【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)03《二次函数的图象与性质》（教师版）.docx，共(32)页，1.434 MB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第3讲二次函数的图象与性质1.如图，在一块长为32m、宽为20m的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行.若使剩余(阴影)部分的面积为560m2，问小路宽应是多少？设小路宽为xm，根据题意得()A.32x＋20x＝20×3

2－560B.32×20－20x×32x＝560C.(32－x)(20－x)＝560D.以上都不正确【答案】C【详解】设小路的宽为x米，根据题意，可列方程：（32-x）（20-x）=560，故选C.2.某超市一月份的营业额为200万元，三

月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（）A.10%B.15%C.20%D.25%【答案】C【解析】由题可得：设每月增长率为x，则，解得x=0.2，所以选C。3.如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=

3米.在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（）A.67mB.267mC.316mD

.5m【答案】B【详解】设BC的长为x米，∵AB+AD=BC+CD，∴CD=5-x，∵AC2+AD2=DC2,∴(2+x)2+32=(5-x)2，∴x=67，AC=2+67=267m.课前训练-2-知识点一二次函数的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠

0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数a≠0，而b，c可以为零.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.知识点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的

基本表现形式：①y=ax2；②y=ax2+k；③y=a(x−h)2；④y=a(x−h)2+k；⑤y=ax2+bx+c.第一种：二次函数𝐲=𝐚𝐱𝟐的性质（最基础）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0，0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<

0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.a<0向下(0，0)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0.第二种：二次函数𝐲=𝐚𝐱𝟐+𝐜的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而增大；

x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.a<0向下(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c.第三种：二次函数𝐲=𝐚(𝐱−𝐡)𝟐的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h，0)X=hx>h时，y随x的增

大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0.a<0向下(h，0)X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0.知识精讲-3-第四种：二次函数𝐲=𝐚(𝐱−𝐡)𝟐+𝐤的性质a的符号

开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h，k)X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.a<0向下(h，k)X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随

x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x−h)2+k的形式，其中h=−b2a，k=4ac−b24a.知识点三二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化

成顶点式y=a(x−h)2+k，确定其顶点坐标(h，k)；保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下：平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.【概括】左加右减，上加下减-4-1.1、各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y＝ax

2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为______________.[解析]因为直线x＝1与这四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，所以a＞b＞d＞c.1

.2、已知抛物线y＝(m－1)x2＋4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是________.[解析]∵抛物线y＝(m－1)x2＋4的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴m－1＜0，∴m＜1.【变式训练1-1】若

二次函数7-2mmxy的图象开口向上，则m的值为________.[解析]∵二次函数y＝mxm2－7的图象开口向上，∴m2－7＝2，m＞0，解得m＝3.【变式训练1-2】已知二次函数y＝ax2＋k的图象上有两点

A(－3，y1)，B(1，y2)，且y2<y1，则a的取值范围是()A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0答案：A[解析]∵二次函数y＝ax2＋k的图象关于y轴对称，∴点A(－3，y1)的对称点为(

3，y1)，当横坐标1<3时，有对应的纵坐标y2<y1，即函数图象在y轴右侧为上升趋势，∴a＞0.2、二次函数y＝(x－2)2＋m2，当x＞m＋1时，y随x的增大而增大，当x＜m＋1时，y随x的增大而减小，则m的值是________.答案：1[解析]二次函数y＝(x－2)2＋m2图象的对称轴为直线

x＝2，由题意得m＋1＝2，解得m＝【变式训练2-1】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：x－10123y51－1－11则该二次函数图象的对称轴为()高频考点一高频考点二二次函数的对称轴二次函数的开口方向、大小-5-A.y轴B.直

线x＝52C.直线x＝2D.直线x＝32[解析]∵x＝1和2时的函数值都是－1，∴对称轴为直线x＝1＋22＝32.故选D.3.1、若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为()A.m＞2B.m＞0C.m＞－1D.－1＜m＜0[解析]∵y＝(

x－m)2＋(m＋1)，∴抛物线的顶点坐标为(m，m＋1).∵顶点在第一象限，∴m>0，m＋1>0，解得m＞0，故选B.3.2、已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为()A.1或－5B.－1或5

