【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.3.2第1课时《等比数列的前n项和公式》(含答案).ppt，共(59)页，944.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点)

2.会用错位相减法求数列的和.(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.情境

导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后

一天返还的钱是前一天的二倍．问谁赢谁亏？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51．等比数列前n项和公式情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业6思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前

n项和Sn?[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业72．错位相减法一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋„＋a1qn－1，①用公比q乘①的两边，可

得qSn＝a1q＋a1q2＋„＋a1qn－1＋a1qn，②情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业8由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝a11－qn1－q(q≠1)．我们把上述方法叫__________，一般适用于数列{an·bn}前n项和的

求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.错位相减法情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业91．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝a11－qn1－q来求．()(2)

等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)．()(3)1＋x＋x2＋„＋xn＝1－xn1－x．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业10[提示](1)和(3)中应注意q＝1的情况．[答案](1)×(2)√(3)×情境导学·探新知

返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业112．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3a2＝()A．3B．4C．72D．132C[已知等比数列{an}的首项为a1，则S3a2＝a11－231－2a1×2＝72.]情

境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业123．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为()A．－2B．1C．－2或1D．2或－1C[当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.]情境导学·探新知返首页合作探

究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业134．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若q＝－12，则S10S5＝________.3132[∵q＝－12≠1，∴S10S5＝－11－q101－q·1－q－11－q5＝1＋q5＝1＋－125＝1－132＝

3132.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业145．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．11(1.15－1)a[去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1

.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·

提素养课时分层作业15合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业16等比数列基本量的运算【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5

；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业17[解](1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或

a1＝180，q＝－56.从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业18(

2)法一：由题意知a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得a1＝8，q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19法二：由(a

1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20(3)因为a2an－1＝a1an＝128，

所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而a1＝2，an＝64或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q为2或12.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业211．在等比数列{an}的五个量a1，q，

an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑

难课堂小结·提素养课时分层作业22[跟进训练]1．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业

23[解]当q＝1时，由5S2＝4S4知10a1＝16a1，则a1＝0，不合题意，故q≠1.当q≠1时，由5S2＝4S4知5a11－q21－q＝4a11－q41－q，∴5(1－q2)＝4(1－q4)．解得1＋q2＝54，即q＝±12.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂

小结·提素养课时分层作业24等比数列前n项和公式的实际应用【例2】借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)情

境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25[思路探究]解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，

复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．情境导学·探新知返首页合作

探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26[解]法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)

a，„a6＝1.01a5－a＝„＝1.016a0－(1＋1.01＋„＋1.015)a.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋„＋1.015)a＝0，a＝1.016×1021.

016－1.∵1.016≈1.061，∴a≈1.061×1021.061－1≈1739.故每月应支付1739元．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28法二：一方面，借款10000元，将此借款以相

同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课

时分层作业29S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋„＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a(1.016－1)×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a

≈1739，故每月应支付1739元．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30解数列应用题的具体方法步骤1认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，

即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业312抓住数量关系，联想数学

知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.3将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业32[跟进训练]2．某人在年

初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业33[解]余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16.设每年年

底应支付款为a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋„＋a(1＋0.1)5＝a·1.16－11.1－1＝10a(1.16－1)．由105×1.16＝10a(1.16－1)得a＝104×1.161.16－1≈22960(元

)．∴每年年底应支付22960元.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34错位相减法求和[探究问题]1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋„＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋„＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64

?[提示]比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝264－1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业352．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗

？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？[提示]由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋„＋n·2n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结

·提素养课时分层作业363．在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋„＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难

课堂小结·提素养课时分层作业37[提示]在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋„＋n·2n，①两边同乘以{2n}的公比可变形为2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋„＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－„－2n＋n·2n

＋1＝－(21＋22＋23＋„＋2n)＋n·2n＋1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素

养课时分层作业38【例3】设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.(1)求an和bn的通项公式；(

2)记cn＝an2bn，n∈N*，证明：c1＋c2＋„＋cn<2，n∈N*.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业39[思路探究](1)根据等差和等比条件列方程组求解两数列的通项公式．(2)由cn＝an2bn，

利用错位相减法求和，再观察和证明不等式．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业40[解](1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则q>0.由

题意，得2q＝2＋d，2q2＝6＋d，解得d＝2，q＝2，故an＝2＋2n－1＝2n，bn＝2·2n－1＝2n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业41(2)∵cn＝an2bn＝2n2·2n＝n2n，设数列cn

的前n项和为Sn，∴Sn＝12＋222＋323＋„＋n2n，①∴12Sn＝122＋223＋„＋n－12n＋n2n＋1，②∴①－②得：12Sn＝12＋122＋„＋12n－n2n＋1情境导学·探新知返

首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业42＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1，∴Sn＝2－12n－1－n2n，又∵n∈N*，∴12n－1>0，n2n>0，∴Sn＝2－12n－

1－n2n<2，即c1＋c2＋„＋cn<2，n∈N*.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业431．(变条件)本例题(2)中设cn＝12anbn，求数列{cn}的前n项和Sn′.[解]由题意知cn＝n·2n，所以

Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋„＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋„＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业44两式相减得：－Sn′＝1×2

1＋22＋23＋24＋„＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业452．(变条件)本例题中设dn＝2n－1b

n，求数列{dn}的前n项和Tn.[解]由题意可得：Tn＝1×12＋3×122＋„＋(2n－1)×12n，12Tn＝1×122＋3×123＋„＋(2n－3)×12n＋(2n－1)×12n＋1，两式相减得情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4612Tn＝1×12＋2

×122＋„＋2×12n－(2n－1)×12n＋1＝12＋12×1－12n－11－12－(2n－1)×12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，所以Tn＝3－42n－2n－12n＝3－2n＋32n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂

小结·提素养课时分层作业47错位相减法的适用条件及注意事项若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次

项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业48课堂小结提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业491．在等比数

列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．情境导学

·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业503．设数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，数列{cn}满足cn＝anbn，则{cn}的前n项和为Sn＝c1＋c2＋c3＋„＋cn－1＋cn＝a1b1＋a2b2＋a3b

3＋„＋an－1bn－1＋anbn，①qSn＝a1b2＋a2b3＋„＋an－2bn－1＋an－1bn＋anbn＋1.②情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51①－②得(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋„＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋db21－qn－1

1－q－anbn＋1，∴Sn＝a1b1－anbn＋11－q＋db21－qn－11－q2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业521．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于()A．93B．－93C．45D．－45A[

S5＝a11－q51－q＝31－251－2＝93.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业532．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则S4S2＝()A．10B．9C．－8D．－5A[设数列{an}的公比为q，由

27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0.因为a4≠0，∴27＋q3＝0，则q＝－3，故S4S2＝1－q41－q2＝1＋q2＝1＋9＝10.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业543．已知等

比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋„＋a2n等于()A．(2n－1)2B．13(2n－1)C．4n－1D．13(4n－1)D[∵Sn＝2n－1，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时

，a1＝21－1＝21－1，故an＝2n－1，a2n＝4n－1.∴a21＋a22＋„＋a2n＝1×4n－14－1＝13(4n－1)．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业554．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，

a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________.510[a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或12，而q为整数，所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝21－281－2＝510.]情

境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业565．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小

结·提素养课时分层作业57[解]用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋„＋an＝a11－qn1－q＝25×1－45n

1－45＝125×1－45n<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业58点击右图进入…课时分层作业Th

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