【文档说明】2023年人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理》分层练习(教师版).doc，共(11)页，185.947 KB，由MTyang资料小铺上传

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2023年人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理》分层练习勾股定理的逆定理1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是()A.如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直

角三角形B.如果a2＝b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°C.如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形【答案解析】B2.有下面的判断：①若△ABC中，a2＋

b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2；③若△ABC中，a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a﹣b)＝c2.其中判断正确的有()A.4个B.3个C.

2个D.1个【答案解析】C3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A：∠B：∠C＝l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2，3C.三边长为a，b，c的值为11，2，4D.a2

＝(c＋b)(c﹣b)【答案解析】C.4.三角形的三边长a，b，c满足2ab＝(a＋b)2﹣c2，则此三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案解析】C.5.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满

足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.【答案解析】答案为：等腰直角三角形.6.如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式(a＋2b﹣60)2＋｜b﹣18｜＋｜c﹣30｜＝0，则△ABC

的形状是.【答案解析】答案为：直角三角形.7.小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是____________.【答案解析】答

案为：6cm、8cm、10cm.8.在△ABC中，如果(a＋b)(a﹣b)＝c2，那么∠＝90°.【答案解析】答案为：90°.9.如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．则阴影部分的面积＝．【答案解析】答案为：24．10.如图

，每个小方格的边长都为1.(1)求四边形ABCD的周长.(2)连接AC，试判断△ACD的形状，并说明理由.【答案解析】解：(1)由勾股定理可得：AB＝＝3，BC＝＝13，CD＝＝25，AD＝＝5，∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝32＋13

＋25＋5＝32＋13＋35；(2)△ACD为直角三角形，理由如下：由题意可知AC＝5，又由(1)可知AD＝5，CD＝25，∴AD2＋CD2＝(5)2＋(25)2＝25＝AC2，∴△ACD为直角三角形.11.如图，在△A

BC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．(1)求△ABC的周长．(2)判断△ABC的形状并加以证明．【答案解析】解：(1)∵CD是AB边上高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴AC＝＝20，BC＝＝15，∵AB＝AD＋BD＝25，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝25＋20

＋15＝60；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：202＋152＝252，即AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．12.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是

图中两个1×3的长方形的对角线，求证：AB⊥AE.【答案解析】解：如图，连接BE.因为AE2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，BE2＝22＋42＝20，所以AE2＋AB2＝BE2.所以△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AE.13.阅读下列

解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2(a2﹣b2)＝(a2﹣b2)(a2＋b2)②所以c2＝a2＋b2．③所以△ABC

是直角三角形.④回答下列问题：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误?该步的序号为.(2)错误的原因为.(3)请你将正确的解答过程写下来.【答案解析】就：(1)③(2)忽略了a2﹣b2＝0的可能(3)解：因为a2c2﹣b2

c2＝a4﹣b4，所以c2(a2﹣b2)＝(a2﹣b2)(a2＋b2)，所以a＝b或c2＝a2＋b2．所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.14.已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试

判别这个三角形的形状．【答案解析】解：由a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，得：(a2﹣10a＋25)＋(b2﹣24b＋144)＋(c2﹣26c＋169)＝0，即：(a﹣5)2＋(b﹣12)2＋(c﹣13)2＝0，由非负数

的性质可得：，解得，∵52＋122＝169＝132，即a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°，即三角形ABC为直角三角形．15.已知,在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、C

F分别与直线AB交于点M、N．当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图，试说明MN2＝AM2＋BN2的理由．【答案解析】证明：如图，作△AMC的对称△PMC，连接PN；∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∠MCN＝45°，∴∠A＝∠B＝45°

，∠ACM＋∠BCN＝45°；由题意得：CP＝CA，∠ACM＝∠PCM(设为α)，∠MPC＝∠A＝45°；∵∠PCN＝45°﹣α，∠BCN＝45°﹣α，∴∠PCN＝∠BCN；在△PCN与△BCN中，PC＝BC，∠PCN＝∠BCN，NC＝NC，∴△PCN≌△BCN(SAS

