【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.1第2课时《数列的递推公式与an和Sn的关系》(含答案).ppt，共(65)页，960.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-53667.html

以下为本文档部分文字说明：

第四章数列4.1数列的概念第2课时数列的递推公式与an和Sn的关系情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会用an与Sn的关系求通项公式.1.借助利

用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养.2.借助利用an与Sn的关系确定an的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4看

下面例子：(1)1，2，4，8，16，„(2)1，cos1，cos(cos1)，cos[cos(cos1)]，„(3)0，1，4，7，10，13.请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项的关系怎样？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51．数列的递推公式(1)两

个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的____公式．递推情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业6思考：所有数列都

有递推公式吗？[提示]不一定．例如2精确到1，0.1，0.01，0.001，„的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，„没有递推公式．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业72．数

列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项______(或前几项)之间的关系表示an与__之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式an－1n情境导学·探新知返首页合作探究·

释疑难课堂小结·提素养课时分层作业8思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．情境导学·探新知返首页合作探究·释

疑难课堂小结·提素养课时分层作业93．数列{an}的前n项和(1)数列{an}从第__项起到第__项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_______________.(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表

示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝1na1＋a2＋…＋an序号nS1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业101．判断正误(正确的打“√”，错误的

打“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．()(2)有些数列可能不存在最大项．()(3)递推公式是表示数列的一种方法．()(4)所有的数列都有递推公式．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业11[提示]并不是所有的数列都

有递推公式，如3的精确值就没有递推公式．[答案](1)√(2)√(3)√(4)×情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业122．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝12an＋12n，此数列的第3项是()A．1B

．12C．34D．58C[∵an＋1＝12an＋12n，a1＝1，∴a2＝12a1＋12×1＝1，a3＝12a2＋12×2＝12×1＋14＝34.故选C.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业1

33．数列{an}满足an＋1＝1－1an，且a1＝2，则a2020的值为()A．12B．－1C．2D．1C[由an＋1＝1－1an及a1＝2，得a2＝12，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}

是周期为3的周期数列：2，12，－1，2，12，－1，„.而2020＝673×3＋1，故a2020＝a1＝2.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业144．已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n＋1，则其通项公式an＝________.0，n＝1

2n－3，n≥2[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－(n－1)2＋2(n－1)－1＝2n－3，而当n＝1时，a1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3，所以通式公式an＝0，n＝1，2n－3，n≥2.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分

层作业15合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业16由递推公式求数列中的项【例1】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n

≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝anan＋1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业17[解](1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝

a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业1

8(2)∵bn＝anan＋1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝a1a2＝12，b2＝a2a3＝23，b3＝a3a4＝35，b4＝a4a5＝58.故{bn}的前4项依次为b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.情境导学·探新知

返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19由递推公式写出数列的项的方法1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.

3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝an－12.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20[跟进训练]1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝2anan＋2给出，试写出这个数列的前5

项．[解]∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业21a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提

素养课时分层作业22a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业23数列的单调性【例2】已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×78n(n∈N*)，试问数列{

an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．[思路探究]判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业

24[解]法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．an＋1－an＝(n＋3)×78n＋1－(n＋2)×78n＝78n×5－n8.当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即

an＋1＝an；当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞„，所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝7685.情境导学·探新知返首页合作探

究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．an＋1an＝n＋3×78n＋1n＋2×78n＝7n＋38n＋2.又an＞0，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时

分层作业26令an＋1an＞1，解得n＜5；令an＋1an＝1，解得n＝5；令an＋1an＜1，解得n＞5.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞„，所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝7685.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作

业27法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则an≥an－1，an≥an＋1，即n＋2×78n≥n＋1×78n－1，n＋2×78n≥n＋3×

78n＋1，解得n≤6，n≥5，即5≤n≤6.故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝7685.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28求数列{an}的最大小

项的方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有ak≥ak－1，ak≥ak＋1，对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等

式组即可.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业29[跟进训练]2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8.(1)数列中有多少项为负数？(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素

养课时分层作业30[解](1)令an＜0，即n2－7n－8＜0，得－1＜n＜8.又n∈N*，所以n＝1，2，3，„，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．(2)函数y＝x2－7x－8图象的对称轴为直线x＝72，所以当1≤x≤3时，函数单调递减；当x≥

4时，函数单调递增，所以数列{an}有最小项，又a3＝a4＝－20，所以数列{an}的最小项为a3或a4.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业31利用an＝S1，n

＝1，Sn－Sn－1，n≥2求通项【例3】根据下列数列的前n项和Sn求通项an.(1)Sn＝2n2－n＋1；(2)Sn＝2·3n－2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业32[思路探究]

先写出n≥2时，an＝Sn－Sn－1表达式，再求出n＝1时a1＝S1，验证是否适合n≥2时表达式．如果适合则an＝Sn－Sn－1(n∈N*)，否则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作

业33[解](1)由Sn＝2n2－n＋1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]＝4n－3.当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3.∴an＝2，n＝1，4n－3，n≥2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3

