【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第7章《平面解析几何》49 (含详解).ppt，共(56)页，635.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第七章平面解析几何考点测试49双曲线第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A.x216－y29＝1B.x216－y29＝1(x≥

4)C.x29－y216＝1D.x29－y216＝1(x≥3)解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C；又c＝5，a＝3，∴b＝c2－a2＝4.∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．故选D.2．若双曲线

x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2解析焦点(c,0)到渐近线y＝bax的距离为bca2＋b2＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2

，∴5a2＝c2，∴离心率e＝ca＝5.3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x2a2－

y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.①又双曲线渐近线方程为y＝±bax，且P(2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝25，b＝5，则C的方程为x220－y25＝1，故应选A.4．已知双曲线x2－y28＝1的左、右焦点分别为F1，

F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝()A．22B．3C．4D．22＋1解析设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|

＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4，选C.5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于

B，C两点．设F1B→＋F1C→＝m，F1A→＋F1D→＝n，则下列各式成立的是()A．|m|>|n|B．|m|<|n|C．|m－n|＝0D．|m－n|>0解析取过点F2且垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B

，C两点，则F1B→＋F1C→＝m＝2F1F2→，F1A→＋F1D→＝n＝2F1F2→，故|m－n|＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是()

A.x23－y24＝1B.x24－y23＝1C.x25－y22＝1D.x22－y25＝1解析依题意得a2＋b2＝c2＝7，由此设双曲线方程为x2a2－y27－a2＝1，另设直线与双曲线的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x，y)．则x21a2－y217－a2＝1，①x22

a2－y227－a2＝1，②①－②得：1a2(x1＋x2)(x1－x2)＝17－a2(y1＋y2)(y1－y2)，又由x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x＝－23，y＝x－1，k＝y1－y2x1－x2

＝1，得a2＝2.∴双曲线方程为x22－y25＝1，故选D.7．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为__________________．x2－y23＝1解析由题意得

c－a＝1，ca＝2，解得a＝1，c＝2，则b＝3，故所求方程为x2－y23＝1.8．设F1，F2分别为双曲线x216－y220＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．1

7解析解法一：∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，∴||PF1|－|PF2||＝8.∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又∵|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，∴|PF2|＝17.解法二：由题知，若P在右支上，则|PF1|≥2＋

8＝10>9，∴P在左支上．∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17.二、高考小题9．[2015·湖北高考]将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得

到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1<e2B．当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2C．对任意的a，b，e1>e2D．当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2解析因为e＝1＋b2a2，所以ba越大，e就越大，令λ＝b＋ma＋mba＝ab＋amab＋bm.当a

>b时，λ>1，e2>e1；当a<b时，λ<1，e2<e1.故选B.10．[2015·重庆高考]设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双

曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±12B．±22C．±1D．±2解析不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c,0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为c，b2a，c，－b2a，又

A1，A2的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，所以A1B→＝c＋a，b2a，A2C→＝c－a，－b2a，因为A1B⊥A2C，所以A1B→·A2C→＝0，即(c＋a)(c－a)－b2a·b2a＝0，即c2－a

2－b4a2＝0，所以b2－b4a2＝0，故b2a2＝1，即ba＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±ba，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.11．[2016·北京高考]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为

2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝______；b＝________.12解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±bax，又一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，∴ba＝2，即b＝2a.又∵该双曲线的一个焦点为(5，0)，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，可得a2＋(2a)2＝5

，解得a＝1，b＝2.12．[2016·浙江高考]设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是_________．(27，8)解析△PF1F2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动(如

图)．当P在P1点处时，∠F1P1F2＝90°，S△P1F1F2＝12|F1F2|·|yP1|＝12|P1F1|·|P1F2|.由|P1F1|2＋|P1F2|2＝|F1F2|2，|P1F1|－|P1F2|＝2，得|P1F1|·|P1F

2|＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝27.当P在P2点处时，∠P2F2F1＝90°，∴xP2＝2，易知yP2＝3，此时|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋2＝8，∴当△PF1F2为锐角三角形时，|PF1|＋|PF2|∈(27，8)．13．[2015·全国卷Ⅰ