)，∴BN＝PN，∠NPC＝∠B＝45°，∴∠MPN＝90°；由勾股定理得：MN2＝MP2＋NP2，∵AM＝MP，BN＝NP，∴MN2＝AM2＋BN2．勾股定理逆定理的应用16.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是()A.30B.40C.50D.60【答案解析】A17

.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数()A.6B.7C.8D.9【答案解析】C.18.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下

数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据()A.13，10，10B.13，10，12C.13，12，12D.13，10，11【答案解析】B.19.已知△ABC的三边分别

长为a、b、c，且满足(a﹣17)2＋｜b﹣15｜＋c2﹣16c＋64＝0，则△ABC是().A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形【答案解析】A.20.已知CD是△ABC的高，AB＝10

，AC＝6，BC＝8，则CD的长为．【答案解析】答案为：4.8．21.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2＋ab2＋bc2=b2＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是.【答案解析】答案为：等腰三角形或等腰直角三角形.

22.已知|x﹣12|＋|z﹣13|与y2﹣10y＋25互为相反数，则以x、y、z为三边的三角形是三角形.【答案解析】答案为：直角.23.如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积.【答案解析】解：连接AC.∵∠ABC＝9

0°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝5，在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝12AB•BC＋12AC•CD＝12×1×2＋12×5×2＝1＋5.故四边形ABCD的

面积为1＋5.24.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝45，CD＝8．(1)求∠ADC的度数；(2)求四边形ABCD的面积．【答案解析】解：(1)连接BD，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，DB＝4，∵42＋82＝(4)2，

∴DB2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝60°＋90°＝150°；(2)过B作BE⊥AD，∵∠A＝60°，AB＝4，∴BE＝23，∴四边形ABCD的面积为：12AD•EB＋12DB•CD＝12

×4×23＋12×4×8＝43＋16．25.如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．【答案解析】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3

cm，AB＝4cm，∴AO＝5cm．则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO＝13cm，∴图中半圆的面积＝12π×(12OF)2＝12π×＝(cm2)．答：图中半圆的面积是cm2．26.已知△ABC三边长a，b，c满足

a2＋b2＋c2﹣12a﹣16b﹣20c＋200＝0，请判断△ABC的形状并说明理由.【答案解析】解：把200拆成36+64+100所以(a²﹣12a+36)+(b²﹣16b+64)+(c²﹣20c+100)＝0(a﹣6)²+(

b﹣8)²+(c﹣10)²＝0平方是非负数,相加为0所以都等于0所以a﹣6＝0,b﹣8＝0,c﹣10＝0a＝6,b＝8,c＝106²+8²＝100＝10²即a²+b²＝c²所以是直角三角形27.如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，以OB为一边作∠OBM＝60°

，且BO＝BM，连接CM，OM.(1)判断AO与CM的大小关系并证明；(2)若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明．【答案解析】解：(1)AO＝CM．理由如下：∵∠OBM＝60°，OB＝BM，∴△OBM是等边三角形，∴OM＝OB＝10，∠ABC＝∠OBC＝60°，∴∠ABO＝

∠CBM．在△AOB和△CMB中，∵OB＝OM，∠ABO＝∠CBM，AB＝BC，∴△AOB≌△CMB(SAS)，∴OA＝MC；(2)△OMC是直角三角形；理由如下：在△OMC中，OM2＝100，OC2＋CM2＝62＋82＝100，∴OM2＝OC2＋CM2

，∴△OMC是直角三角形．28.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若P

A：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.【答案解析】解：(1)猜想：AP＝CQ，证明：∵∠ABP＋∠PBC＝60°，∠QBC＋∠PBC＝60°，∴∠ABP＝∠QBC.又AB＝B

C，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP＝CQ；(2)由PA：PB：PC＝3：4：5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，∴△PBQ为正三角形.∴PQ＝4a.于是在△PQC中∵PQ2＋QC2＝16a2＋9

a2＝25a2＝PC2∴△PQC是直角三角形.