【文档说明】江苏各地九市2021高一下学期数学期末试卷及答案（共9份）.pdf，共(97)页，6.996 MB，由baby熊上传

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常州市2020～2021学年度第二学期期末质量调研高一数学试题（考试用时：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案

后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝231+ii−（i是虚数单位），则z的虚部为【▲】A.－12B.52C.－52D.52i2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评

分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是【▲】A．中位数B．平均数C．方差D．极差3.在ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则ABC∆一定

是【▲】A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为

智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到

边角方块的概率为【▲】A．29B．827C．49D．125.已知1sincos3αα+=，且(0,)απ∈，则sincosαα−的值为【▲】A.－13B.173−C.173D.173或173−2021.6

6．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4个命题中，真命题的个数是【▲】A．1B．2C．3D．47.如右图，在三棱锥O

ABC−中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且2PDDQ=uuuruuur，若记OAa=uuurr，OBb=uuurr，OCc=uuurr，则OD=uuur【▲】A.111633abc++r

rrB.111333abc++rrrC.111363abc++rrrD.111336abc++rrr8．如右图，在四棱锥PABCD−中，已知PA⊥底面,,ABCDABBCADCD⊥⊥，且120,2BADPAABAD∠=°===，则该四棱锥外接球的表面积为【

▲】A．8πB．20πC．205πD．205π3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得2分．9.在复平面

内，下列说法正确的是【▲】A.若复数z满足2zR∈，则zR∈B.若复数11izi−=+(i为虚数单位)，则2021zi=−C.若复数(,)zmnimnR=+∈，则z为纯虚数的充要条件是0m=D.若复数z满足条件23z≤≤，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹

的圆环，且包括圆环的边界10.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确

的是【▲】A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为111.如右图，正方体1

111ABCDABCD−中，P，Q分别为棱BC和1CCDQPCBAOACDPBQPCBADD1C1B1A1的中点，则下列说法正确的是【▲】A．1AD⊥平面AQPB．1//BC平面AQPC．异面直线1AC与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形12.如右图，在等腰直角三

角形ABC中，2ABAC==，90BAC∠=°，E，F分别为AB，AC上的动点，设AEABλ=uuuruuur，AFACµ=uuuruuur，其中,(0,1)λµ∈，则下列说法正确的是【▲】A.若BEAF=uuuruuur，则1λµ+=B.若λµ=，则EFuuur与BCu

uur不共线C．若1λµ+=，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为12D.若221λµ+=，且M，N分别是EF，BC边的中点，则||MN的最小值为21−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知样

本数据1x，2x，3x，4x，5x的方差为2，则样本数据132x−，232x−，332x−，432x−，532x−的方差为▲．14.sin15cos5sin20cos15cos5cos20oooooo−=−▲．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，

该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是▲．16.在ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin3cos

aBbA=，3a=，若点P在边BC上，并且2BPPC=，O为ABC∆的外心，则OP之长为▲．四．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．⑴若事件A表示

“两个数的和为5”，求P(A)；⑵现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件?为什么?⑶这种游戏规则公平吗?试说明理由．18.已知O是坐标原点，向量()()2,3,6,1(,0)OAOBOP

x===uuuruuuruuur，，⑴若PAPB⊥uuuruuur，求实数x的值；⑵当PAPB⋅uuuruuur取最小值时，求ABP∆的面积．19.如右图，在ABC∆中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知NMFCABE

DCBAcos()cos2sinACBA−+=，且(0,)2Cπ∈．⑴求角C；⑵若D为BC边上的一点，且5AD=，7AB=，3DB=，求AC的长．20.如右图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，PO垂直于圆O所在的平面，且2POO

B==．⑴若D为线段AC的中点，求证：平面PAC⊥平面POD；⑵若ACBC=，点E是线段PB上的动点，求CEOE+的最小值．21．螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量x(单位:箱)在[)1

00,200的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表:采购数x[)100,120[)120,140[)140,160[)160,180[)180,200客户数10105205已知去年“大客户

”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的58．⑴根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数；⑵估算小刘去年总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；⑶小刘今年销售方案有两种：①不在网上销售螃蟹，则

按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元(25m≤≤)，销售量可增加1000m箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y(单位:元)的最大值．22.如右图，在四棱锥PABCD

−中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC∠=°，3ADCD==，4BC=，PBC∆为正三角形，点M，N分别在线段AD和PC上，且2DMCNAMPN==．设二面角PADB−−为θ，且1cos3θ=．⑴求证：//PM平面BDN；⑵求直线P

M与平面PBC所成角的正弦值；⑶求三棱锥PABN−的体积．2020～2021学年度第二学期期末质量调研DCB0APE高一数学试题评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．1．B2．A3．D4．B5．C6．B7．A8．B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．9．BD10．AD11．BCD12

