【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)01《一元二次方程》（教师版）.docx，共(11)页，178.008 KB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第1讲一元二次方程1．若一元二次方程ax2－bx－2015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．答案：2015点拨：把x＝－1代入方程中得到a＋b－2015＝0，即a＋b＝2015.2．若关于x的一元二次方程ax2＋

bx＋c＝0有一根为－1，且a＝4－c＋c－4－2，求（a＋b）20162015c的值．解：∵a＝4－c＋c－4－2，∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根

，∴a－b＋c＝0，∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）20162015³4＝0.3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝24．一元二次方程x2－2x－3＝

0的解是(A)A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3D．x1＝1，x2＝3知识点一：一元二次方程的解法方法1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解

方法2形如02cbxax当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的一般步骤移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；配方

：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；【注意】1）当时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”求解：判断右边等式符号，开平方并求解。20(0)axbxca2()(0

)xmnn0n课前训练知识精讲-2-方法3能化成形如02bxax或02cbxax的一元二次方程用因式分解法求解用因式分解一元二次方程的一般步骤：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程；求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解方法4形如02cbxax的一元二次方程用公式法求解，.04.2422acbaacbbx用公式法解一元二次方程的一般步骤：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);求出b2

-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：最后求出x1，x2知识点二：根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，若b2－4ac>0，方程有两个不相等

的实数根；b2－4ac=0，方程有两个相等的实数根；b2－4ac<0，方程没有实数根。利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．知识点三：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根与系数的关系我们将一元二次方程化成一般式

ax2+bx+c＝0（a≠0，Δ≥𝟎）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝；＝名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式

Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.20(0)axbxca20(0)axbxca242bbacxa1x2x1x2x1x2xba1x2xca-3-1、选择适当的

方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6000(1－x)2＝4860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.解：(1)(x－1)2＋

2x(x－1)＝0，(x－1)(x－1＋2x)＝0，(x－1)(3x－1)＝0，x1＝1，x2＝13.(2)x2－6x－6＝0，∵a＝1，b＝－6，c＝－6，∴b2－4ac＝(－6)2－4³1³(－6)＝60.[来源:学,科,网Z,X,X,K]∴x＝6±602

＝3±15，∴x1＝3＋15，x2＝3－15.(3)6000(1－x)2＝4860，(1－x)2＝0.81，1－x＝±0.9，x1＝1.9，x2＝0.1.(4)(10＋x)(50－x)＝800，x2－40x＋300＝0，x1

＝10，x2＝30.(5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，x2－6x＋8＝0，x1＝2，x2＝4.【变式训练1-1】已知△ABC的三边a，b，c中，a＝b－1，c＝b＋1，又已知关于x的方程4x2－2

0x＋b＋12＝0的根恰为b的值，求△ABC的面积．解：将x＝b代入原方程，整理得4b2－19b＋12＝0，解得b1＝4，b2＝34.当b1＝4时，a＝3，c＝5，∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，高频考点一一元二次方程

的解法-4-∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.∴S△ABC＝12ab＝12³3³4＝6；当b2＝34时，a＝34－1<0，不合题意，舍去．因此，△ABC的面积为6.2.1、已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(C)

A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解点拨：当k＝0时，方程为一元一次方程，解为x＝1；当k≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k²(－1)＝k2＋2k＋

1＝(k＋1)2≥0，所以当k＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当k≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C.2.2、已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2

)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．(1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.∵不论m为何值，(m－2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，得x＝m＋2±

Δ2m＝m＋2±（m－2）2m.∴x1＝2m，x2＝1.∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m＝1或m＝2.又∵方程的两个根不相等，∴m≠2，∴m＝1.2.3、已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．解：∵关于x的方程x2＋(

2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4³1³4＝0，即2m－1＝±4.高频考点二根的判别式-5-∴m＝52或m＝－32.当m＝52时，m－1（2m－1）2＋2m＝52－116＋5＝114；当m＝－32时，m－1（2m－1）2＋2m＝－32－116－3＝

－526.【变式训练2-1】已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4²(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对

于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4²m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．【变式训练2-2】已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方

程(a＋c)x2＋bx＋a－c4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋a－c4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)²a－c4＝b2－(a2－c2)＝0，即b2＋c2＝a2，∴此三角形是直角三角形3.1、设方

程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)x2x1＋1＋x1x2＋1；(3)x1－x2.解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x1＋x2＝74，x1x2＝－34.(1)(x1－3)(x2－3)＝

x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－34－3³74＋9＝3.高频考点三一元二次方程根与系数的关系-6-(2)x2x1＋1＋x1x2＋1＝x2（x2＋1）＋x1（x1＋1）（x2＋1）（x1＋1）＝x12＋x22＋x1＋x2x1x2＋x1＋x2＋1＝（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）x

1x2＋（x1＋x2）＋1＝10132.(3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝742－4³－34＝9716，∴x1－x2＝±9716＝±1497.§3.2、已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m

＋1＝0的两根的平方和是294，求m的值．解：设方程两根为x1，x2，由已知得x1＋x2＝m2，x1x2＝－2m＋12.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝294，即m22－2³－2m＋12＝2