C.1或－3D.1或3B[解析]∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小.∴①若h＜1≤x≤3，则当x＝1时，y取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h＝－1或h＝3(舍去)；②若1≤x≤3＜h，则当x＝3时，y取得最小值5，

可得(3－h)2＋1＝5，解得h＝5或h＝1(舍去)；③若1≤h≤3，则当1≤x≤3时，y的最小值为1，故不符合题意，舍去这种情况.综上可知，h的值为－1或5.【变式训练3-1】已知关于x的二次函数y=(x−h)2+3，当1≤x≤3

时，函数有最小值2h，则h的值为___________.【答案】32或6【详解】∵y=(x−h)2+3中a=1>0，∴当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小值3，即2h=3，解得：h=32；②若h<1，

则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即(1−h)2+3=2h，解得：h=2；(舍去)③若h>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即(3−h)2+3=2h，解得：h=6,h=2(舍高频考点三二次函数的顶点、最值-6-

去)；故答案为:32或6.4、已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是()A.y1>0>y2B.y2>0>y1C.y1>y2>0D.y2>y1>0【变式训练4-1】设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－

(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(A)A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y3＞y2＞y1D.y3＞y1＞y2【变式训练4-2】若二次函数y＝(x－m)2－1在x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(C)A.m＝1B.m>1C.m≥1

D.m≤1[解析]二次函数y＝(x－m)2－1的图象开口向上，其对称轴为直线x＝m，顶点坐标为(m，－1).在对称轴的左侧，即当x<m时，y随x的增大而减小.因为当x≤1时，y随x的增大而减小，所以直线x

＝1应在对称轴左侧或与对称轴重合，所以m≥1.5.1、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为()A.y=−2(x+1)2+2B.y=−2(x+1)2−2C.y=−2(x−1

)2+2D.y=−2(x−1)2−2【答案】A【详解】将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为y=−2(x+1)2+3−1=−2(x+1)2+25.2、将函数y＝12(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，

B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是()高频考点四高频考点五二次函数的图象性质二次函数的平移-7-A.y＝12(x－2)2－2B.y＝12(x－2)2＋7C.y＝12(x－2)2－5D.y＝1

2(x－2)2＋4B[解析]∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小.∴①若h＜1≤x≤3，则当x＝1时，y取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h＝－1或h＝3(舍去)；②若1≤x≤3＜h，则当x＝3时，y取得最小值5，可得(3－h)2＋1

＝5，解得h＝5或h＝1(舍去)；③若1≤h≤3，则当1≤x≤3时，y的最小值为1，故不符合题意，舍去这种情况.综上可知，h的值为－1或5.【变式训练5-1】如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝－x平移2个单位长度后，其顶点在直线上的点A处，则平移后抛

物线的解析式是__________________________________________.[解析]∵点A在直线y＝－x上，∴设A(m，－m).∵OA＝2，∴m2＋m2＝22，解得m＝±2(m＝2舍去)，∴m＝－2.∴A(－2，2)，∴

抛物线的解析式为y＝(x＋2)2＋2.6、在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象是(C)高频考点六一次函数、二次函数的图象综合-8-【变式训练6-1】当ab<0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是(A)7、关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线

开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个【变式训练7-1】已知抛物线y＝a(x

－1)2－3(a≠0)如图2－G－3所示，下列命题：①a>0；②对称轴为直线x＝1；③若抛物线经过点(2，y1)，(4，y2)，则y1>y2；④顶点坐标是(1，－3).其中真命题的个数是()图2－G－3A.1B.2C.

3D.4[解析]∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴①是真命题；由抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)得对称轴为直线x＝1，顶点坐标是(1，－3)，∴②④是真命题；∵在对称轴右侧y随x的增大而增大，2＜4，∴y1＜y2，∴③是假命题.故真命题有3个，故选C.高频考点七二次函数的图象与性质综合-9-1

.如图,平行于x轴的直线AC分别交函数21xy(x≥0)与322xy(x≥0)的图象于B,C两点,过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D,直线DE∥AC,交y2的图象于点E,则ABDE=3-.2.将函数y=a

x2-5的图象向上平移m个单位长度后,经过点(2,6).如果新函数有最小值-2,那么a=2,m=3.3.已知正方形ABCD中A(1,1),B(1,2),C(2,2),D(2,1),有一抛物线y=(x+1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边

