【文档说明】北京市昌平区2022届高三数学二模试卷及答案.docx，共(11)页，530.300 KB，由baby熊上传

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昌平区2022年高三年级第二次统一练习数学试卷2022.5本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个

选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合}1|{},20|{xxBxxA,则BAU（A）}0|{xx（B）}21|{xx（C）}1|{xx（D）}20|{xx（2）若复数z满

足i2i)(1z，则z（A）i1（B）i1（C）i1（D）i1（3）为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照]160,140[),

140,120[),120,100[),100,80[),80,60[),60,40[分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（A）300

（B）450（C）480（D）600（4）记nS为等差数列}{na的前n项和，若2,1253aaaS，则4a（A）4（B）7（C）8（D）9（5）已知双曲线)0,0(1:2222babya

xC的焦距为4，其右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为2，则双曲线C的渐近线方程为（A）xy2（B）xy3（C）xy2（D）xy（6）“2π”是“函数)sin()(xxf在区间)2π,0(上单调递减”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充

分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，O是底面ABCD的中心，FE,分别是11,DDBB的中点,则下列结论正确的是（A）OA1//（B）EFOA1（C）OA1//平面1EFB（D）OA1/

/平面1EFB（8）已知直线01:yaxl与圆4)1(:22yxC相交于两点BA,，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（A）1（B）2（C）2（D）22（9）已知函数)0(24)(2a

axaxxf，则关于x的不等式xxf2log)(的解集是（A）)4,(（B）)1,0(（C）)4,0(（D）),4(（10）在△ABC中，,4,45cB只需添加一个条件，即可使△ABC存在且唯一.在条件：①23a；②52b；③54cosC中，

所有可以选择的条件的序号为（A）①（B）①②（C）②③（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.(11)抛物线xy22的准线方程为__________.(12)在6)12(xx的展开式中，常数项为_______.（请用数字作答）（1

3）已知D是△ABC的边AB的中点，2||,3||ACAB,3πCAB，则.________;DCDBACAB（14）若函数0,,0,2)(xxxbxfx有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为______.（15）刺绣是中国优秀的民族传统工艺

之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为EF3的正三角形111CBA，取正三角形111CBA各边的三等分点222,,CBA，得到第一个阴影三角形212BBA；在正三角形222C

BA中，再取各边的三等分点333,,CBA，得到第二个阴影三角形323BBA；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案,则23BA______;图中螺旋形图案的面积为______.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小

题13分）如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，点M是BC的中点.（Ⅰ）求证：1AB平面BMA1；（Ⅱ）求二面角11CMAB的大小；（Ⅲ）求点A到平面11MCA的距离.（17)（本小题13分）已知函数)2π

||,0,0)(sin()(AxAxf，且)(xf的最小正周期为π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.(I)求)(xf的解析式；(II)设xxfxg2cos22)()(，若)(xg在区间],0[m上的最

大值为2，求m的最小值．条件①：)(xf的最小值为2；条件②：)(xf的图象经过点)2,2π(；条件③；直线83πx是函数)(xf的图象的一条对称轴.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(18)（本小题14分）某产业园生产的一

种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定,其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测,检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量（件）3050

6060（I）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；（II）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X,用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望;（II

I）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为2221,ss，比较2221,ss的大小.（请直接写出结论）(19)（本小题15

分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为22，上下顶点分别为BA,，且4||AB.过点)1,0(的直线与椭圆C相交于不同的两点NM，（不与点,AB重合）.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线AM与直线4y相交于点P,求证：NPB,,三

点共线.（20）（本小题15分）已知函数bbxxaxfln)(，)0(e)(xaxxgx.(I)若曲线)(xfy与曲线)(xgy在它们的交点),1(c处具有公共切线，求实数ba,的值；(II)若函数)(xg无零点，求实数a的