．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1814．23−−15．0.616．1四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解(1)易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等.事件A包含的样

本点共4个:(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分所以P(A)=0.25.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅3分(2)B与C不是互斥事件.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分理由:因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次.⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分(3)这种游戏规则公平.理由如下:和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，2)，(4，4)，共8个，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分

所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分18．（本小题满分12分）解：(1)因为(2,3)OA=uuur，(6,1)OB=uuur，(,0)OPx=uuur，所以(

2,3)PAx=−uuur，(6,1)PBx=−uuur，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分又因为PAPB⊥uuuruuur，所以0PAPB⋅=uuuruuur，即(2)(6)30xx−−+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分也即28150xx−+=，解得3x=或5x=，则所求实数x的值为3或5．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分(2)由(1)知PAPB⋅=uuuruuur(2)(6)3xx−−+=22815(4)1xx

x−+=−−，当4x=时，PAPB⋅uuuruuur取最小值1−，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分此时(2,3)PA=−uuur，(2,1)PB=uuur，则165cos,65135PAPBPAPBPAPB⋅−<>===−

××uuuruuuruuuruuuruuuruuur，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分又在ABP∆中，,(0,)PAPBπ<>∈uuuruuur，则265865sin,1()6565PAPB<>=−=uuuruuur，⋅⋅⋅10分ABP∆的面积为

12SPAPB=×××uuuruuursin,PAPB<>uuuruuur18651354265=×××=⋅⋅⋅12分19．（本小题满分12分）解：（1）因为cos()cos2sinACBA−+=，所以cos()cos[()]

2sinACACAπ−+−+=202即cos()cos()2sinACACA−−+=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分由两角和与差的余弦公式得，2sinsin2sinACA=，又因为在ABC∆中，sin0A≠，所以2si

n2C=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分又因为(0,)2Cπ∈，所以4Cπ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）在

ABD∆中，由余弦定理得2222225371cos22532ADBDABADBADBD+−+−∠===−××××，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分又因为(0,)ADBπ∠∈，则23ADBπ∠=，即3ADCπ∠=，⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分在ACD∆中，由正弦定理得，sinsinACADADCC=∠，即556sin32sin4ACππ=×=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分20．（本小题满分12分）解：（1）

在C∆ΑΟ中，因为CΟΑ=Ο，D为CΑ的中点，所以CDΑ⊥Ο．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分又ΡΟ垂直于圆Ο所在的平面，因为CΑ⊂圆Ο所在的平面，所以CΡΟ⊥Α．⋅⋅⋅⋅⋅

⋅2分因为DΟΡΟ=ΟI，所以CΑ⊥平面DΡΟ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分因为CΑ⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面POD．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）在∆ΡΟΒ中，2ΡΟ=ΟΒ=，90∠ΡΟΒ=o，所以221122ΡΒ=+=．同理C22Ρ=，所以CC=22ΡΒ=Ρ=Β．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分在三棱锥CΡ−ΑΒ中，将侧面CΒΡ绕ΡΒ

旋转至平面CΒ′Ρ，使之与平面ΑΒΡ共面，如图所示．当Ο，Ε，C′共线时，CΕ+ΟΕ取得最小值．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分又因为ΟΡ=ΟΒ，CC′Ρ=′Β，所以CΟ′垂直平分ΡΒ，即Ε为ΡΒ中点．从而26CCΟ′=Ο

Ε+Ε′=+，亦即CΕ+ΟΕ的最小值为26+．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分21．（本小题满分12分）解：(1)作出频率分布直方图，如图⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅2分根据上图，可知采购量在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数为18016850200.0050.0201720−××+×=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(2)去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为110101301015051702019057500×+×+×+×+×=(箱)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分小刘去年总的销售量为57500120008÷=(箱)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分(3)若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为120020240000Y=×=(元)⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分若在网上销售螃蟹，则今年年底的销售量为()12000100m+箱，每箱的利润()20m−，则今年年底小刘的收入为()22

(20)(120001000)100082401000(4)256Ymmmmm=−⋅+=−++=−−+当4m=时，Y取得最大值256000⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分∵256000240000>，∴小

刘今年年底收入Y的最大值为256000元.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分22．（本小题满分12分）解：（1）证明：连接MC，交BD于E，因为2DMAM=，3AD=，所以2DM=，1AM=，因为//ADBC，所以MDEV∽CBE△，2CEBCCNEMDMNP===，所以//PMNE，

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分因为NE⊂平面BDN，PM⊄平面BDN，所以//PM平面BDN.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分（2）解：取BC中点F，连接MF、PF，因为PBCV为正三角形，所以PFBC⊥，

sin604sin6023PFPB=⋅°=⋅°=，因为ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC∠=°，2FCMD==，所以四边形DMFC为矩形，所以MFBC⊥，面PBC⊥平面因为MFPFF∩=，所以BC⊥平面PMF，所以平P