(包括四个顶点)有交点,则m的取值范围是2≤m≤8.4.若二次函数y=ax2+b的最大值为4,且该函数的图象经过点A(1,3).(1)a=,b=,顶点D的坐标(，);(2)求此抛物线关于x轴对称后的函数解析式;(3)是否在抛物线上存在点B,使得S△DOB=2S△AOD?若存在,请求出B的坐标;若

不存在,请说明理由.解:(1)因为二次函数y=ax2+b的最大值为4,所以b=4.所以y=ax2+4.因为函数的图象经过点A(1,3),所以3=a+4,解得a=-1.所以y=-x2+4,所以顶点D的坐标为(0,4).(2)因为抛物线y=-x2+4关于x轴对称的抛物线为-y=-x2+4,

所以所求解析式为y=x2-4.(3)假设存在点B(x,y).由题意得=2,所以=2,所以x=±2,提高训练-10-①当x=2时,则有y=-x2+4=0;②当x=-2时,则有y=-x2+4=0.所以在抛物线上存在点B,使得

S△DOB=2S△AOD,点B的坐标为(2,0)或(-2,0).5.已知函数21axy与函数232xy的图象分别交于点A,B,点A的纵坐标是21.(1)若y1<y2,试确定自变量x的取值范围;(2)求△AOB的面积.解:(

1)因为点A的纵坐标是,所以x+=,解得x=-1,所以点A的坐标为(-1,).将点A的坐标代入抛物线,得a×(-1)2=,解得a=.所以,二次函数解析式为y1=x2.联立解得或所以点B的坐标为(3,),所以y1<y2时,-1<x<3.(2)连接OB,令

x=0,则y=,所以直线与y轴的交点坐标为（0,）,所以S△AOB=××(3+1)=3.6.已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.(1)求直线

l的解析式;(2)若S△AMP=3,求抛物线的解析式.-11-解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b,把A(4,0),B(0,4)分别代入y=kx+b,得解得所以直线l的解析式为y=-x+4.(2)设M点的坐标为(m,n),

连接PM,因为S△AMP=3,所以(4-1)n=3.解得n=2.把M(m,2)代入y=-x+4,得2=-m+4.所以m=2.所以M(2,2).因为抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),可得y=a(x-1)2.把M(2,

2)代入y=a(x-1)2,得2=a(2-1)2,解得a=2.所以所求抛物线的解析式为y=2(x-1)2.7.已知抛物线y=a(x-1)2+3(a≠0)与y轴交于点A(0,2),顶点为B,且对称轴l1与x轴交于点M.(1)求a的值,并写出点B的坐标;(2)有一个动点P从原点O出发,沿x轴正

方向以每秒2个单位的速度运动,设运动时间为t秒,求t为何值时,PA+PB最短;(3)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C,且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N,过点C作DE∥x轴,分别交l1,l2于点D,E,若四边形MDEN是正方形,求平移后抛物线的解析式.解:(1)把A(0,

2)代入抛物线y=a(x-1)2+3,得2=a+3,解得a=-1.-12-所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3.所以抛物线顶点B的坐标为(1,3).(2)如图1中,作点A关于x轴的对称点A′,连接BA′交x轴于P,点P即为所求.因为A′(0,-2),B(1,

3),所以直线A′B的解析式为y=5x-2.当y=0时,5x-2=0,解得x=.所以点P的坐标为(,0),所以t==.所以t为秒时,PA+PB最短.(3)如图2中,设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3.由解得x=.所以点C的横坐标为,因为MN=m-1,四边形MDEN是正方形,所

以点C的坐标为(,m-1).把点C的坐标代入y=-(x-1)2+3,得到m-1=-+3,解得m1=3,m2=-5(不合题意,舍去).所以平移后抛物线的解析式为y=-(x-3)2+3.1.如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A.﹣3和5

B.﹣4和5C.﹣4和﹣3D.﹣1和5【答案】B【详解】∵二次函数y=（x+1）2-4，对称轴是：x=-1∵a=-1＞0，∴x＞-1时，y随x的增大而增大，x＜-1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值，y=（2+1）2-4=5，x=-1时y有最小值，是-

