【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)04《二次函数的解析式求法》（教师版）.docx，共(8)页，279.293 KB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第4讲二次函数的解析式求法已知二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6).（1）求二次函数的解析式；（2）求它的对称轴和顶点坐标.【答案】（1）y=2x2−4x（2）对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－2）.【详解】（1）∵二次函数y=ax2＋bx的图象

经过点(2，0)和(－1，6)，得：{4a+2b=0a−b=6，解得：{a=2b=−4.∴二次函数的解析式为：y=2x2−4x．（2）原函数可化为：y=2(x﹣1)2﹣2，则对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）.用待定系数法求二次函数的解析式的方法根据已知条

件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．利用待定系数法求二次函数的解析式时，一般有以下几种情况(a≠0)：(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；(2)对称

轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k；(3)顶点在x轴上(或抛物线与x轴只有一个交点)，可设为y＝a(x－h)2；(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；(5)已知顶点(h，k)时，可设顶点式为y＝a(x－h)2＋

k；(6)已知抛物线上三点坐标时，可设一般式为y＝ax2＋bx＋c；(7)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0)，(x2,0)时，可设交点式为y＝a(x－x1)·(x－x2)．温馨提示：(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；(2)

已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；(3)已知抛物线与y轴两个交点的横坐标，一般选用交点式；(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．课前训练知识精讲-2-1、已知一个二次函数的图象经过点A(

1，0)，点B(0，6)和点C(4，6)，则这个抛物线的解析式为____y＝2x2－8x＋6____．【变式训练1-1】一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的解析式为_______y＝x2－2x－1_______

．2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是(D)A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y

＝－2x2＋4x＋6【变式训练2-1】已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求二次函数解析式．解：设二次函数图象的顶点坐标为(x，2)，则2＝x＋1，所以x＝1，所以图象的顶点为(1，

2)．设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2，将(3，－6)代入上式，可得a＝－2.所以该函数的解析式为y＝－2(x－1)2＋2，即y＝－2x2＋4x.3、已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．解：由A(1，0)，B

(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.又∵BC＝AB，∴BC＝5.在Rt△BCO中，OC＝BC2－OB2＝52－42＝3，∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)(x＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(

0－1)(0＋4)，解得a＝－34；将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝34.∴该抛物线对应的函数解析式为y＝－34(x－1)(x＋4)或y＝34(x－1)(x＋4)，即y＝－34x2－94x＋3或y＝34

x2＋94x－3.高频考点一高频考点二高频考点三利用交点式求二次函数解析式利用顶点式求二次函数解析式利用一般式求二次函数解析式-3-【变式训练3-1】抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，3)，抛物线的解析式为y=-x²-

2x+3.4、已知y＝x2＋bx＋c图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图象的解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点

之间的距离．解：(1)2；0(2)原函数的解析式为y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.∴其图象的顶点坐标为(－1，－1)．(3)原图象的顶点为(－1，－1)，新图象的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为13.

【变式训练4-1】已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过点(1,0)，（0，32）.(1)求该抛物线的函数解析式；[来源:学§科§网](2)将抛物线y＝－12x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．解：(1)y＝－12x2－x＋32.

(2)可先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，解析式变为y＝－12x2.5、如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x＝－12.(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当

△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．高频考点四高频考点五利用平移规律求二次函数解析式利用对称轴求二次函数解析式-4-解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax＋122＋k.把点(2，0)，(0，3)的坐标代入得254a＋k＝0，14a＋k＝3，解

得a＝－12，k＝258，∴y＝－12x＋122＋258，即y＝－12x2－12x＋3.(2)由y＝0，得－12x＋122＋258＝0，∴x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM＝BM时

，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O处时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标为(0，0)．②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝OC2＋OB2＝32，∴BM＝32，∴M点坐标

为(32－3，0)．综上所述，点M坐标为(0，0)或(32－3，0)．【变式训练5-1】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是___y＝－

x2＋2x＋3_____．6、若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是(A)x－101y=ax21y=ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋8【变式训练6-1】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(

a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表：高频考点六利用图表信息求二次函数解析式-5-x…－32－1－12012132…y…－54－2－94－2－54074…则该二次函数的解析式为________y＝x2＋x－2______．1.已知二次函数

y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为__________________________．[解析]∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为(－4，0)或(4，0)

