【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.3.1第2课时《等比数列的性质》(含答案).ppt，共(59)页，942.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-53703.html

以下为本文档部分文字说明：

第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式

．(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·

探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4在等差数列{an}中，存在很多的性质，如(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(3)若l1，l2，l3，l4„ln成等差数列

，则al1，al2，al3，al4，„aln也成等差数列．那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51．推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q

，则an＝_________，an＝_________(m，n∈N*)．a1qn－1am·qn－m情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业62．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将

其前k项去掉，剩余各项仍为____数列，首项为_____，公比为__；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为____数列，首项为____，公比为____.等比ak＋1q等比akqk情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业7思考：如何推导an＝am

qn－m?[提示]由anam＝a1·qn－1a1·qm－1＝qn－m，∴an＝am·qn－m.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业83．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝______.①特

别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝____.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的__，即a1·an＝a2·an－1＝„＝ak·an－k＋1＝„.ap·aqa2k积情境导学·探新知返首页合

作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业94．两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a2n}，{an·bn}，anbn也为_

___数列．等比情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业101．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．()(2)在等比数列{an}中，q＞1时是递增数列．(

)(3)若数列{an}是等比数列，那么1an，{a2n}，{|an|}都是等比数列．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业11[提示](2)q＞1，a1＜0时，数列{an}是递减数列．(3)若{an}的公比

为q，则1an，{a2n}，{|an|}的公比分别为1q，q2，|q|.[答案](1)√(2)×(3)√情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业122．(教材P31T5改编)已知数列{an}是等比数列，下列说法错误的是()A．a3，a5，a

7成等比数列B．a1，a3，a9成等比数列C．an，an＋1，an＋2成等比数列D．n＞3时，an－3，an，an＋3成等比数列B[在等比数列中，若m＋n＝2p，则aman＝a2p，即am，ap，an成等比数列，所以ACD正确，B错误，故选B.]情境导学·

探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业133．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝()A．－25B．25C．10D．20B[在等比数列{an}中，7＋12

＝8＋11＝9＋10，∴a7a12＝a8a11＝a9a10.∴原式＝(a7a12)2＝25.故选B.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业144．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9

＝________.9[因为a7＝a5q2，所以q2＝32.所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×94＝9.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业155．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q

的等比数列，则q＝________.1[设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，因为a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，所以(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，故q＝a3＋3

a1＋1＝a1－2＋3a1＋1＝1.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业16合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业17灵活设项求解等比数列【例1】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为2

1，中间两个数的和为18，求这四个数．[思路探究]本题由于涉及的数列的项比较特殊，巧妙设为对称项，会给解题带来方便．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业18[解]法一：设

前三个数分别为aq，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a.由题意得aq＋2aq－a＝21a＋aq＝18，，解得q＝2或q＝35.当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；当q＝35时，a＝454，这四个数为754，454，274，94.情境导学·探新知返首

页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为a－d2a，因此这四个数为a－d2a，a－d，a，a＋d.由题意得a－d2a＋a＋d＝2

1，a－d＋a＝18，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20解得a＝12，d＝6或a＝274，d＝－92.故这四个数为3，6，12，18或754，454，274，

94.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业21法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b，则这四个数为a，b，18－b，21－a，由题意得a18－b＝b2，b＋21－a

＝218－b，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业22解得a＝3，b＝6或a＝754，b＝454.故这四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业

23巧设等差数列、等比数列的方法1若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设aq成，a，aq或a，aq，aq2.2若四个数成等比数列，可设为aq，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑

难课堂小结·提素养课时分层作业24[跟进训练]1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25[解]法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，

则第四个数为a＋d2a，由条件得a－d＋a＋d2a＝16，a＋a＋d＝12，解得a＝4，d＝4或a＝9，d＝－6.所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9

，3，1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a，设第二个数为b，则第三个数为12－b，∴这四个数为a，b，12－b，16－a，由题意得2b＝a＋12－b，12－

b2＝b16－a，解得a＝0，b＝4或a＝15，b＝9，故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27等比数列的性质及应用【例2】已知{an}为等比数列．(1)等比数列{a

n}满足a2a4＝12，求a1a23a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋„＋log3a10的值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28[

思路探究]利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业29[解](1)等比数列{an}中，因为a2a4＝12，所以a23＝a1a5＝a2a4＝12，所以a1a23a5＝

14.(2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋„＋log3a10＝log3(a1a2„a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)