4，故选B.2.抛物线y=﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C.y3＞y1＞y2D.y2＞y3＞y1【答案】D【

详解】∵y=−2(x−1)2，−2<0，∴当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，∵抛物线y=−2(x−1)2的图象上有三个点A(−1,y1),B(1,y2),C(2,y3)，∴y2>y3>y1，课堂小测-13-3.在同一坐标系中，一次函数y

=−mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：A.由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B.由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m

＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，4.已知某二次函数的图象如图所

示，则这个二次函数的解析式为（）A.y=2(x+1)2+8B.y=18(x+1)2−8C.y=29(x−1)2+8D.y=2(x−1)2−8【答案】D【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）故二次函数的解析式为y=2（x-1

）2-8，故选：D.5.若A（-6，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2-1图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y3<y2<y1B.y2<y3<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y3【答案】A【详解】解：∵A（-6，y1）、B（-3

，y2）、C（1，y3）为二次函数y=x2-1图象上的三点，∴y1=35，y2=8，y3=0，∴y3＜y2＜y1.6.在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）-14-A.y1B.y2C.y3D.y4【答案】A【详解】由图象可知：抛物线y1的顶点为

（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=（x+2）2-2；抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1；抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=

（x-1）2+1；抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y17.如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（）A

.y=x2﹣x﹣2B.y=﹣12x2﹣12x+2C.y=﹣12x2﹣12x+1D.y=﹣x2+x+2【答案】D【详解】A、由图象可知开口向下,故a＜0,故A错误；B、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐

标是12,而y=−12x2−12x+2的顶点横坐标是﹣12,故B错误；C、y=−12x2−12x+1的顶点横坐标是﹣12,故C错误；D、y=−x2+x+2的顶点横坐标是12,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0

），故D正确.8.把抛物线y＝3x2向右平移2个单位，然后向下平移6个单位，则平移后抛物线的解析式为（）34-15-A.y＝3（x+2）2+6B.y＝3（x﹣2）2+6C.y＝3（x+2）2﹣6D.y＝3（x﹣2）2﹣6【答案】D【详解】抛物线y=3x2向右平移2个单位，得：y=3（x

﹣2）2；再向下平移6个单位，得：y=3（x﹣2）2﹣6.9.若点A（－3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=－2（x－1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）.【答案】y1＜y2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴

为x=1，由a=-2，可知当x＞1时，y随x增大而减小，当x＜1时，y随x增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y1＜y2.10.若是二次函数，则m的值是______.【答案】3【详解】由题意得：且，解得：.故答案为：3.11.已知二次函数y=x2，在−1≤x≤4内，函数的最小值为________

______.【答案】0【详解】∵a=1>0，∴二次函数y=x2的图象开口向上，∴二次函数y=x2的图象在−1≤x≤4内有最低点，为原点（0，0），故二次函数y=x2，在−1≤x≤4内，函数的最小值为0，二次函数的图象与性质1.如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三

象限的点P.若点P的横坐标为－1，则一次函数y＝(a－b)x＋b的图象大致是()答案：D[解析]由题意得a＜0，－b2a＜0，得b＜0.∵x＝－1时，y＝a－b＜0，∴一次函数y＝(a－b)x＋b的图象过第二、三、四象

限.2.已知两点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是()22m2m1ymmx2212mm20mm3m课前训练-16-A.若y1＝y2，则x1＝x2B.若x1＝－x2，则y1＝－y2C.若

0＜x1＜x2，则y1＞y2D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2[解析]抛物线y＝x2－1大致如图.A.若y1＝y2，可得x1＝－x2，故A选项错误；B.若x1＝－x2，则y1＝y2，故B选项错误；C.若0＜x1＜x2

，则所给两点在对称轴的右侧，因为在对称轴右侧y随x的增大而增大，所以y1＜y2，故C选项错误；D.若x1＜x2＜0，则所给两点在对称轴的左侧，因为在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以y1＞y2，故D选项正确.3.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x

≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6答案：B[解析]当h＝3时，二次函数y＝－(x－h)2＝－(x－3)2.该函数图象开口向下，有最大值，当x＝3时，最大值为y＝－(3－3)2＝0，这与“当自变量x的值满足2≤x≤5

