【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第4章4.2.1第2课时《等差数列的性质》(含答案).ppt，共(60)页，941.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列

的性质解决问题(难点).1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情

境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结

·提素养课时分层作业51．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以__为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．d情境导学·探新知返首页合作探究·

释疑难课堂小结·提素养课时分层作业6思考：由an＝a1＋(n－1)d可得d＝an－a1n－1，d＝an－amn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？[提示]等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1

)，(n，an)直线的斜率d＝an－a1n－1，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝an－amn－m.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业72．等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝___

_______.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝„＝ak＋an－k＋1＝„.ap＋aq和情境导学·探新知返

首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业8(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；③{an＋an

＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为____的等差数列．等差dcd2d情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业9(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa

n＋qbn}(p，q是常数)是公差为______________的等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为____数列；d<0⇔{an}为____数列；d＝0⇔{an}为常数列．pd1＋qd2递增递减情境导学·探新知返首页合作探究

·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业10思考：若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？[提示]不一定．如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.情境导学·探新知返首页合作探

究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业111．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)若{an}是

等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2．()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业12[提示](1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差

数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d

＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业132．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120

，则2a10－a12的差为()A．20B．22C．24D．26C[∵{an}为等差数列，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24，则2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8

＝24.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业143．已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为()A．4B．14C

．－4D．－14A[由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4，15)，(7，27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝27－157－4＝4.]情境导学·探新知返首页合作探

究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业154．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末位数为2019，则该数列的首项为________．1[设该数列首项为x，根据条件可知，x＋20192＝1010，解得x＝1.]情境导学·探新知返首

页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业165．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层

作业17合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业18灵活设元解等差数列【例1】已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．[思路探究]前三项可以设为a－d，a，a＋d

，也可以直接用“通法”解决．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19[解]法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18.解得a＝6.又前三项的乘积为66.∴6×(6＋d)(6－d)＝6

6，解得d＝±5.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20由于该数列单调递减，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.令－5n＋16

＝－34，解得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业21法二：依题意得a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，∴3a1＋3d＝18，a1·a1＋d

·a1＋2d＝66，解得a1＝11，d＝－5，或a1＝1，d＝5.∵数列{an}是递减等差数列，∴d＜0.故a1＝11，d＝－5.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业22∴an＝11＋(n－1)×(－5)

＝－5n＋16，即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业

23等差数列的设项方法与技巧1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.2当已知数列有2n项时，可设为a－2n－1d

，„，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，„，a＋2n－1d，此时公差为2d.3当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－n－1d，„，a－d，a，a＋d，„，a＋n－1d，a＋nd，此时公差为d.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业24[跟进训练

]1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25[解]设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有a－2

d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，整理得5a＝5，5a2＋10d2＝859.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26解得a＝1，d＝±23.当d＝23时，这5个数

分别是－13，13，1，53，73；当d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27等差数列的实际应用【例2】某公司201

7年生产一种数码产品，获利200万元，从2018年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？[思路探究]根据条件可以构造等差数列，由条件可知首项和公差都已知，利用等

差数列解决该问题．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28[解]记2017年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，„„则该公司每年获得

的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损．设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业29由题

意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11，即从第12年起，也就是从2028年开始，该公司生产此产品将出现亏损．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30解决等差数列实际问题的

基本步骤1将已知条件翻译成数学数列问题；2构造等差数列模型明确首项和公差；3利用通项公式解决等差数列问题；4将所求出的结果回归为实际问题.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·

提素养课时分层作业31[跟进训练]2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，

需要支付车费________元．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3223.2[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要多支付1.2元．所以

可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]情境

导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业33等差数列的性质[探究问题]1．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？情境导学·探新知返首页合

作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34[提示]由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于任意等差数列{an}，设其公差为d.则am＋an＝a

1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用．情境导学·

探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业352．在等差数列{an}中，如果m＋n＝2r，那么am＋an＝2ar是否成立？反过来呢？[提示]若m＋n＝2r(m，n，r∈N*)，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n

－2)d＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2ar，显然成立；在等差数列{an}中，若am＋an＝2ar，不一定有m＋n＝2r，如常数列．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·

提素养课时分层作业363．已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则：(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是

等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业37[提示](1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(

2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业38【例3】(1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝()A．32B．27C．24D．16(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n

＝0(m≠n)的四个根可组成首项为14的等差数列，则|m－n|的值是________．[思路探究](1)运用“m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq”求解．(2)考虑两个方程都具备特点“两根之和是2”，结合根与系数的关系求解．情境导学·探

新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业39(1)C(2)12[(1)法一：设等差数列{an}公差d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24

.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业40法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a

5.∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业41(2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为14的

等差数列，现假定a＝14，则b＝2－14＝74.根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业42∴这个等差数列的顺

序为14，c，d，74.则c＝34，d＝54.∴m＝ab＝716，n＝cd＝1516.∴|m－n|＝716－1516＝12.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业431．(变条件，变

结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.[解]法一：因为a5，a10，a15成等差数列，所以a5＋a15＝2a10.所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业44法二：

因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝125.所以a15＝a10＋5d＝20＋5×125＝32.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业452．(变条件，变结论)本

例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8.[解]法一：∵在等差数列{an}中a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450.解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.

情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业46法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450.∴a1＋

4d＝90.而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业47等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通

常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业481若m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq其中am，an，ap，aq是数列中

的项.该性质可推广为：若m＋n＋z＝p＋q＋km，n，z，p，q，k∈N*，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak.2若m＋n＝2pm，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业49课堂小结提素养情境导

学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业501．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及

整体计算，以减少计算量．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业512．数列{an}是公差为d的等差数列(1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式

既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用．(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak.②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an

＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝„＝ak＋an－k＋1＝„.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业523．下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．如a1，a3，a5，

„组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，„，a5n－2，„组成公差为5d的等差数列．4．若{an}为等差数列，则a1＋a2＋a3＋„＋am，am＋1＋am＋2＋„＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋„＋a3m，„仍为等差数列，且公差为m2d.情境导学·探新知返首页合作

探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业531．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14B[由a3＋a5＝a1＋a7可得a7＝10－2＝8.]情境导学

·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业542．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10A[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a

5＝5.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业553．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无

实根A[∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3.方程中Δ＝(a4＋a6)2－4×10＝(2a5)2－40＝(2×3)2－40＝－4＜0.∴方程无实根．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业

564．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋„＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.18[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝173.又∵a4＋a5＋„＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.情境导学·探

新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业57故d＝a9－a79－7＝7－1732＝23.∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×23，∴k＝18.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业585．四个数

成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解]设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或

d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业59点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!