【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.4《数学归纳法》(含答案).ppt，共(61)页，981.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章数列4.4*数学归纳法情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，

体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生逻辑推理的核心素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难

课堂小结·提素养课时分层作业4我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏(可以说明没有歧视妇女的意思)，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的

儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？„„如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业5为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第

n＋1代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了．思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业61．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当

n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法．n＝k＋1情境导学·探新

知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业7思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?[提示]不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.情境导学·探新知返首页合作探

究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业82．数学归纳法的框图表示情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业91．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可．()(2)数学归纳法证明3n≥n

2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3．()(3)设Sk＝1k＋1k＋1＋1k＋2＋„＋1k＋k，则Sk＋1＝1k＋1k＋1＋1k＋2＋„＋1k＋1＋k＋1．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业10[提示](

1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝1k＋1＋1k＋2＋„＋12k＋12k＋1＋12k＋1.[答案](1)×(2)√(3)×情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业112．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋„＋an＋

1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3C[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑

难课堂小结·提素养课时分层作业123．用数学归纳法证明1＋2＋3＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是()A．(2k＋1)＋(2k＋2)B．(2k－1)

＋(2k＋1)C．(2k＋2)＋(2k＋3)D．(2k＋2)＋(2k＋4)C[当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋„＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋„＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2

k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业134．已知f(n)＝1＋12＋13＋„＋1n(n∈N*)，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f

(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72，由此推测，当n＞2时，有________．[答案]f(2n)＞n＋22情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业145．已知数列{an}

满足a1＝a，2an＋1－anan＋1＝1，猜想{an}的通项an＝________.n－1－n－2an－n－1a[a1＝a，由2an＋1－anan＋1＝1得a2＝12－a，a3＝2－a3－2a，a4＝3－2a4－3a，所以

可猜想an＝n－1－n－2an－n－1a.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业15合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业16用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明(n

＋1)·(n＋2)·„·(n＋n)＝2n×1×3ׄ×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋„＋n22n－12n＋1＝

nn＋122n＋1(n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业17(1)2(2k＋1)[令f(n)＝(n＋1)(n＋2)„(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)„(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋

3)„(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以fk＋1fk＝2k＋12k＋2k＋1＝2(2k＋1)．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业18(2)证明：①当n＝1时，121×3＝1×22×3成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有121×3＋

223×5＋„＋k22k－12k＋1＝kk＋122k＋1，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19则当n＝k＋1时，121×3＋223×5＋„＋k22k－12k＋1＋k＋122k＋1

2k＋3＝kk＋122k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝k＋1k＋222k＋3，即当n＝k＋1时等式也成立．由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20

用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点1弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；2弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；3证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变

形.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业21[跟进训练]1．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋„＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1nn＋12.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素

养课时分层作业22[证明]①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×22＝1，左边＝右边，等式成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋„＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1kk＋12，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养

课时分层作业23那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋„＋(－1)k－1k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·kk＋12＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)k＋1－k2＝(－1)k·k＋1k＋22，所以当n＝k＋1时，

等式也成立，由①②知，对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋„＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1nn＋12.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业24归纳—猜想—证明【例2】已知数列11×4，1

4×7，17×10，„，13n－23n＋1的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课

时分层作业25[解]S1＝11×4＝14；S2＝14＋14×7＝27；S3＝27＋17×10＝310；S4＝310＋110×13＝413.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26可

以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝n3n＋1.下面用数学归纳法证明这个猜想．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27(

1)当n＝1时，左边＝S1＝14，右边＝n3n＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即11×

4＋14×7＋17×10＋„＋13k－23k＋1＝k3k＋1，则当n＝k＋1时，11×4＋14×7＋17×10＋„＋13k－23k＋1＋1[3k＋1－2][3k＋1＋1]情境导学·探

新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业29＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝3k2＋4k＋13k＋13k＋4＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N

*都成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业301．“归纳—猜想—证明”的一般环节情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业312．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项

和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，„)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业32[跟进训练]2．已知数列{a

n}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课

时分层作业33[解]当n＝2时，S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；当n＝3时，S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；当n＝4时，S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，

