【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册6.4.3《余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理应用举例》学案 (含详解).doc，共(10)页，264.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】6.4.3余弦定理、正弦定理（人教A版）第3课时余弦定理、正弦定理应用举例1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题

的能力.1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．重

点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.一、预习导入阅读课本48-51页，填写。1、实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做

基线方向角从指定方向线到的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)方位角从正北的方向线按时针到目标方向线所转过的水平角1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)

方位角和方向角是一样的()2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的()A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上3．从A处

望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为（）A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°4.如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，则A，C两地的距离为________km.仰角在同一铅垂平面内，视线在

水平线方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角题型一测量高度问题例1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场

的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)跟踪训练一1、乙两楼相距200m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，

从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？题型二测量角度问题例2如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相

距203nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？跟踪训练二1、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nm

ile的C处的缉私船奉命以103nmile的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？题型三测量距离问题例3如图所示，要测量

一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．

例4如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠

BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别

测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10kmB.3kmC．105kmD．107km2．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A

处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0<β<α<π2，则水塔CD的高度为()A.asinα－βsinβsinαB.asinαsinβsinα－βC.a

sinα－βsinαsinβD.asinαsinα－βsinβ3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝519m，起吊的货物与岸的距离AD为()A．30mB.153

2mC．153mD．45m4．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.

5．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．C.3．B.4.32.自主探究例1【答案

】泉城广场上泉标的高约为38m.【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根据正弦定理，BDs

in60°＝ABsin∠ADB.∴BD＝AB·sin60°sin20°＝15.2·sin60°sin20°≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m.跟踪训练一1、【

答案】甲楼高为2003m，乙楼高为40033m.【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．在△ABC中，BC＝200×tan60°＝2003，AC＝200÷sin30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，∴△ACD为等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2

AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×－12＝3AD2，AD2＝40023，AD＝40033.故甲楼高为2003m，乙楼高为40033m.例2【答案】救援船到达D点需要

的时间为1h.【解析】由题意，知AB＝5(3＋3)nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB＝ABs

in∠ADB，即BD＝ABsin∠DABsin∠ADB＝5(33)sin45sin105＝5(33)sin45sin45cos60cos45sin60＝103nmile.又∠DBC＝∠DBA＋∠A

BC＝60°，BC＝203nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝30nmile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1h.跟踪训练二1、【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析

】设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3

－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin12

0°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.例3【答案】A，B两点间的距离为2007m.【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB

，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝2007(m)．即A，B两点间的距离为2007m.例4【答案】206.【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsin

C＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝206(m)．即A，B两点间的距离为206m.跟踪训练三1.【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD

中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64(km)．∴A，B

两点间的距离为64km.当堂检测1-3.DAB4.30°5．【答案】电视塔的高为40m.【解析】设电视塔AB的高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD

2－2BC×CDcos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔的高为40m.