时，与其对应的函数值y的最大值为－1”不一致，故h≠3，∴排除A，C选项；当h＝1时，二次函数y＝－(x－h)2＝－(x－1)2.该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.当x的值满足2≤x≤5时，最大值在x＝2时取到，此时y＝－(2－1)

2＝－1，这与“当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1”一致，故h＝1可以；当h＝6时，二次函数y＝－(x－h)2＝－(x－6)2.该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝6，在对称轴的左侧y随x的增大而增大.当x的值满

足2≤x≤5时，最大值在x＝5时取到，此时y＝－(5－6)2＝－1，这与“当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1”一致，故h＝6可以，故B选项正确.知识点一：抛物线𝐲=𝐚𝐱𝟐+𝐛𝐱+𝐜1.二次函数的图象与

性质a>0a<0开口方向开口向上开口向下对称轴x＝－b2ax＝－b2a顶点坐标（－b2a，4ac－b24a）（－b2a，4ac－b24a）知识精讲-17-最值当x＝－b2a时，y最小值＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y最大值＝

4ac－b24a增减性对称轴左侧y随x的增大而减小y随x的增大而增大对称轴右侧y随x的增大而增大y随x的增大而减小2.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k的步骤:(1)提:提取二次项系数,把二次项系数化为1

;(2)配:将提取后的括号内的二次式配成平方式;(3)化:利用乘法分配律把式子化成顶点式.3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值规律：(1)自变量x的取值范围是全体实数，当x＝－b2a时，y最值＝4ac－b24a，当a>0时，

在x＝－b2a处取得最小值，当a<0时，在x＝－b2a处取得最大值；(2)自变量x的取值范围是x1≤x≤x2.①x1≤－b2a≤x2，则当x＝－b2a时，y最值＝4ac－b24a；②当－b2a>x2或－b2a<x1时，函数的最值即

为函数在x＝x1，x＝x2时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的.知识点二：抛物线𝐲=𝐚𝐱𝟐+𝐛𝐱+𝐜中，𝐚,𝐛,𝐜与函数图像的关系（灵活掌握）系数图象的特征系数的符号a开口向上a>0

开口向下a<0b对称轴为y轴b＝0对称轴在y轴左侧a，b同号对称轴在y轴右侧a，b异号c经过原点c＝0与y轴正半轴相交c>0与y轴负半轴相交c<0acb4-2与x轴有两个交点acb4-2>0与x轴有一个交点acb4-2=0与x轴有没有交点a

cb4-2<0-18-特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c；点（1，y）在x轴上方a＋b＋c>0点（1，y）在x轴下方a＋b＋c<0当x＝－1时，y＝a－b＋c点（-1，y）在x轴上方a-b＋c>0点（-1，y）在x轴下方a-b＋c<0当x＝2时，y＝4a＋2b＋c；点（2，y）在x

轴上方4a＋2b＋c>0点（2，y）在x轴下方4a＋2b＋c<0当x＝－2时，y＝4a－2b＋c点（-2，y）在x轴上方4a-2b＋c>0点（-2，y）在x轴下方4a-2b＋c<0当对称轴为直线x＝1时，2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1时，2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看

对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系知识点三：利用二次函数图象解一元二次方程或不等式解题步骤：(1)找抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点.如果直接找不到，可以利用抛物线与x轴的一个交点以及对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点.(2)交点横

坐标的值就是方程ax2＋bx＋c＝0的解.x轴上方的点对应ax2＋bx＋c>0，x轴下方的点对应ax2＋bx＋c<0，找到此时自变量的取值范围即得不等式的解集.1.1、二次函数y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是(A)A、开口向上,顶点坐标为(-1,-4)B、

开口向下,顶点坐标为(1,4)C、开口向上,顶点坐标为(1,4)D、开口向下,顶点坐标为(-1,-4)1.2、将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数解析式是(D)A、y=(x+3)

2-2B、y=(x+3)2+2C、y=(x-1)2+2D、y=(x-1)2-21.3、如图,已知二次函数y=-x2+2x,当-1<x<a时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围高频考点一的图象与性质-19-是-1<a≤1.1.4、二次函数y=ax2+2x﹣1与直

