【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第7章《平面解析几何》50 (含详解).ppt，共(59)页，735.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第七章平面解析几何考点测试50抛物线第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A.10B．4C.15D．5解析由题意知，抛

物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D

．48解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵当x＝p2时，|y|＝p，∴p＝|AB|2＝122＝6.又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾

斜角是()A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析焦点坐标为32，0，当斜率不存在时，弦长为2p＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k，所以方程为y＝kx－32，代入y2＝6x，得k2x2－(3k2＋6)x＋9

4k2＝0，设弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＋p＝12，即3k2＋6k2＋3＝12，k2＝1.∴k＝tanα＝±1，结合x∈[0，π)，可得α＝π4或34π.4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2

x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A.3B.5C．2D.5－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的

距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.5．抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线B

C的方程为()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．2x＋y－1＝0D．2x－y－1＝0解析∵点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2.抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)．设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y21＝4x1，①y22＝4x2，②由①－②，得(y1－

y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，得kBC＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2.又∵y1＋y2＋23＝0，∴y1＋y2＝－2.∴kBC＝－2.又∵x1＋x2＋13＝1，∴x1＋x2＝2.∴BC中点为(1，－1)，则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.6．若抛

物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为()A．－52B.52C.12D．－12解析直线AB的斜率为kAB＝y1－y2x1－x2＝y1－y212y21－12y22＝－1，所以y1

＋y2＝－2，y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝6.线段AB的中点为x1＋x22，y1＋y22＝y21＋y224，－1＝32，－1，代入y＝x＋b，得b＝－52.故选A.7．已知动圆过点(1

,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____________．y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M

，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.π6解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝32MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝32，∴∠MNP＝π6，即∠NMF＝π6.二、高考小题9．[2016·四川高考]抛物

线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0)D．(1,0)解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为p2，0，∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故选D.10．[2016·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k

>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1C.32D．2解析由题意得点P的坐标为(1,2)．把点P的坐标代入y＝kx(k>0)，得k＝1×2＝2，故选D.11．[2014·辽宁高考]已知点A(－2,3)在抛物线C

：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－12解析由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，∴kAF＝3－2－2＝－34，故选C.12．[

2014·四川高考]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.1728D.10解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，则OA→＝(m2，m)

，OB→＝(n2，n)，OA→·OB→＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∵lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2

,0)．S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×2×m＋12×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝12×14×m＝18m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋18m＝98m－n＝98m＋2m≥298m·

2m＝3，当且仅当98m＝2m，即m＝43时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.13．[2014·湖南高考]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_

_______________________．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0

)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．由y2＝4x，y＝kx＋k，得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范

围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．三、模拟小题14．[2017·沈阳监测]抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a)B．(a,0)C.0，116aD.116a，0解析将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝14ay(a≠0)，所以焦点坐标为

0，116a，所以选C.15．[2017·豫南九校联考]已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，

根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋7－12－1＝10－1＝9.当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为

9.故选C.16．[2016·广东广州模拟]如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋

…＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋

|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.17．[2016·江西南昌一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝()A.83B.52C．3D

．2解析设l与x轴的交点为M，如图所示，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以|NQ||MF|＝|PQ||PF|＝23，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝83，故|QF|＝|QN|＝83，故选A.18．[2016·湖南岳阳二模]直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y、圆x2

＋(y－1)2＝1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则|CD||AB|的值为________．16解析如图所示，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，直线3x－4y＋4＝0过点(0,1)，由x2＝4y，3x－4y＋4＝0，得4y2－17

y＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝174，y1y2＝1，解得y1＝14，y2＝4，则|CD||AB|＝|FD|－1|AF|－1＝y2＋1－1y1＋1－1＝16.第2步

精做大题·练能力一、高考大题1．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解(1)

由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，ON的方程为y＝ptx，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON

|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．2.[2016·浙江高考]如图，设抛物线y

2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点

A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义，得p2＝1，即p＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由y2＝4x，x＝sy＋1消去x，得y2－4sy

－4＝0，故y1y2＝－4，所以B1t2，－2t.又直线AB的斜率为2tt2－1，故直线FN的斜率为－t2－12t.从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t，所以Nt2＋3t2－1，－2t.设M(m,0)，由A，M，N三点共线，得2tt2

－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，于是m＝2t2t2－1.所以m<0或m>2.经检验，m<0或m>2满足题意．综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．二、模拟大题3．[2017·云南师大附中摸底]已知点F12，0及直

线l：x＝－12.P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设圆M过点A(1,0)且圆心M在P的轨迹C上，E1E2是圆M在y轴上截得的弦，证明弦长|E1E2|是一个常数．解(1)设点P的坐

标为(x，y)，则点Q的坐标为－12，y，∴QP→＝x＋12，0，QF→＝(1，－y)，FP→＝x－12，y，FQ→＝(－1，y)．由QP→·QF→＝FP→·FQ→，得x＋12，0·(1，－y)＝

x－12，y·(－1，y)，即x＋12＝12－x＋y2，得y2＝2x.经检验，曲线y2＝2x上的点均满足QP→·QF→＝FP→·FQ→.∴动点P的轨迹C的方程为y2＝2x.(2)证明：设M(a，b)为圆M的圆心，则b2＝2

a.∵圆M过点A(1,0)，∴圆M上的点(x，y)满足(x－a)2＋(y－b)2＝(a－1)2＋b2.令x＝0，得y2－2by＋2a－1＝0.设圆M与y轴的交点为E1(0，y1)和E2(0，y2)，则Δ＝(－2b)2－4×(2a－1)＝4>0，y1＋y2＝2b，y1y2＝2a－1.

