【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.2.1第1课时《等差数列的概念及简单表示》(含答案).ppt，共(54)页，916.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及简单表示情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.理解等差数列的概念(难点).2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).3.掌握等差数列的判定方法(重点).1.通过学习等差

中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的判断与证明，培养学生的逻辑推理素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4某剧场有3

0排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，„.思考：第30排有多少个座位？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分

层作业51．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言an＋1－an＝

d(d为常数，n∈N*)2前一项同一个常数常数d情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业62．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项

．(3)满足的关系式是____________.a＋b＝2A情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业7思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；

(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.[提示]插入的数分别为3，2，a＋b2，0.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业83．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝_______________

___.a1＋(n－1)d情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业9思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，

a3－a2＝d，a4－a3＝d，„情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业10an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(

n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业114．从函数角度认识等差数列{an}若数列{

an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加__.d情境导学·探新知返首页

合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业12思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？[提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业131．判断正误(正确

的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()情境导学

·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业14[提示](1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2

b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)√(3)√情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业152．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝()A．22

B．24C．26D．28D[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业163．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为()A．－1

B．1C．3D．4D[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业174．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A，B，C成等差数列，所

以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业185．已知数列{an}的首项a1＝13，且满足1an＋1＝1an＋5(n∈N*)，则a6＝__

______.128[由条件知，1an＋1－1an＝5，∴1an为等差数列，且1a1＝3，∴1a6＝3＋5×5＝28，即a6＝128.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提

素养课时分层作业19合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20等差数列的通项公式【例1】已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解]法

一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业21法二：∵a60＝

a15＋(60－15)d，∴d＝20－860－15＝415，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得

15k＋b＝8，60k＋b＝20，解得k＝415，b＝4.∴a75＝75×415＋4＝24.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业22等差数列通项公式的妙用1等差数列{

an}的通项公式an＝a1＋n－1d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.2从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的

通项公式an＝a1＋n－1d可得an＝dn＋a1－d，当d≠0时，an是关于n的一次函数.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业233由两点确定一条直线的性质可以得出，等差

数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业24[跟进训练]1．在等差数列{an}中，(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；(2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；(

3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n：(4)已知a7＝12，d＝－2，求a1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25[解](1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3.∴a8＝3×8＋3＝27.情境导学·探新知返首

页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26(2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a10－a410－4＝－66＝－1，∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，∴a7＝－7＋14＝7.(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，∴an＝14－2(n－1

)＝16－2n＝－20，∴n＝18.(4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝252.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27等差中项的应用【例2】(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是_

_______．(2)已知1a，1b，1c是等差数列，求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也是等差数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28[思路探究](1)列方程组―→求解m，n―→求m，n的等差中项(

2)情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业29(1)6[由题意得m＋2n＝8×2＝16，2m＋n＝10×2＝20，∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴m＋n2＝6.]情境导学·探新知

返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30(2)[证明]∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)．∵b＋ca＋a＋bc＝cb＋c＋aa＋bac＝a2＋c2＋ba＋cac＝a2＋c2＋2acac＝2a＋c2ba＋c＝

2a＋cb，∴b＋ca，a＋cb，a＋bc成等差数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业31等差中项应用策略1求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝x＋y2.2证三项成等差数列，只需

证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业32[跟进训练]2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数

列，求此数列．[解]∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业33又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72

＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34等差数列的判定与证明[探究问题]1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*)，则{an}是等差数列吗？为什么？[提示]由

等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业352．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立，则{an

}是等差数列吗？为什么？[提示]是，由等差中项的定义可知．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业363．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？[提示]∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)

＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业37【例3】已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数

列1an是否为等差数列？说明理由；(2)求an.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业38[解](1)数列1an是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋

1－1an＝12，即1an是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由(1)可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层

作业391．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝4，an＝4－4an－1(n>1)，记bn＝1an－2”．(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．情

境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业40[解](1)证明：bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2

＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业41(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.∴数列{an}的通项公式为an＝2

n＋2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业422．(变条件)将本例中条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换成“a1＝15，n≥2时有an－1an＝2an－1＋11－2an(n＞

1，n∈N*)”，结论如何？[解](1)证法一：an－1an＝2an－1＋11－2an(n＞1，n∈N*)∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，即an－1＝an(4an－

1＋1)(n＞1，n∈N*)，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业43∴an＝an－14an－1＋1(n＞1，n∈N*)，∴1an＝4an－1＋1an－1＝4＋1an－1(n＞1，n∈N*)，∴1an－1an－1＝4(n＞1，n∈N*)，∴数列

1an是等差数列且公差为4，首项为5.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业44证法二：当n＞1，n∈N*时，an－1an＝2an－1＋11－2an⇔1－2anan＝2a

n－1＋1an－1⇔1an－2＝2＋1an－1⇔1an－1an－1＝4，且1a1＝5.∴1an是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)由(1)及等差数列的通项公式得1an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，∴an＝14n＋1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素

养课时分层作业45等差数列的三种判定方法1定义法：an＋1－an＝d常数n∈N*⇔{an}为等差数列；2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N*⇔{an}为等差数列；3通项公式法：an＝an＋ba，b是常数，n∈N

*⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业46课堂小结提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释

疑难课堂小结·提素养课时分层作业471．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可

以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业483．等差数列的单调性d＞0⇔等差数列是递增数列．d＜0⇔等差数列是递减数列．d＝0⇔等差数列是常数列．情境导学·探新知

返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业491．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列A[等差数列的通项公式an＝a1＋(

n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业502．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．24C[设等差数列{a

n}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得a1＋d＝2，a1＋4d＝8，解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业513．已知a＝13＋

2，b＝13－2，则a，b的等差中项为______．3[a＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝3.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业524．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4

＝0的两根，求数列{an}的通项公式．[解]由题意得a1＋a2＝a3，a1a2＝a4，∴2a1＋d＝a1＋2d，a1a1＋d＝a1＋3d.解得a1＝2，d＝2，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n.情境导学·探新

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