线y=2x﹣3交于点P（1，b）.（1）求出此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.【答案】（1）y=﹣2x2+2x﹣1.（2）当x＞12时，y随x的增大而减小.【详解】解：（1）∵点P（

1，b）在直线y=2x﹣3上，∴b=2﹣3=﹣1，∴P（1，﹣1），把P（1，﹣1）代入y=ax2+2x﹣1，得到a=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣2x2+2x﹣1.（2）∵y=﹣2（x﹣12）2﹣12，∴顶点坐标为（12，﹣12），当x＞12时，y随x

的增大而减小1.5、点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是_____.【答案】y2＜y3＜y1【详解】∵y=2x2-4x+c，∴当x=-3时，y1=2×（-3）2

-4×（-3）+c=30+c，当x=2时，y2=2×22-4×2+c=c，当x=3时，y3=2×32-4×3+c=6+c，∵c＜6+c＜30+c，∴y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1.【变式训练1-1】若二次函数y=ax2+bx+a2−2（a，b为常

数）的图象如图，则a的值为（）A.1B.√2C.−√2D.-2【答案】C【详解】由图可知，函数图象开口向下，∴a＜0，又∵函数图象经过坐标原点（0，0），∴a2-2=0，解得a1=√2（舍去），a2=-√2，【变式训练1-2

】若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(－2，3)，则2c－4b－9的值是()A.5B.－1C.4D.18-20-[解析]∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(－2，3)，∴－(－2)2－2b＋c＝3.整理得－2b＋c＝7，∴2c－4b

－9＝2(c－2b)－9＝2×7－9＝5，故选A.【变式训练1-3】点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y3＞y2＞y1B.y3

＞y1＝y2C.y1＞y2＞y3D.y1＝y2＞y3[解析]∵y＝－x2＋2x＋c，∴对称轴为直线x＝1，点P2(3，y2)，P3(5，y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.∵3＜5，∴y2＞y3.根据二次函数图象的对称性可知，

点P1(－1，y1)与点P2(3，y2)关于对称轴对称，故y1＝y2＞y3.故选D【变式训练1-4】若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线对应的函数解析式为()A.y＝(x－2)2＋3

B.y＝(x－2)2＋5C.y＝x2－1D.y＝x2＋4[解析]将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，相当于把原抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，∵y＝x2－2x＋3＝(x－

1)2＋2，∴原抛物线对应的函数解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1，故选C.【变式训练1-5】对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析]当x＝1时，y

＞0，则a＋2a－1＋a－3＞0，即a＞1.该抛物线的顶点坐标为(1－2a2a，－8a－14a).由于a＞1，则1－2a2a＜0，－8a－14a＜0，∴该抛物线的顶点在第三象限.故选C.2、在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）A.B.C.D.

【答案】C解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错高频考点二的图象与一次函数图象综合-21-误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，则一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以

，A选项错误，C选项正确。【变式训练2-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【详解】解：A、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=

ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意；B、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向上，对称轴x=-b2a＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确；C、对于直

线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=-b2a＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意；D、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意.故选：B.3.1、二次函

数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤Δ=b2-4ac<0中，成立的式子有()A.②④⑤B.②③⑤C.①②④D.①③④【答案】D【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称

轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故②错误，高频考点三的图象与系数的关系-22-∵x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，∴a+c＞b，故③正确，∵对称性x=1，∴-b2a=1，∴2a+b=0，

故④正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，故选：D.3.2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是()A.abc＜0B.a＋c＜bC.b2＋8a＞4acD.2a＋b＞

03.3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4

个[解析]∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0；∵对称轴在y轴左侧，∴b与a同号，则可得b＜0，∴abc＞0，①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，②正确；∵当

x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0(1).∵对称轴为直线x＝－b2a＞－1，∴b2a<1.∵a＜0，∴b＞2a，∴2a－b＜0(2).(1)＋(2)，得3a＋c＜0，③错误；∵当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，当

x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，∴(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即[(a＋c)＋b][(a＋c)－b]＝(a＋c)2－b2＜0，∴(a＋c)2＜b2，④正确.故选B.【变式训练3-1】如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，

3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4-23-[解析]由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故结论①不正确

.∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，∴当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，故结论②不正确.∵抛物线的对称轴为

直线x＝－b2a＝－1，∴2a＝b，即2a－b＝0，故结论③正确.∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，∴a－b＋c＝3.∵2a＝b，∴a－2a＋c＝3，即c－a＝3，故结论④正确.综上所述，正确的

结论有2个.故选B.【变式训练3-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a﹣c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____.【答案】①③④⑥【详

解】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0；故①正确；②∵a<0，c>0，∴a−c<0，∵b>0，∴b>a−c

，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；④∵对称轴方程x=−b2a=1，∴b=−2a，∴a=−12b，∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−32b+c<0，∴2c<3b,④正确；⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应

的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最大值，∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，故⑤错误；⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，∵c>0，∴2a+b+c>0，故⑥正确.综上所

述，其中正确的结论的有：①③④⑥.4.1、如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴一个交点为(−2,0)，对称轴为直线x=1，则y<0时x的范围是()高频考点四的图象与方程-24-A.x>4或x<−2B.−2<x<4C

.−2<x<3D.0<x<3【答案】B【解析】因为抛物线与x轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0），∴y＜0时，−2＜x＜4.故选B.4.2、已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根

x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是()A.–2<x1<x2<3B.x1<–2<3<x2C.–2<x1<3<x2D.x1<–2<x2<3【答案】B【详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（

x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<

0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【名师点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.【变式训练4-1】已知函数y=（k﹣3）x2+2x+

1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k≤4且k≠3B.k＜4且k≠3C.k＜4D.k≤4【答案】D【解析】（1）当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3；（2）当k≠3时，y=（k-3）x2+2

x+1是二次函数，∵二次函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴b2-4ac≥0，∵b2-4ac=22-4（k-3）=-4k+16，∴-4k+16≥0，∴k≤4且k≠3，综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4，【变式训练4-2】函数y=ax

2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A.x＜﹣4或x＞2B.﹣4＜x＜2C.x＜0或x＞2D.0＜x＜2【答案】A【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1，-25

-而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜-4或x＞2时，y＜0.故选A.5.1、如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4

的图象，使y≤1成立的x的取值范围是()A.－1≤x≤3B.x≤－1C.x≥1D.x≤－1或x≥3[解析]当y＝1时，－x2＋2x＋4＝1，解得x1＝－1，x2＝3.结合二次函数的图象，知使y≤1成立的x的取值范围是x≤－1或x≥3.

故选D.5.2、如图所示，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为()A.－1≤x≤9B.－1≤x＜9C.－1＜

x≤9D.x≤－1或x≥9[解析]由图象可以看出：二次函数y2＝ax2＋bx＋c和一次函数y1＝kx＋n的图象的交点的横坐标分别为－1，9.而当y1≥y2时，对应的图象正好在两交点之间，所以－1≤x≤9.故选A.【变式训练5-1】二次函数y＝ax2＋bx＋c和正比例函数

y＝23x的图象如图3－ZT－12所示，则方程ax2＋(b－23)x＋c＝0的两根之和()高频考点五的图象与不等式-26-A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定[解析]方程ax2＋(b－23)x＋c＝0可转化

为ax2＋bx＋c＝23x，二次函数与正比例函数图象的两个交点的横坐标即为该方程的两根.不妨设这两根分别为x1，x2，且x1<x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－b－23a.由二次函数的图象开口向上，得a>0.由图象的对称轴在y轴右侧，得－b2a>0，所以b<0，所以－b－23a>0

，即x1＋x2>0.故选A.1、当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为()A.－1B.2C.0或2D.－1或2[解析]当y＝1时，有x2－2x＋1＝1，解得x1＝0，x2＝2.∵当a≤x≤a＋1时，函数有最小值1，∴a＝2或a＋1＝0，∴a＝2或a＝－1，故选D.2、如

图,函数y=ax2−2x+1和y=ax−a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可.A.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2

x+1的图象应该开口向下.故选项错误；B.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣−22a＞0.故选项正确；C.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=

ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣−22a＞0，和x轴的正半轴相交.故选项错误；提高训练-27-D.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上.故选

项错误.故选B.3、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0

；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【详解】①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x=−b2a=