取值范围；(III)当ba时，函数)()()(xgxfxF在1x处取得极小值，求实数a的取值范围.（21）（本小题15分）已知数列}{na，给出两个性质：①对于任意的*Ni，存在Rik，当*,Njij时，都有)(ijkaaiij成立；②对于任意的2,*iiN，存在

Rik，当*,Njij时，都有)(ijkaaiij成立．（Ⅰ）已知数列{}na满足性质①，且)(2*Niki，7,141aa，试写出32,aa的值；（Ⅱ）已知数列}{nb的通项公式为123nnb，证明：数列}{nb满足性质①；（Ⅲ）若数列{}nc满足性质

①②，且当2,*iiN时，同时满足性质①②的ik存在且唯一.证明：数列}{nc是等差数列．昌平区2022年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准2022.5一、选择题(共10小题，每小题4分，共40

分)题号12345678910答案ABDBDABCCB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）21x（12）60（13）43;3(14)21（答案不唯一）（15）233；1623121三、解答题(共6小题，共85分

)（16)（共13分）解：（Ⅰ）在正方体1111DCBAABCD中，因为BC平面BBAA11，1AB平面BBAA11，所以1ABBC，即1BMAB.因为四边形BBAA11是正方形,所以11ABBA.因为BMBABBMB

A,,11平面BMA1,所以1AB平面BMA1.....4分（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系xyzD,则)2,0,2(),2,2,2(),0,2,2(),0,0,2(11ABBA，.)2,2,0(),0,2,1(1CM所以)2,0,

1(),0,2,2(),2,2,0(1111MCCAAB.由（Ⅰ）知，平面BMA1的一个法向量为),2,2,0(1AB设平面11MCA的一个法向量为),,(zyxn，则,02,022111zxMCnyxCAn所以z

xyx2,.令2x，则1,2zy，所以)1,2,2(n.所以22||||,cos111ABnABnABn.由图可知，二面角11CMAB为钝角,所以二面角11CMAB的大小为135.....10分（Ⅲ）设点A到平面11MCA的距离d，)2,0,0(1

AA,则32||||1nnAAd.所以点A到平面11MCA的距离为32.....13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知2π,T.选条件①②：因为)(xf的最小值为2，所以.2A则)2sin(2)(xxf.因为)(xf的图象经过

点)2,2π(，得2)2π2sin(2)2(πf,即22sin.因为2π||，所以4π.所以)4π2sin(2)(xxf.....7分选条件①③：因为)(xf的最小值为2，所以.2A则)2sin(2)(xxf.因为直线83πx是函数)(xf的图象的一条对称

轴，得Zkkπ,2π83π2，即Zkkπ,4π.因为2π||，所以4π.所以)4π2sin(2)(xxf.....7分选条件②③：因为直线83πx是函数)(xf的图象的一条对称轴，得Zkkπ,

2π83π2，即Zkkπ,4π.因为2π||，所以4π,所以)4π2sin()(xAxf.因为)(xf的图象经过点)2,2π(，得2)42π2sin()2(ππAf.所以2A.所以)4π2sin(2)(

xxf.....7分(II)xxxxfxg2cos22)4π2sin(22cos22)()()4π2sin(22cos22sin2xxx.由]4π2,4π[4π2],,0[mx

mx，若)(xg在区间],0[m上的最大值为2，则8π,2π4π2mm，所以m的最小值为8π.....13分(18)（共14分）解：（I）抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是20320030，用样本估计总体，

从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为203.....3分（II）从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元的概率为522005030.X的可能取值为0，1，2，3.;12554)53()52(C)1

(;12527)53()52(C)0(21133003XPXP1258)53()52(C)3(;12536)53()52(C)2(03331223XPXP.X的分布列为X0123P2712554125361258125X的数学期望56125831253621255411

25270)(XE.....11分（III）2221ss.....14分(19)（共15分）解：(Ⅰ)根据题意，222,22,42cbaacb解得,4,822ba.所以椭圆C的方