4(2)由Sn＝2·3n－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n－1－2)＝4·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31－1，∴an＝4·3n－1(n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业35

用an与Sn的关系求an的步骤1先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；2再利用Sn求出a1a1＝S1；3验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；4写出数列的通项公式.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业36

[跟进训练]3．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业37[解]根据条件可得Sn＝2n＋1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n

＋1－2n－1－1＝2n－1(2－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1，∴an＝3n＝1，2n－1n≥2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业38根据递推公式求通项[探究问题]1．某剧场有30排

座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？[提示]由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，„，由以上各项归

纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.即an＝2n＋18(n∈N*，n≤30)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业392．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1

)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？[提示]等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)＝an成立

，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业403．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1·a2a1·a3a2·„·anan－1＝an成

立吗？若数列{an}满足：a1＝3，an＋1an＝2，则它的通项an是什么？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业41[提示]等式a1·a2a1·a3a2·„·anan－1＝an成立．按照an＋1an

＝2可得a2a1＝2，a3a2＝2，a4a3＝2，„，anan－1＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a2a1·a3a2·a4a3·„·anan－1＝2·2·„·2.则ana1＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N*)．情境

导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业42【例4】(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋1nn＋1，n∈N*，求通项公式an；(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求通项

公式an.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业43[思路探究](1)先将an＋1＝an＋1nn＋1变形为an＋1－an＝1nn＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将an＝

1－1nan－1(n≥2)变形为anan－1＝n－1n，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业44[解](1)∵an＋1－an＝1nn＋1，∴a2

－a1＝11×2；a3－a2＝12×3；a4－a3＝13×4；情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业45„an－an－1＝1n－1n.以上各式累加得，an－a1＝11×2＋12×3＋„＋1n－1n＝1－12＋12－13＋

„＋1n－1－1n＝1－1n.∴an＋1＝1－1n，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业46∴an＝－1n(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴

an＝－1n(n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业47(2)∵a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，∴anan－1＝n－1n，an＝ana

n－1×an－1an－2×an－2an－3ׄ×a3a2×a2a1×a1＝n－1n×n－2n－1×n－3n－2ׄ×23×12×1＝1n.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n(n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业481．(变条件)将例题(

1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋1nn＋1，n∈N*”变为“a1＝12，anan－1＝an－1－an(n≥2)”，求数列{an}的通项公式．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业49[解]∵anan－1＝an－1－an，∴

1an－1an－1＝1.∴1an＝1a1＋1a2－1a1＋1a3－1a2＋„＋1an－1an－1＝2＋＝n＋1.∴1an＝n＋1，∴an＝1n＋1(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝1

2，符合上式，∴an＝1n＋1(n∈N*).情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业502．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”写出数列的前5项，猜想an并

加以证明．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51[解]由a1＝2，an＋1＝3an，得：a2＝3a1＝3×2，a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，a4＝3a3＝3×32×2＝33×

2，a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，„，猜想：an＝2×3n－1，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业52证明如下：由an＋1＝3an得an＋1an＝3.因此可得a2a1＝3，a3a2＝3，a4a3＝3，„，anan－1＝3.将上面

的n－1个式子相乘可得a2a1·a3a2·a4a3·„·anan－1＝3n－1.即ana1＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业53由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1

＝an＋fn或an＋1＝gn·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：1累加法：当an＝an－1＋fn时，常用an＝an－an－1＋an－1－an－2＋„＋a2－a1＋a1求通项公式；2累

乘法：anan－1当＝gn时，常用an＝anan－1·an－1an－2·„·a2a1·a1求通项公式.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业54课堂小结提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业55

1．数列的四种表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业562．通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an

是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业573．数

列通项公式的求法(1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳；(2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)；(3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)；(4)利用an与Sn关系，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.情境导学·探新知返

首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业581．数列2，4，6，8，10，„的递推公式是()A．an＝an－1＋2(n≥2)B．an＝2an－1(n≥2)C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)

D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)C[A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业592．已知数列{an}满足a1＝1，an

＝an－1＋3(n≥2)，则数列的通项公式an＝()A．3n＋1B．3nC．3n－2D．3(n－1)C[根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，可以归纳出an＝3n－2.故选C.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑

难课堂小结·提素养课时分层作业603．数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________.12[先求出数列的周期，再进一步求解首项．∵an＋1＝11－an，∴an＋1＝11－an＝11－11－an

－1＝1－an－11－an－1－1＝1－an－1－an－1＝1－1an－1情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业61＝1－111－an－2＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n

－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝11－a1，∴a1＝12.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业624．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，求an.[解]由题意得an

＋1－an＝lnn＋1n，∴an－an－1＝lnnn－1(n≥2)，an－1－an－2＝lnn－1n－2，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业63„，a2－a1＝ln21.∴当n≥2时，an－a1＝ln

nn－1·n－1n－2·„·21＝lnn，∴an＝2＋lnn(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＋ln1＝2，符合上式，∴an＝2＋lnn(n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业64点击右图进入…课时分层作业Th

ankyouforwatching!