1,∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥

m（am+b）（m为实数）.故正确.⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0.故错误.故选：A.4、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（）A.−1<x<5B.x>5C.x<−1且x>5D.x

＜－1或x＞5【答案】D【解析】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞5。故选D。5、关于x的

方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（）-28-A.m＞B.m＜﹣C.m＜﹣2或m＞2D.m＞【答案】A【详解】∵x2﹣2mx+4=0有两个不同的实根，∴△=4m2-1

60,解得：m或m-2,∵二次函数开口向上,有一个根小于1，另一个根大于3，即表明当x=1和x=3是都出现在x轴下方,∴1-2m+4且9-6m+4,解得：m>2.5,综上,m＞2.5故选A6.函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），

则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A.x＜﹣4或x＞2B.﹣4＜x＜2C.x＜0或x＞2D.0＜x＜2【答案】A【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-

4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜-4或x＞2时，y＜0.故选A.7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为(1，0)，与y轴的交点为(0，3)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为__

________.【答案】x1=1，x2=−3【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x=-1，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（-3，0），∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为：x1=1，x2=-3.故答案为：x1=1，x2

=-3.8.已知二次函数y＝x2－4x＋k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是________.[解析]∵二次函数y＝x2－4x＋k的图象的顶点在x轴下方，∴4ac－b24a＝4k－424<0，解得k＜4.9.已知二次函数y=2(x−1)(x−m

−3)（m为常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？【解析】（1）证明：当y=0时，2(x−1)(x−m−3)=0.解得x1=1，x2

=m+3.当m+3=1，即m=−2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠−2时，5252136200-29-方程有两个不相等的实数根.所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.（2）解：当x=0时，y=2m+6，即该函数的图像与y轴交点的纵

坐标是2m+6.当2m+6>0，即m>−3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.10.二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示

，根据图象解答下列问题.(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【答案】（1）x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋

c＝0的两个根；（2）l＜x＜3；（3）当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）k＜2.【解析】1）图中可以看出抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)，∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；（2）不等式ax2+bx+c

>时，通过图中可以看出：当1<x<3时，y的值>0，∴不等式ax2+bx+c>0的解集为(1，3)；（3）图中可以看出对称轴为x=2，∴当x>2时，y随x的增大而减小；（4）∵抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(2，2)，(3，0)，∴，解得：

a=−2，b=8，c=−6，∴−2x2+8x−6=k,移项得−2x2+8x−6−k=0，△=64−4(−2)(−6−k)>0，整理得：16−8k>0，0{422930abcabcabc-30-∴k<2时

,方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的图象可能是(B)2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线过原

点;②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④抛物线的顶点坐标为(2,b);⑤当x<2时,y随x增大而增大.其中结论正确的是(C)A、①②③B、③④⑤C、①②④D、①④⑤3.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数的图象上

，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是()A.y1≤y2B.y1＜y2C.y1≥y2D.y1＞y2[解析]由图象可知，抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下，故当x＜1时，y随x的增大而增大.∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.故选B.4.抛物线y＝x

2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()课后作业-31-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a).∵－b2a＝－

－22＝1＞0，4ac－b24a＝4（m2＋2）－44＝m2＋1＞0，∴此抛物线的顶点在第一象限.故选A.5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第一象限.6.如图,已知二次函数y=-x2+2x,当-1<x<a时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是-1<a≤1

.7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:①abc<0;②a+c>b;③3a+c<0;④a+b>m(am+b)(其中m≠1),其中正确的结论有③④.8.如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2

,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)求此抛物线顶点坐标及对称轴;(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=1,求点B的坐标.解:(1)根据题意,抛物线经过点O(0,0)和A(2,0),所以解得-32-所以此抛物线的解析式为y=x

2-2x.(2)因为y=x2-2x=(x-1)2-1,所以此抛物线的顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1.(3)设B(t,t2-2t),则有S△OAB=×2×|t2-2t|=1,所以t2-2t=1或t

2-2t=-1.解方程t2-2t=1得t1=1+,t2=1-,则点B的坐标为(1+,1)或(1-,1);解方程t2-2t=-1得t3=t4=1,则点B的坐标为(1,-1),所以点B的坐标为(1+,1)或(1-,1)或(1,-1).