程为：14822yx.....5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，)20(),2,0(，BA.根据题意，直线MN的斜率一定存在，设直线MN的方程为1kxy.由1,08222kxyyx得064)1222kxxk（.根

据题意，0恒成立,设).,(),,(2211yxNyxM则126,124221221kxxkkxx.直线AM的方程为xxyy1122，令4y,得2211yxx，所以)4,22(11yxP.因为),()20(22yxNB，，，则直线BPBN,的斜率分别为11

22)2(3,2xykxykBPBN，2112211122)2(3)2()2(32xxyxyxxyxykkBPBN.)1(3)3()2(3)2(12211221kxxkxxyxyx)(322121xxxkx12

43126222kkkk0.所以BPBNkk，所以NPB,,三点共线.....15分（20）（共15分）解：（I）因为函数bbxxaxfln)(，)0(e)(xaxxgx,所

以bxaxf)('，2)1(e)('xxxgx.因为曲线)(xfy与曲线)(xgy在它们的交点),1(c处具有公共切线，所以)1()1(),1(')1('gfgf.解得0e,0aba，即e,eba.....5分(II)由题意,xaxaxxgxxee

)(，设axhxaxxhxxe)('),0(e)(.①当0a时，0)('xh,)(xh在),0(上单调递增，且1)0()(hxh，所以0)(xg，所以)(xg在),0(上无

零点.当0a时，令0e)('axhx,得axln．②当10a，即0lna时，0)('xh，)(xh在),0(上单调递增，且1)0()(hxh，所以0)(xg，所以)(xg在),0(上无零点.当1a时，0lna，)('),(

xhxh符号变化如下，x)ln,0(aaln),(lna)('xh0)(xh↘极小值↗所以)()(minxhxh极小值)ln1()(lnaaah.当0ln1a,即e1a时，0)(xh,所以0)(xg，所以)(xg在),0(上无零点.当0ln1a,即ea

时，由01)0(h，0)(lnah，所以)(xh至少存在一个零点]ln,0(0ax,所以)(xg至少存在一个零点.综上，若)(xg无零点，实数a的取值范围为)e,(.(III)当ba时，xaxxaxgxfxFxeln)()()(

，定义域为(0,)．22)e)(1()1(e)('xaxxxxaxaxFxx．由（II）可知，当1a时，1e)(axxhx,当e1a时，0)ln1()(minaaxh,所以当ea时，0e)(axxhx在(0,)上恒成立

.此时，当10x时，,0)('xF)(xF单调递减；当1x时，,0)('xF)(xF单调递增.所以)(xF在1x处取得极小值．当ea时，1lna,当axln1时，0e)1()(,01ahxhx，所

以0)('xF，)(xF单调递减.此时1x不是极小值点．即ea时，不合题意．综上，满足条件的a的取值范围为]e,(．....15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）5,332aa；....5分（Ⅱ）因为

数列}{nb的通项公式为123nnb，所以，对于任意的*,,Njiij，令ijm，则*Nm，mmmbbijbbmiimiimiij12232323111.又1221121212mmm，

则mm12，即112mm.又121i，所以312231mmi，即对于任意的3,ijbbijij.所以，对于任意的*Ni，令3ik，则当ij时，都有)(ijkbbiij成立，所以，数列{}nb满足性质①..

...10分（Ⅲ）由题意，数列}{nc满足性质①②，且当2,N*ii时，同时满足性质①②的ik存在,即对于任意的2i，存在Rik，当ij时，都有)(ijkcciij成立，所以，当2i时，iiiiiikcckcc11,，即11

iiiiicckcc.对于任意的ij,有iiiijjjjijccijccccccijcc11211)()()(，对于任意的ij,有ijikjicc,1-1211)()()(iijjiiiijiccjicccccc

jicc，又当2i时，同时满足性质①②的ik存在且唯一,所以，当2i时，11iiiicccc,所以，满足条件的数列}{nc是等差数列.