故|E1E2|＝|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝2是一个常数．4．[2017·邯郸模拟]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点，且以AB为直径的圆M与直线y＝－1相切于点N

.(1)求C的方程；(2)若圆M与直线x＝－32相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p.又∵以AB为直径的圆M与直线y＝－1相切，∴|AB|＝y1＋y2＋2，故p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设直线l的方程为

y＝kx＋1，代入x2＝4y中并整理，得x2－4kx－4＝0.∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，∴圆心Mx1＋x22，y1＋y22的坐标为M(2k,2k2＋1)．∵圆M与直线x＝－32相切于点Q，∴|MQ|＝|MN|，∴

2k＋32＝|2k2＋2|，解得k＝12.此时直线l的方程为y＝12x＋1，即x－2y＋2＝0，圆心M1，32，半径r＝52，即圆M的方程为(x－1)2＋y－322＝254.5．[2017·广东适应性测试

]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，倾斜角为π4且过点M(0,1)的直线l与C相交于A，B两点，且AM→＝2MB→.(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线C上一动点N，记以MN为直径的圆的面积为S，求S的最小值．解(1)解法一：设点A(x1，y1

)，B(x2，y2)，则x21＝2py1，x22＝2py2.(*)∵AM→＝2MB→，AM→＝(－x1,1－y1)，MB→＝(x2，y2－1)，∴－x1＝2x2，1－y1＝2y2－1，即－x1＝2x2，y1＝3－

2y2.将上式代入(*)，得4x22＝2p3－2y2，x22＝2py2，∴x2＝p，y2＝12或x2＝－p，y2＝12.∵直线l的倾斜角为π4，即kAB＝y2－y1x2－x1＝3y2－33x2＝y2－1x

2＝1，∴12－1p＝1(舍去)或12－1－p＝1，解得p＝14，∴抛物线C：x2＝12y.解法二：由题意，得直线l的方程为y＝x＋1.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x2＝2py，y＝x＋1得x2－2px－2p＝

0，∴x1＋x2＝2p，x1x2＝－2p.又∵AM→＝2MB→，AM→＝(－x1,1－y1)，MB→＝(x2，y2－1)，∴－x1＝2x2，即x1＋x2＝2p，x1·x2＝－2p，－x1＝2x2，解得x1＝1，x2＝－12，p＝14，∴抛物线

C：x2＝12y.(2)设抛物线C上任意一点N(x0，y0)，且x20＝12y0，∴|MN|＝x20＋y0－12＝12y0＋y0－12＝y20－32y0＋1＝y0－342＋716(

y0≥0)，∴当y0＝34时，|MN|min＝74，∴以MN为直径的圆的面积S＝π·|MN|22≥764π，即Smin＝764π.6．[2017·江西联考]已知点F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点P(3，y0)(y0>1)是抛物线C上一点，且|PF|

＝134，⊙Q的方程为x2＋(y－3)2＝6，过点F作直线l，与抛物线C和⊙Q依次交于点M，A，B，N(如图所示)．(1)求抛物线C的方程；(2)求(|MB|＋|NA|)·|AB|的最小值．解(1)由P(3，y0)在抛物线C上，得2py0＝9.又|PF|＝134，得y0＋p2＝134.上述两个

等式联立，解得y0＝1，p＝92或y0＝94，p＝2.又y0>1，∴y0＝94，p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)由题意，知直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，则圆心Q(0,3

)到直线l的距离为d＝2k2＋1，∴|AB|＝2r2－d2＝26－4k2＋1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2＝4y，y＝kx＋1，得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，则y1＋y2＝4k2＋2.由抛物线定义知，|MN|＝y1＋y2＋2＝

4(1＋k2)，∴(|MB|＋|NA|)·|AB|＝(|MN|＋|AB|)·|AB|＝|MN|·|AB|＋|AB|2＝8(k2＋1)6－4k2＋1＋4·6－4k2＋1＝86k2＋12－4k2＋1－16k2＋1＋24.设t＝k2＋1(t≥

1)，则(|MB|＋|NA|)·|AB|＝86t2－4t－16t＋24＝86t－132－23－16t＋24(t≥1)．∵函数y＝6t－132－23和y＝－16t在[1，＋∞)上都是单调递增函

数，∴当t＝1，即k＝0时，(|MB|＋|NA|)·|AB|有最小值82＋8.