，A，B，C是平面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角，给出以下命题：①若点P满足OP→＝OA→＋PB→＋PC→，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②若点P满足OP→＝OA→＋λ

AB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ>0)，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③若点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|sinB＋AC→|AC→|sinC(λ>0)，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④若点P满足

OP→＝OA→＋λAB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC(λ>0)，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．其中正确命题的序号是________．【答案】②③④【解析】对于①，由OP→＝OA→＋PB→＋P

C→，知PA→＋PB→＋PC→＝0，故点P是△ABC的重心，①错误；对于②，由OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，知AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，∵AB→|AB→|与AC→|AC→|分别表示AB→与

AC→方向上的单位向量，故AP平分∠BAC，∴△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，由OP→＝OA→＋λAB→|AB→|sinB＋AC→|AC→|sinC，知AP→＝λAB→|AB→|sinB＋AC→|AC→|sinC，在△A

BC中，∵|AB→|sinB，|AC→|sinC都表示BC边上的高h，故AP→＝λh(AB→＋AC→)＝2λhAD→(其中D为BC的中点)，即点P在BC边上的中线所在直线上，∴△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③

正确；对于④，由已知得AP→＝λAB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC，则AP→·BC→＝λAB→|AB→|cosB＋AC→|AC→|cosC·BC→，得AP→·BC→＝0，即点P在边BC上的高线所在直线上，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集

合中，④正确．综上，②③④正确．