]＝log395＝10.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法1基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量.这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐.2数列性质：等比数

列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等经常被用到.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业31[跟进训练]2．(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，

a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．±52情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业32(2)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则a2a16a9

的值为()A．－6或6B．－2C．2D．2或－2情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业33(1)A(2)D[(1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a32＝5，a7a8a9＝

(a7a9)·a8＝a38＝10，所以a2a8＝5013，所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a35＝(a2a8)3＝50163＝52.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34法二：由等比数列的性质知a1a

2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±5×10＝±52.又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝52.(2)等比数列{an}中，∵a2，a16

是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，∴a2·a16＝2.又∵a2·a16＝a29＝2，∴a9＝±2，∴a2a16a9＝a29a9＝a9＝±2.故选D.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时

分层作业35由递推公式构造等比数列求通项[探究问题]1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？[提示]由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释

疑难课堂小结·提素养课时分层作业362．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，能否证明{an＋1}是一个等比数列？[提示]在an＋1＝2an＋1两边都加1得an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为

首项，以q＝2为公比的等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业373．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？[提示]先将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整

理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝52；所以在an＋1＝3an＋5两边都加52，可构造出等比数列an＋52.利用等比数列求出an＋52即可求出an

.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业38【例3】已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为

等比数列．[思路探究](1)把n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．情境导学·探新知返首页合作探究·释

疑难课堂小结·提素养课时分层作业39[解](1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4

0Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提

素养课时分层作业411．(变条件，变结论)将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·

提素养课时分层作业42[证明]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.所以数列{bn

}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业43因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.所以bn＝3·2n－1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业442．(变条件，

变结论)将本例中条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝56，an＋1＝13an＋12n＋1”，试证明{an－3×12n}为等比数列，并求{an}的通项公式．情境导学·探新

知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业45[证明]令an＋1－A×12n＋1＝13an－A×12n，则an＋1＝13an＋A3×12n＋1.由已知条件知A3＝1

，得A＝3，所以an＋1－3×12n＋1＝13an－3×12n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业46又a1－3×121＝－23≠0，所以an－3×

12n是首项为－23，公比为13的等比数列．于是an－3×12n＝－23×13n－1，故an＝3×12n－2×13n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业47两种递推公式构造等比数列的模型

1由递推关系an＋1＝Aan＋BA，B为常数，且A≠0，A≠1求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝Aan＋λ可得λ＝BA－1，这样就构造了等比数列{an＋λ}.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业48

2形如an＋1＝can＋dnc≠d，cd≠0的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以dn＋1得an＋1dn＋1＝cd×andn＋1d，进而化归为等比数列.还可以两边同除以cn＋1得an＋1cn＋1＝an

cn＋dcn×1c，再利用累加法求出ancn，即得an.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业49课堂小结提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业501．与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程

应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题．(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．(3)题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养

课时分层作业512．在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提

素养课时分层作业521．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10＝()A．26B．30C．34D．38C[由题意可得：a23＝a2a6，即a2＋d2＝a2a2＋4d，结合题意有：(a2＋4)2＝a2(a

2＋16)，解得a2＝2，则a10＝a2＋8d＝2＋8×4＝34.故选C.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业532．已知数列{an}为等比数列，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且a2＝

1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝()A．44B．－44C．88D．－88A[由题意，数列{an}为等比数列，满足a2＝1，a10＝16，根据等比数列的性质，可得a2a10＝1×16＝a26，a6>0，可得a6＝4

，所以b6＝a6＝4，则S11＝11b1＋b112＝11×b6＝44，故选A.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业543．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次

构成等比数列，则这3个数的积为________．8[设插入的3个数依次为a，b，c，即12，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝12×8＝4，因为a2＝12b>0，∴b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2

＝8.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业554．已知在公比为q的等比数列{an}中，a5＋a9＝12q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．14[∵a5＋a9＝12q，∴a4＋a8＝12，∴a6(a

2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10＝a24＋2a4a8＋a28＝(a4＋a8)2＝14.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业565．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；(2)已知{an}为等比数列，

a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.[解](1)法一：a1q2＝3，a1q10＝27相除得q8＝9.所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.法二：因为a27＝a3a11＝81，所以a7＝±9，又a7＝a3q4＝3q

4>0，所以a7＝9.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业57(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.所以q4＝a7a3＝

4或14，所以q＝±2或q＝±22.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业58点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!