【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.2.2第2课时《等差数列前n项和的性质》(含答案).ppt，共(55)页，900.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.掌握an与Sn的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点).3.会用裂项相

消法求和(易错点).1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养.2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结

·提素养课时分层作业41．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时)Sn＝d2n2＋a1－d2n.反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？2．在项数为2n

或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业5等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列

Sn，________，S3n－S2n，__________，„构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．S2n－SnS4n－S3n情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业6思考：如果{an}是等差数列，

那么a1＋a2＋„＋a10，a11＋a12＋„＋a20，a21＋a22＋„＋a30是等差数列吗？[提示](a11＋a12＋„＋a20)－(a1＋a2＋„＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋„＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋„＋a30)－(a

11＋a12＋„＋a20)＝100d.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业7∴a1＋a2＋„＋a10，a11＋a12＋„＋a20，a21＋a22＋„＋a30是等差数列．(3)在等差数列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，„也成等差数列，a1

＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，„也成等差数列．(4)在等差数列{an}中，数列Snn为等差数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业81．判

断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．()(2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，„成等差数列．()(3)若等差数列的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd．()[答案]

(1)√(2)×(3)√情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业92．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[∵S奇S偶＝n＋1n，∴165150＝n＋1n.∴n＝10.故选

B项．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业103．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于()A．66B．99C．144D．297B[在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3

＋a6＋a9成等差数列，∴a2＋a5＋a8＝39＋272＝33.∴S9＝(a1＋a4＋a7)＋(a2＋a5＋a8)＋(a3＋a6＋a9)＝39＋33＋27＝99]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业114．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝______

__.15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业125．已知{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝105，a

2＋a3＋a4＝99.求a10＋a11＋a12的和．[解]在等差数列{an}中，{an＋an＋1＋an＋2}也成等差数列，设公差为D，∵a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99.∴D＝99－105＝－6.∴a10＋a11

＋a12＝105＋(10－1)×(－6)＝51.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业13合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业1

4“片段和”的性质【例1】在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.[思路探究](1)可利用方程(组)思想求解．(2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列前11项的和求解．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业15[解]法

一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则10a1＋10×10－12d＝100，100a1＋100×100－12d＝10.解得a1＝1099100，d＝－1150.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业1

6∴S110＝110a1＋110×110－12d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝－110.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业17法二：∵S10＝100，S100＝10，∴S100－S10＝a11＋a12＋„＋a

100＝90a11＋a1002＝－90，∴a11＋a100＝－2.又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，∴S110＝110a1＋a1102＝－110.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课

时分层作业18法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，„，S100－S90，S110－S100，„成等差数列，∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋10×92d＝10，解得d＝－22.∴前110项和S110＝11×

100＋10×112d＝11×100＋10×112×(－22)＝－110.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋nn－12d，则Snn＝a1＋d2(n－1)．∴数

列Snn是等差数列，其公差为d2.∴S100100－S1010＝(100－10)×d2，且S110110－S100100＝(110－100)×d2.代入已知数值，消去d，可得S110＝－11

0.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20法五：令Sn＝An2＋Bn.由S10＝100，S100＝10，∴100A＋10B＝100，10000A＋100B＝10，解得

A＝－11100，B＝11110.∴S110＝1102A＋110B＝1102×－11100＋110×11110＝－110.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业21方法一属于通性通法；方法二使用Sn和an之间的关系；方法三使用前n项和“片段和

”的性质；方法四使用性质Snn“也是等差数列”；方法五利用前n项和可用Sn＝An2＋Bn表示的特点.这五种解法从不同角度应用了等差数列的性质，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决.情境导学·探新知返首页合作探究·

释疑难课堂小结·提素养课时分层作业22[跟进训练]1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.[解]在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等

差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业23裂项相消法求和【例2】等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求1S1＋1S2＋„＋1Sn.[思路探

究]根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据1Sn的通项特征，利用裂项相消法求和．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业24[解]∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝3n＋nn－12×2＝n2

＋2n(n∈N*)，∴1Sn＝1n2＋2n＝1nn＋2＝121n－1n＋2，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25∴1S1＋1S2＋„＋1Sn＝121－13＋

12－14＋13－15＋„＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32n＋1n＋2.情境

导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项裂项之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作

业27[跟进训练]2．已知数列{an}的通项公式为an＝12n－12n＋1，求数列{an}的前n项和Sn.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28[解]an＝12n

－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Sn＝11×3＋13×5＋15×7＋„＋12n－32n－1＋12n－12n＋1＝121－13＋13－15＋

15－17＋„＋12n－3－12n－1＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，∴Sn＝n2n＋1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分

