安徽省合肥市2021-2022高三上学期第一次教学质量检测期末理科数学试题及答案

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高三数学试题(理科)答案第1页(共4页)合肥市2022年高三第一次教学质量检测数学(理)试题参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.-214.1或915.2916.(1)13;(2)324三、解答题:

17.(本小题满分12分)⑴在抽取的样本中,被认定为小微企业的频率为0.8,以此估计总体中被认定为小微企业的概率为0.8.∵2016-2020年该创新小镇新增企业数共有120家,∴估计2021年被认定为小微企业的共有968.0120

家.…………………………6分⑵由表中数据计算得3x,24y,ˆ7.5b,ˆ1.5a,所以ˆ1.57.5yx.2022年,即当7x时,由线性回归方程可得54ˆy,所以,估计2022年这个创新小镇新增企业的数量约为54家.…………………12分18.(本小题满分12分)解:(1)∵6s

incos3sin2yxxx,∴3sin23fxx.由222232kxkkZ得,51212kxkkZ,∴)(xf的单调递增区间为51212kk

kZ,;…………………………6分(2)由3sin523AfA得5sin3A.∵2BA,∴A为锐角,∴2cos3A.由正弦定理得sins

inabAB,即3sinsin2bAA,从而6cos4bA.∵21coscos212sin9BAA,由余弦定理222cos2acbBac得,2191696cc,解得73c.…………………………12分19.(本小题满分12分)解:(

1)取BE的中点为O,连接OA,OD.∵ABAE,∴AO⊥BE.∵BE∥CD,AD⊥CD,∴AD⊥BE.∵AOADA∩,∴BE⊥平面AOD,∴BE⊥OD.在平面BCDE中,∵90BCD,CD∥BE,∴BEBC,又BE⊥OD,∴BC∥OD.∵BE∥C

D,∴四边形BCDO为矩形,∴12CDOBBE.…………………6分题号123456789101112答案BACDABDBCCDA高三数学试题(理科)答案第2页(共4页)ABDCMEOxyz(2)∵平面ABE⊥平面BCDE,交线为BE.由(1)知,A

O⊥BE,∴AO⊥平面BCDE,∴AO⊥OE,AO⊥OD.由(1)知,OE⊥OD,∴OAODOE,,两两垂直.以O为原点,直线OAODOE,,分别为xyz,,轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.由已知得D(0,2,0),E(0,0,1),M(1112,,),∴021DE,,,1112

DM,,.设平面MDE的一个法向量mxyz,,.由00mDEmDM,得2010.2yzxyz,取1y,则2z,2x,∴212m,,

.∵平面ABE的一个法向量为010n,,,设平面MDE与平面ABE所成角为,∴1|cos|cos3||||mnmnmn,,从而22sin3.…………………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)因为02p,是抛

物线E的焦点,所以点M到点02p,距离为02px.由已知得0005224pxxx,解得5p.∴抛物线E的方程为210yx.…………………………5分(2)假设存在t满足题意,

由题意可以判断,直线l的斜率存在且不为0,设其斜率为k,则直线l的方程为ykxt,以线段AO为直径的圆的方程为220xtxy.由220()xtxyykxt解得22211ktkt

Bkk,,由2ACAB得C2221211ktktkk,,由3ADAB得D2222311ktktkk,.代入抛物线E的方程得,42222110421.109tkkkktk,解

得5125tk,.∴当12t且直线l的斜率为55时,点BC,恰为线段AD的两个三等分点.…………………………12分21.(本小题满分12分)解:(1)fx的定义域为(0,)由lnxfxxa得,1xafx.∵切点为(1,1),且1a,∴切线的

斜率为2,高三数学试题(理科)答案第3页(共4页)从而所求切线方程为210xy.…………………………4分(2)由(1)得,1xafx.∴不等式2afxxfxx恒成立,即不等式1ln0aaxxx恒成立.①当0a时,不

等式1ln0aaxxx恒成立,满足条件;②当0a时,(0,)x,1ln0axxx恒成立,所以(0,)x,2lnaxxx恒成立.设2lngxxxx,则'12lngxxxx1(1

)2lnxxx.∴当01x,时,'0gx;当1x,时,'0gx.∴gx在01,上单调递增,在1,上单调递减,∴11ag,满足条件;③当0a时,(0,)x,1ln0axxx恒成立,所以(0,)x,2lnaxxx恒成

立.由②知,2lngxxxx在01,上单调递增,在1,上单调递减.∵0a,∴11ae,∴111111(1)1(1)aaaaageeeaeaaea.∴2ln

axxx不恒成立,即0a不满足条件.综上得,1a,或0a.…………………………12分22.(本小题满分10分)解:(1)∵曲线1C的参数方程为3cossinxtyt,,(t为参数)由22cossin1tt得,2213xy

,∴曲线1C的普通方程为2219xy.∵曲线2C的极坐标方程为28sin120,222sinxyy,,∴曲线2C的直角坐标方程为228120xyy,即2244xy.…………………………5分(2)设

3cossinPtt,,tR,记2C04,,∴22223cos0sin4PCtt22=9cossin8sin16ttt2=8sin8sin25tt21=8sin272t,∴当1si

n[1,1]2t时,22PC取最大值27,∵224PQPC,∴PQ的最大值为23.…………………………10分高三数学试题(理科)答案第4页(共4页)23.(本小题满分10分)解:(1)由条件212

12321211.xxfxxxxxx,,,,,作出函数yfx的图象和直线6y,记交点为CD,.易求576622CD,,,,=6CD.如图,所围图形为梯形ABCD,梯形的高为3,另一底长为3,∴封闭图形的面积为12736

322S.………………5分(2)对Rx,1y,,213yfxy,等价于Rx,1y,,231yfxy,等价于2minmin31yfxy.∵11fx

xxaa,2344122126111yyyyyy,当且仅当3y时取等号,∴16a,解得5a或7a,∴a的取值范围为(,7][5,)∪.…………………………10分

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