，①当这个交点坐标为(－4，0)时，c＝0，4a－2b＋c＝－2，16a－4b＋c＝0，解得a＝12，b＝2，c＝0，∴该二次函数的解析式为y＝12x2＋2x；②当这个交点坐标为(4，0)时，c＝0，4a－2b＋c＝－2，16a＋4b＋c＝0，解得

a＝－16，b＝23，c＝0，∴该二次函数的解析式为y＝－16x2＋23x.故这个二次函数的解析式为y＝12x2＋2x或y＝－16x2＋23x.2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点

，交y轴于点C，D为抛物线的顶点，连接BD，H为BD的中点．请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)在y轴上找一点P，使PD＋PH的值最小，则PD＋PH的最小值为________．提高

训练-6-解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，∴－1－b＋c＝0，－9＋3b＋c＝0，解得b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2

＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)．(2)133.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2

)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求点P的坐标．注：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋b

x＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，∴－1－b＋c＝0，－9＋3b＋c＝0，解得b＝2，c＝3.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)∵当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵y＝－x2＋2x＋

3＝－(x2－2x＋1)＋4＝－(x－1)2＋4，∴点D的坐标为(1，4)．(3)设点P(x，y)，则x＞0，y＞0，∵S△COE＝12×3×1＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，S△ABP＝4S△COE，∴

2y＝4×32，∴y＝3.∴－x2＋2x＋3＝3，解得x＝2或x＝0(不合题意，舍去)．∴点P的坐标为(2，3)．-7-4.如图，已知二次函数y＝ax2＋32x＋c的图象与y轴交于点A(0,4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8,0

)，连接AB，AC.(1)求二次函数的解析式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由．[来源:学科网ZXXK](1)y＝－14x2＋32x＋4.(2)△ABC是直角三角形，理由略．1．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函

数解析式为()A．y＝12(x－2)2＋1B．y＝12(x＋2)2－1C．y＝12(x＋2)2＋1D．y＝－12(x＋2)2＋1C[解析]已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y＝a(x＋2)2＋1，又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线

y＝12x2－4x＋3相同，所以a＝12，所以该抛物线的函数解析式是y＝12(x＋2)2＋1.2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是()A．2，4B．2，－4C．－2，4D．－2，－4[解析]

∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的二次项系数－1＜0，∴该函数图象的开口方向向下，∴二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点坐标(－1，－3)就是该函数图象的顶点坐标．又∵二次项系数为－1，∴二次函数解析式为y＝－(x＋1)2－3.化为一般形式，得y＝－x2－2x－4，∴b＝－2，c＝－4.故

选D.课堂小测-8-3．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数解析式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋8[解析]∵当x＝1时，ax2＝1，∴a＝1.将点(－1，8)，(0，3)

分别代入y＝x2＋bx＋c中，得1－b＋c＝8，c＝3，解得b＝－4，c＝3.∴y与x之间的函数解析式是y＝x2－4x＋3.故选A.4．二次函数的图象如图1所示，则其解析式为________________．[解析]由图象可知，抛物线的对称轴

是直线x＝1，与y轴交于点(0，3)，与x轴交于点(－1，0)，设其解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则－b2a＝1，c＝3，a－b＋c＝0，解得a＝－1，b＝2，c＝3.故二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.5.已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)

，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数解析式．解：方法一：设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得－b2a＝－2，4ac－b24a＝4，a＋b＋c＝0，解得a＝－49，

b＝－169，c＝209.∴抛物线对应的函数解析式为y＝－49x2－169x＋209.方法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－49.∴抛物线对应的函数解析式

为y＝－49(x＋2)2＋4，即y＝－49x2－169x＋209.方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，与x轴的另一个交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)(x＋5)，将

点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a＝－49.∴抛物线对应的函数解析式为y＝－49(x－1)(x＋5)，即y＝－49x2－169x＋209.