层作业29有限项等差数列前n项和的性质及比值问题[探究问题]1．在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在哪些关系？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30[提示]∵S偶＝na2＋a2n2＝n×2an＋12＝nan＋1，S奇＝na1＋a2

n－12＝n×2an2＝nan，∴S偶－S奇＝n(an＋1－an)＝nd.S奇S偶＝anan＋1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业312．在等差数列{an}中，若项数有2n＋1项，S奇与S偶具有什么关系？[提示]∵S奇＝n＋1a

1＋a2n＋12＝(n＋1)an＋1，S偶＝na2＋a2n2＝nan＋1，∴S奇－S偶＝(n＋1)an＋1－nan＋1＝an＋1，S奇S偶＝n＋1n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3

23．若数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn，Tn，那么ambm怎么用前n项和形式表示？[提示]ambm＝2am2bm＝2m－1a1＋a2m－122m－1b1＋b2m－12＝S2m－1T2

m－1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业33【例3】(1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝3n＋22n，则a7b7＝()A．4126B．2314C．117D．116

(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34[思路探究]

(1)利用anbn＝S2n－1T2n－1.(2)利用S偶－S奇＝nd(项数为2n项时)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业35(1)A(2)5[(1)因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和，∴a7b7＝2a72b7

＝a1＋a132×13b1＋b132×13＝S13T13＝3×13＋22×13＝4126.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业36(2)法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多354×32－27

32＋27，其值为6d，则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业37法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，则x＋y＝354，xy＝3227，解得x＝192，y＝162.∴6d＝192－1

62＝30，∴d＝5.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业38法三：由题意知12a1＋12×112d＝354，①6a1＋d＋6×52·2d6a1＋6×52·2d＝32

27，②由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业391．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求a10b3＋b18＋a11b6＋b15的值．[解]

∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，∴原式＝a10＋a11b10＋b11＝a1＋a20b1＋b20＝S20T20＝3×20＋22×20＝3120.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课

时分层作业402．(变结论)在本例(1)条件不变时，求a7b9的值．[解]由条件，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2.∴an＝(6n－1)k，bn＝(4n－2)k∴a7b9＝k6×7－1k4×9－

2＝4134.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业413．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“anbn＝3n＋22n”，求S7T7的值．[解]S7T7＝7a1＋a727b1＋b72＝a1＋

a7b1＋b7＝2a42b4＝a4b4＝3×4＋22×4＝74.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业42等差数列前n项和计算的两种思维方法1整体思路：利用公式Sn＝na1＋an2，设法求出整体a1＋an，再代入求解.2待定系数法：利用Sn是关于

n的二次函数，设Sn＝An2＋BnA≠0，列出方程组求出A，B即可，或利用Snn是关于n的一次函数，设Snn＝an＋ba≠0进行计算.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业43课堂小结提素养情境导学·

探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业441．在有关数列的计算中，恰当地运用性质可以减少运算量，若不能直接运用性质，基本量法是最常用的方法之一．利用基本量，并树立目标意识，需要什么，

就求什么，充分合理地运用条件，时刻注意题目的目标往往也能取得与巧用性质解题相同的效果，从而提高思维的灵活性和对知识掌握的深刻性．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业452．等差数列前n项和的常用性质(

1)数列{an}为等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，„构成等差数列，公差为原公差的k2倍．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·

提素养课时分层作业46(3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；若项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业

47(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1，ambn＝2n－12m－1·S2m－1T2n－1.(5)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．(6)若等差数列{an}的前

n项和为Sn，则数列Snn为等差数列，公差为原公差的12.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业483．形如1an＋bcn＋d的式子，若可分解为Aan＋b－Bcn＋d的形式，则一般可用裂项相消法求解．情境导学·探新知返首页

合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业491．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为()A．160B．180C．200D．220B[a1＋a2＋a3＝3a2＝－24⇒a2＝－8，a18＋a19＋a20＝3a

19＝78⇒a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业502．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为3

0，则其公差为()A．5B．4C．3D．2C[由题知S偶－S奇＝5d，∴d＝30－155＝3.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业513．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为

Sn，则数列Snn的前10项和为________．75[因为an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝n3＋2n＋12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.]情

境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业524．数列1nn＋1的前100项的和为________．100101[∵1nn＋1＝1n－1n＋1.∴S100＝1－

12＋12－13＋13－14＋„＋1100－1101＝1－1101＝100101.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业535．等差数列{an}的公差d＝12，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋„＋a99.[解]令a1＋a3＋a5＋„＋a9

9＝A.a2＋a4＋a6＋„＋a100＝B.那么A＋B＝145，B－A＝50×12＝25，解得B＝85，A＝60，∴a1＋a3＋a5＋„＋a99＝60.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业54点击右图进

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