94，∴m2＋8m－33＝0.解得m1＝－11，m2＝3.当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝112－4³2³23<0，方程无实数根，∴m＝－11不合题意，舍去；当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，Δ＝(－3)2－4³2³(－5)>0，

方程有两个不相等的实数根，符合题意.∴m的值为3.【变式训练3-1】已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值是(A)[来源:学§科§网Z§X§X§K]A．3B．1C．3或－1D

．－3或1【变式训练3-2】已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx2－4kx

＋k＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4³4k(k＋1)＝－16k≥0，∴k＜0.∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝k＋14k.∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x

2)2－9x1x2＝－k＋94k.-7-又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32，∴－k＋94k＝－32，∴k＝95.又∵k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立．方法总结：对于存在

性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(C)A．3B．4C．3或4D．无法确定2．（2019春广饶县期

中）一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有实数根D．没有实数根【答案】C【详解】∵△＝a2﹣4³1³(a﹣1)＝a2﹣4a+4＝(a﹣2)2≥0，∴一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根，故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程

x2﹣12x+35=0的根，则第三边的长为（）A．2B．5C．7D．5或7【答案】B【详解】解：x2-12x+35=0，(x-5)(x-7)=0，解得：x1=5，x2=7，∵三角形两边的长是2和5，∴

第三边长小于7，∴第三边的长为：5．故选：B．4．已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2=1B．x1•x2=﹣1C．|x1|＜|x2|D．x12+x1=12【答案】D【详

解】根据题意得x1+x2=﹣22=﹣1，x1x2=﹣12，故A、B选项错误；∵x1+x2＜0，x1x2＜0，∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误；∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，∴2x12+2x1﹣1=0，∴x12+x1=1

2，故D选项正确，故选D．提高训练-8-5．等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是(B)A．27B．36C．27或36D．186．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范

围是______．【答案】k≤14且k≠﹣2【详解】∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1=0有实数根，∴△≥0且k+2≠0，即（﹣3）2﹣4（k+2）³1≥0且k+2≠0，整理得：﹣4k≥﹣1且k+2≠0，∴k≤14且k≠﹣2．故答案为：k≤14且k≠﹣2．7．已

知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边

三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：把x＝－1代入原方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，所以a＝b，故△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，所以b2－a2＋c

2＝0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．(3)如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，所以方程可化为2ax2＋2ax＝0，所以2ax(x＋1)＝0，所以方程的解为x1＝0，x2＝－1.8．已知关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=p(p+1).（1）试证

明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2满足x12+x22−x1x2=3p2+1，求p的值.解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24

+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，∴无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）∵原方程的两根为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，∴2

5-18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=-6，∴p=-2．-9-9．已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出

三个，不需说明理由)．(1)证明：化简方程，得x2－5x＋4－p2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p2)＝9＋4p2.∵p为实数，则p2≥0，∴9＋4p2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)10．设x1，x2是关于x的一

元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤12.又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4

a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.∵a≤12，且2(a－2)2≥0，∴当a＝12时，x12＋x22的值最小．此时x12＋x22＝212－22－4＝12，即最小值为12.点拨：本题

中考虑Δ≥0从而确定a的取值范围这一过程易被忽略．1．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程

x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【答案】D【详解】∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴*a+1≠0△＝(2b)2−4(a+1)2＝0，∴b=a+1或b=-（a+1）．当b=a+1时，有a-b+1=0

，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠-（a+1），∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0

的根．课堂小测-10-故选D．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2．若1x1+1x2=4m，则m的值是（）A．2B．﹣1C．2或﹣1D．不存在【答案】A【详解】∵关于x的一元二次方程mx2

﹣（m+2）x+m4=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴{m≠0Δ=(m+2)2−4m⋅m4>0，解得：m＞﹣1且m≠0，∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+m4=0的两个实数根，∴x1+x2=m+2m，x1x2=14，∵1x1+1x2=4m，∴m+2m1

4=4m，∴m=2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m=2，故选A．3．若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．−1B．1C．−2或2D．−3或1【答案】A【详解】x(x+1)+ax=0，x2+(a+1)x=0，

由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4³1³0=0，解得：a1=a2=-1，故选A.4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱ABCD的周长为()A．4＋2√2B．12＋6√2C．2＋2√2D．2＋√2或12＋

6√2【答案】A【解析】先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出□ABCD的周长即可．解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴a2+2a﹣3=0，即（a﹣1）（a+3）=0，解得，a=1或a=﹣3（不合题意，舍去）．∴A

E=EB=EC=a=1．在Rt△ABE中，AB=√AE2+BE2=√12+12=√2，∴BC=EB+EC=2，∴□ABCD的周长═2（AB+BC）=2（√2+2）=4+2√2．故选A．5．关于的方程x2−ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是()-11-A．-1或5B．1C．5D．-

1【答案】D【详解】设方程的两根为x1、x2，则x1+x2=a，x1⋅x2=2a，∵x12+x22=5，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2=5，∴a2−4a−5=0，∴a1=5，a2=−1，∵△=a2−8a≥0，∴a=−1.故选：D.6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=

0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．【答案】（1）m≤2；（2）32【详解】（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，整理得：4﹣4

m+4≥0，解得：m≤2；（2）∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=6x1•x2，即4=8（m﹣1），解得：m=32．∵m=32＜2，∴符合条件的m的值为32．