【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)15《切线长定理以及正多边形与圆》（学生版）.docx，共(14)页，1.223 MB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第15讲切线长定理以及正多边形与圆如图,△ABC内接于☉O,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的☉O的切线交于点D.试判断∠CDE与∠A的数量关系,并说明理由.知识点一切线长定理注意：切线长定理包含两个方面：一是从圆外一点引的这两条切线长相等；二是这点和圆心的

连线平分这两条切线的夹角．切线长相等可以判断两条线段相等，连线平分夹角可以证明角相等和求角的度数．课前训练知识精讲-2-知识点二三角形的内切圆与内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形三个

内角的平分线的交点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个，并且只能作出一个，这个内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．“切”是说明三角形的边与圆的关系，而“内”是三角形与圆的相对位置，因此我们可以说这

个三角形叫做圆的外切三角形．三角形有唯一的内切圆，而圆有无数个外切三角形．知识点三正多边形的有关概念1．中心的定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．2．半径的定义：外接圆的半径叫做正多边形的半径．3．中心角的定义：正多边形每条边所对的圆

心角叫做正多边形的中心角．4．边心距的定义：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距．知识点四与正多边形有关的计算1．正n边形的中心角an＝360°n.2．正n边形的每个内角为n－2180°n，正n边形的每个外角为360°n，正多边形的中心角与外角的大小相等．

3．正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，设正多边形的面积为S，周长为l，边心距为r，则S＝12lr.知识点五正n边形的画法一般通过等分圆周的方法：用量角器等分圆周或用尺规等分圆周．(1)用量角器等分圆周有两种方法：一

是通过依次作相等的圆心角来等分圆周；二是先用量角器画一个360°n的圆心角，然后在圆上依次截取与这个圆心角所对弧相等的弧，得到n个等分点．(2)用尺规等分圆周：对于正四边形及其2n(n为正整数)倍边形(如正八边形、正十六边形…)、正六边形及其2n(n为正整数)倍边形

(如正十二边形、正二十四边形…)和正三角形等特殊图形可以通过用直尺和圆规等分圆周画出．-3-1.1、如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是()A．∠1＝∠2B．PA＝PBC．AB⊥OPD．∠PAB＝2∠11.2、如图所示，

从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是()A．4B．8C．43D．831.3、如图，在平面直角坐标系中有矩形OABC，点B的坐标为(4，2)，现有一圆同时和这个矩形

的三边都相切，则此圆的圆心D的坐标为________________________．1.4、如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为3.(1)求BF＋CE的值；(

2)求△ABC的周长.高频考点一切线长定理-4-1.5、如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B两点,PA=4cm,C是上任意一点,过点C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E,求:(1)△PDE的周长;(2)若∠P=60°,求☉O的半径.【变

式训练1-1】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()A．50°B．65°C．100°D．130°【变式训练1-2】一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角

与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3B．33C．6D．63【变式训练1-3】如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA＝6，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是_____

___.-5-【变式训练1-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，点I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，点I的对应点I′的坐标为()A．(－2，3)B．(－3，2)C．(

3，－2)D．(2，－3)【变式训练1-5】如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，D

C＝3，求⊙O的半径．2.1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2.2、如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为()高频考点二三角形的内切圆-6-A．1

30°B．120°C．100°D．90°2.3、如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.(1)求证:四边形ODCE是正方形;(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.【变式训练2-1】如

图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．【变式训练2-2】如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC

的面积分别为S1，S2，S3，则S1________S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)【变式训练2-3】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF，BD，CE的长．-7-3.

1、如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定3.2、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是()A.3B．2C．22D．233.3、如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形A

BCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)图①中∠MON的度数是________；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是_____

___；(3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系式：____________．【变式训练3-1】下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正

六边形高频考点三圆与正多边形-8-【变式训练3-2】如图,☉O的内接正三角形ABC的边心距OD为2cm,则☉O的半径为___________cm.【变式训练3-3】已知,如图,正六边形ABCDEF的边长为6,求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6.1.如图，已知以直

角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是()A．9B．10C．12D．142.如图，正五边形ABC

DE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.提高训练-9-第1题图第2题图第5题图3.已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是()A．2B．1C.3D.324.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距

为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C.2D.35．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为()A．4.5B．4C．3D．26.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边

长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．第6题图第7题图第8题图7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长

为________．8．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________．9．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点

A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．-10-10．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证

明)；(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．11．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：(1)PA的长；(2)∠COD的度数．-11-12.如图，边长为4的正方形ABCD的边AB是⊙O的

直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD上，BE是⊙O的弦．(1)求△CDF的面积；(2)求线段BE的长.13.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在劣弧上(不与C点重合).(1)求∠BPC的度数;(2)若☉O的

半径为8,求正方形ABCD的边长.14.如图,☉O半径为4cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时

间为t(s).(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;(2)填空:①当t=s时,四边形PBQE为菱形;②当t=s时,四边形PBQE为矩形.-12-15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD

边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts，当t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？1.如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为(

)A.114°B.122°C.123°D.132°2.如图△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,则CD的长为()课堂小测-13-A.B.C.2D.3第1题图第2题图第3题图3.☉I是三角形ABC的内切圆,D,E

,F为切点,若∠DEF=52°,则∠A的度数为()A.68°B.52°C.76°D.38°4.如图,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,分别交AC,BC于点E,F,则()A.EF>AE+BFB.EF<

AE+BFC.EF2=AE·BFD.EF=AE+BF5.下列说法正确的有()①各边相等的多边形是正多边形;②圆内接菱形是正方形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④正多边形都是中心对称的图形.A.1个B.2个C.3个D.0个6.下列正多边形中,中心角等于内角的是

()A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形7.已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为()A.1B.C.2D.28.已知☉O的面积为4π,则其内接正三角形的面积为()A.B.C.3D.39.如图,已知正六边形ABCDEF的边长为5cm,一只电子蚂蚁从顶点A出发沿着正六边形的

边爬行,当爬行50cm时,电子蚂蚁离A点的距离为()A.5cmB.5cmC.5(1+)cmD.5(1+)cm10.如图,等边三角形ABC内接于半径为1的☉O,以BC为一边作☉O的内接矩形BCDE,则矩形BCDE的面积为.-14-第9题图第10题图第12题图11.

我们规定:一个正n边形(n为整数,n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”,记为λn,那么λ6=.12.如图,△ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,∠A=75°,∠B=45°,则圆心角∠EOF=度.13.如图,☉I为△ABC的内切圆,D

,E分别为边AB,AC上的点,且DE为☉I的切线,若△ABC的周长为19,BC边的长为5,则△ADE的周长为.14.如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm,求AF,BD,CE的长.