]已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．126解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0)．设双曲线的左焦点为F′，

则F′(－3,0)．由双曲线的定义及已知，得|PF|＝2a＋|PF′|＝2＋|PF′|.△APF的周长最小，即|PA|＋|PF|最小．|PA|＋|PF|＝|PA|＋2＋|PF′|≥|AF′|＋2＝17，即当A、P、F′三点共线时，△APF的周长最小

．设P点坐标为(x0，y0)，y0>0，由x0－3＋y066＝1，x20－y208＝1，得y20＋66y0－96＝0，所以y0＝26或y0＝－86(舍去)．所以当△APF的周长最小时，该三角形的面积S＝12×6×66－12×6×26

＝126.三、模拟小题14．[2017·山西质量监测]设P为双曲线C：x2－y2＝1上一点，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，若cos∠F1PF2＝13，则△PF1F2的外接圆半径为()A.94B．9C.32D．3解析由题意知双曲线中a＝1，

b＝1，c＝2，所以|F1F2|＝22.因为cos∠F1PF2＝13，所以sin∠F1PF2＝223.在△PF1F2中，|F1F2|sin∠F1PF2＝2R(R为△PF1F2的外接圆半径)，即22223＝2R，解得R＝32，即△PF1F2的外接圆半径为32，故选C.15．[2017

·哈尔滨调研]已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，2为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.y23－x2＝1B.x23－y2＝1C.y22－x22＝1D.x22－y22＝

1解析设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，∴4＝a2＋b2.又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±bax相切，由双曲线的

对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为2bb2＋a2＝2，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为x22－y22＝1.16．[2016·河南三市调研]若双曲线x2a－y2b＝1(a>0，b>0)和椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)有共同的焦

点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝()A．m2－a2B.m－aC.12(m－a)D．m－a解析不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2m，由双曲

线的定义可令|PF1|－|PF2|＝2a，两式联立得|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，所以|PF1|·|PF2|＝m－a.17．[2016·河北石家庄二模]已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在

该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A.12B．1C．2D．4解析由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则OA⊥OB，AB的中点为x1＋x

22，x1－x22，又因为AB的中点在双曲线上，所以x1＋x222－x1－x222＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12|2x1|·|2x2|＝|x1x2|＝2，故选C.18．[2016·广东茂名

二模]已知双曲线：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝3(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为()A.2B.3C．

2D.3＋1解析∵直线y＝3(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.∴|MF1|＝12|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin60°＝3c，由双曲线的定义有：|MF

2|－|MF1|＝3c－c＝2a，∴离心率e＝ca＝c3c－c2＝3＋1，故选D.第2步精做大题·练能力一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·湖北孝感检测]△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，求顶点C的轨迹

方程．解如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝(|CE|＋|AE|)－(|CF|＋|BF|)＝|AE|－|BF|＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所

求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)．2．[2017·惠州月考]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝3x，右焦点F到直线x＝a2c的距离为32.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率

为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1,0)，若DF→·BF→＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．解(1)依题意有ba＝3，c－a2c＝32，∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－y

23＝1.(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，由y＝x＋m，x2－y23＝1得2x2－2mx－m2－3＝0，∴x1＋x2＝m，x1

x2＝－m2＋32，又∵DF→·BF→＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，∴m＝0(舍)或m＝2，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－72，M点的横坐标为x1＋x22＝1，∵DA→·BA→＝(1

－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，∵|MA|＝1

2|BD|，∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．3．[2017·山东临沂月考]P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过

双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．解(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a·y

0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝

5c2，x1x2＝35b24.①设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得

λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x

2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.4．[2017·邢台月考]直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在

实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不

同两点，故k2－2≠0，Δ＝2k2－8k2－2>0，－2kk2－2>0，2k2－2>0.解得k的取值范围是－2<k<－2.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝2k2－k2，x1·x2＝2

k2－2.②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0

.整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③把②式及c＝62代入③式，化简得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k＝－6＋65使得以线段

AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．