【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.3.1第1课时《等比数列的概念及简单表示》(含答案).ppt，共(49)页，868.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及简单表示情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.理解等比数列的概念(重点).2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(

易错点).1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分

层作业4传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，„„按这样的规

律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51．等比数列的概念文字语言一

般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0)符号语言an＋1an＝__(q为常数，q≠0，n∈N*)2同一个常数公比q情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养

课时分层作业62.等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：__叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝____.Gab情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业7思考：当G2＝a

b时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业83．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n

项an，有公式an＝__________.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．a1·qn－1情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业94．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是

一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y＝a1q·qx的图象上的____点．孤立情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业101．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”

)(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()(3)常数列一定为等比数列．()(4)任何两个数都有等比中项．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业1

1[提示](1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．[答案](1)×(2

)×(3)×(4)×情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业122．下列数列是等比数列的是()A．3，9，15，21，27B．1，1.1，1.21，1.331，1.464C．13，16，19，112，115D．4，－8，16，－32，64D[A、

B、C均不满足定义中an＋1an＝q，只有D满足an＋1an＝－2.故选D.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业133．2＋3和2－3的等比中项是()A．1B．－1C．±1D．2C[设2＋3和2－3的等比中项为a，则a2＝(2＋3)(2－3)＝1.即

a＝±1.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业144．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝()A．－4B．－6C．－8D．－10B[∵a1，a3，a4成等比数列．∴a1a4＝a23，即a1(

a1＋6)＝(a1＋4)2，解得a1＝－8，∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.故选B.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业155．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________.8[由a

n＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2.又a1＝2，∴a3＝2×22＝8.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业16合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难

课堂小结·提素养课时分层作业17等比数列通项公式的基本运算【例1】在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业18[解]设首项为a1，公比为

q.(1)法一：因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2①，a1q6＝8②.由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝34.所以an＝a4qn－4＝2·(34

)n－4＝22n－53.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19(2)法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18③a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9④由④③得q＝12，从而a

1＝32，又an＝1，∴32×12n－1＝1.即26－n＝20，所以n＝6.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，

所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业211．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求

出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之

间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业22[跟进训练]1．在等比数列{an}中，(1)已知an＝128，a1

＝4，q＝2，求n；(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业23[解](1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，

∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝anqn－1＝62554－1＝5.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业24(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝

2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{an}的公比q为2或－2，对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·

提素养课时分层作业25等比中项及应用【例2】已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42.求a5，a7的等比中项．[思路探究]根据已知条件列出方程组求解出a1，q，再分别求出a5，a7，最后按照等比中项的概念求出等比中项．情境导学

·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26[解]设该等比数列的公比为q，∵a1＋a1q＋a1q2＝168，a1q－a1q4＝42，∴a11＋q＋q2＝168，①a1q1－q3＝42.②1－q

3＝(1－q)(1＋q＋q2)，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27②÷①得q(1－q)＝14⇒q＝12，∴a1＝42q－q4＝4212－124＝96.设G是a5，a7的等比中项，

则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9，∴a5，a7的等比中项是±3.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28等比中项应用的三点注意1由等比中

项的定义可知Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.2在一个等比数列中，从第2项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.3a，G，b

成等比数列等价于G2＝abab>0.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业29[跟进训练]2．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．[证明]因为b是a，c的等比中项，则b2

＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，

所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30等比数列的判断与证明[探究问题]1．若数列{an}是等比数列，易知有an＋1an

＝q(q为常数，且q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？[提示]能．若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数，q≠0)或a2n＋1＝a

n·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业312．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非

零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？[提示]能．根据等比数列的定义可知．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业32【例3】已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．

[解]an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，an＋1an＝2n2n－1＝2；当n＝1时，an＋1an＝a2a1＝22＋a.故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释

疑难课堂小结·提素养课时分层作业331．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．(1)证明：数列{an－n}是等比数列；(2)求出{an}的通项公式．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层

作业34[解](1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以an＋1－n＋1an－n＝4，所以数列{an－n

}是首项为1，公比为4的等比数列．(2)由(1)，可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业352．(变条件)将例题

中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．[证明]∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝12an.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分

层作业36又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝12an知an≠0，∴an＋1an＝12，∴{an}是等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业371．有关等比数列的判断证明方法定义法an＋1an＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}

为等比数列中项公式法a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列通项公式法an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业382．因为等比数列中任一项均不

为0，所以由G2＝ab知，ab＞0，即同号的两个数(不为0)才有等比中项，且等比中项是互为相反数的两个值．如2＋1与2－1的等比中项为±1.3．由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业39(1)

当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}为递增数列；(2)当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}为递减数列；(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；(4)当q＜0时

，数列{an}是摆动数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业40课堂小结提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业411．等比中项与等差中项的区别(1)只有当两个数同号且不为0时，才有

等比中项．(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业422．已知{an}是等比数列(1)相隔等距离的项组成的

数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，„仍是等比数列，公比为qm.(2)若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结

·提素养课时分层作业431．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是()A．an＝nB．an＝nC．an＝2－nD．an＝log2nC[只有C具备an＝cqn的形式，故应选C.]情境导学·探新知返首页合作

探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业442．等比数列x，3x＋3，6x＋6，„的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24A[由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项

为－3，－6，－12.故第四项为－24，故选A.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业453．在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为________数列(填“递增”或“递减”)．

递增[由8a2－a5＝0，可知a5a2＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数列{an}为递增数列．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业464．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝____

____.4n－1[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业475．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an.[解]由a5≠a7知等比

数列{an}的公比q≠1，设其通项公式为an＝c·qn.由已知得cq5＝8，cq7＝2，解得q2＝14，∵an＞0，∴q＝12，c＝256.∴an＝256×12n＝12n－8.情境导学·探新知返首页合作

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