解得a4＝9.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝2k＋1，Sk＝k3＋2k＋12＝k2＋2k，情境导

学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业35则当n＝k＋1时，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk，ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)

＝2(k＋1)＋1，所以猜想成立．综上所述，对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业36用数学归纳法证明不等式[探究问题]1．你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，nn－1，n

n＋1(n∈N*)；(2)1n2，1nn－1，1nn＋1(n∈N*，n>1)；(3)12n＋1＋12n，12n－1(n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业37[提

示](1)nn－1<n<nn＋1；(2)1nn＋1<1n2<1nn－1；(3)∵12n＋1＋12n<12n＋12n＝22n＝12n－1，∴12n＋1＋12n<12n－1.情境导学·探新知返首

页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业382．结合探究问题1，试给出一些常见的不等式放缩方法．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业39[提示]在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如：(1

)1k＝2k＋k>2k＋k＋1＝2k＋1－kk∈N*，k>1，1k＝2k＋k<2k＋k－1＝2k－k－1k∈N*，k>1.(2)1k2<1kk－1＝1k－1－1k(k≥2)，1k2>1kk＋1＝1k－1k＋1.

(3)1k2<1k2－1＝1k－1k＋1＝121k－1－1k＋1(k≥2)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业40【例3】用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋„＋12n≤12＋

n(n∈N*)．[思路探究]按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业41[证明](1)当n＝1时，32≤1

＋12≤32，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋„＋12k≤12＋k，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业42则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋„＋12k＋12k＋1＋

12k＋2＋„＋12k＋2k>1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业43又1＋12＋13＋„＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋„＋12k＋2k<12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题

成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业44用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知fk＞gk，求证fk＋1＞gk＋1

时应注意灵活运用证明不等式的一般方法比较法、分析法、综合法.具体证明过程中要注意以下两点：1先凑假设，作等价变换；2瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业45[跟进训练]3．试用数学归纳法证明1＋

122＋132＋„＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业46[证明](1)当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，即1＋122＋132＋„

＋1k2<2－1k.则当n＝k＋1时，1＋122＋132＋„＋1k2＋1k＋12<2－1k＋1k＋12<2－1k＋1kk＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1，命题成立．由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时

均成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业47课堂小结提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业48在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基

础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂

小结·提素养课时分层作业49(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业501．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注

意n必须为()A．n∈N*B．n∈N*，n≥2C．n∈N*，n≥3D．n∈N*，n≥4情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51D[当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立，当n＝4时，64>61不等式成立

，故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为n≥4，n∈N*，故选D.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业522．用数学归纳法证明1＋122＋132＋„＋12n－12<2－12n－1(n≥2)

n∈N*时，第一步需要证明()A．1<2－12－1B．1＋122<2－12n－1C．1＋122＋132<2－122－1D．1＋122＋132＋142<2－122－1情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业53C[用数学归纳法证明1＋122＋13

2＋„＋12n－12<2－12n－1(n≥2)(n∈N*)，第一步应验证不等式1＋122＋132<2－122－1.故选C.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业543．

用数学归纳法证明f(n)＝14＋142＋„＋14n的过程中，f(k＋1)－f(k)＝________。14k＋1[依题意f(k)＝14＋142＋„＋14k，f(k＋1)＝14＋142＋„＋14k＋14k＋1，所以f(k＋1)－f

(k)＝14k＋1.故答案为14k＋1.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业554．用数学归纳法证明122＋132＋„＋1n＋12＞12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．

情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业56122＋132＋„＋1k＋22＞12－1k＋3[从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为1k＋22，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为12－1k＋

1＋2，即不等式为122＋132＋„＋1k＋22＞12－1k＋3.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业575．用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，1－141－191－116·„·

1－1n2＝n＋12n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业58[证明](1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n＝2时等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即1－14

1－191－116·„·1－1k2＝k＋12k，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业59那么当n＝k＋1时，1－141－19

1－116·„·1－1k21－1k＋12＝k＋12k·1－1k＋12＝k＋12－12kk＋1＝k＋22k＋1＝k＋1＋12

k＋1.∴当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业60点击右图进入…课时分层作业Thankyo

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