MF，因为//ADBC，所以AD⊥平面PMF，所以ADMP⊥，ADMF⊥，所以PMFθ∠=，MDBCPAN⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分设PMx=，由余弦定理得2222cosPFPMMFP

MMFθ=+−⋅⋅⋅，于是()2221233233xx=+−⋅⋅⋅，整理得2230xx−−=，解得3x=或1x=−（舍去），⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分取PF中点Q，连接MQ，因为MPMF=，所以MQPF⊥，又因为平面MPF⊥平面PBC，所以MQ⊥平面

PBC，所以直线PM与平面PBC所成角为MPQ∠.而()22336MQ=−=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为sinMPQ∠63MQPM==.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分（3）因为//ADBC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以//AD平面PBC，所以MQ的

长也是A点到平面PBC的距离，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分∵13CBNPBPSS=V△，∴2111134264333223PABNAPBNAPBCVVV−−−===×××××=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分1淮安市2020—2021学年度第二学期期末调研测试高一数学试题

2021.6一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数1iz，则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场

的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检A.20家B.10家C.15家D.25家3．在ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，若2223bcabc+=-，则角A的大小为A．6B．32C．

3D．654．已知为第二象限角，4sin5，则2tanA．724B．724C．2524D．345．如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，A．2B．3C．4D．66．已知lnm,

,是不重合的三条直线，,,是不重合的三个平面，则A．若mnm,//，则//nB．若mlml,,，则//C．若l,,，则lD．若//,//,,nmnm，则//7．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上

周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为A．819立方丈B．1219立方丈C．819立方丈D．1219立方丈8．已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则ABPAPC

的最小值为第5题图2第11题图第12题图A．41B．21C．1D．2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中

正确的是A．若，abbc，则acB．对于向量,,,()()有abcabcabcC．向量12(1,2),(5,7)ee能作为所在平面内的一组基底D．设,mn为非零向量，则“存在负数λ，使得m=n”是“0mn”的充分

而不必要条件10．某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数A．众数为2和3B．标准差为58C．平均数为3D．第85百分位数为4.511．正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志．正

六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图一）．如图二所示的正六角星的中心为O，CBA,,是该正六角星的顶点，则A．向量,OAOB的夹角为o120B．若2OA，则6OAOCC．3OCOAOBD．

若OAxOByOC，则1xy12．如图，点M是棱长为1的正方体1111DCBAABCD的侧面11AADD上的一个动点，则下列结论正确的是A．二面角1MADB的大小为o45B．存在点1ADM，使得异面直线CM与11BA所成的角为o30C．点M存

在无数个位置满足1ADCMD．点M存在无数个位置满足11//BCACM面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．3第14题图13.若向量(1,2)a，写出一个与向量a方向相反且共线的向量___________．14.若一个水平放置的平面图形的斜

二测直观图是等腰梯形，且1,3CBAO，则该平面图形的面积为___________．15.已知)2,0(，,2，322sin，97)sin(，则sin___________．16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹

糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为___________．四、

解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)设复数123iz，2izm（Rm，i为虚数单位）．(1)若21zz为实数，求m的值；(2)若

12zzz，且26||z，求m的值．18.(本小题满分12分)4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．4第18

题图(1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；(2)若采用分层抽样的方法，从样本在)80,60[和]100,80[内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读

情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．19.(本小题满分12分)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．在直四棱柱1111DCBAABCD中，FE,分别为线段BA1与CA1上的中点．(1

)求证：1111//EFABCD平面；(2)从三棱锥ABCA1中选择合适的两条棱填空：________________，使得三棱锥ABCA1为“鳖臑”；并证明你的结论5第20题图模块R模块Q20.(本小题满分12

分)某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型．假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少

有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．(1)若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正

常工作的概率；(2)若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由.621.(本小题满分12分)从①(2)cosco

s0bcAaB;②222433bcaS;③BcBAbtan2)tan(tan这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若A

BC为锐角三角形，32b，求ABC的周长的取值范围．22.(本小题满分12分)如图，在三棱锥ABCO中，1,2,3OAOBOC，且OA，OB，OC两两夹角都为．(1)若o90，求三棱锥ABCO的体积；(2)若o60，求三棱锥ABCO的体积.第2

2题图江苏省连云港市2020—2021学年高一下学期期末调研考试数学试题2021．06一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知向量ar＝(2，3)，br＝(x，﹣

6)，若ar∥br，则实数x＝A．9B．4C．﹣9D．﹣42．计算22(1i)−的结果是A．2iB．﹣2iC．iD．﹣i3．sin12π的值是A．624+B．624−C．624−+D．624−−4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿着正北方向航行．若A

船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船的距离是A．202nmileB．203nmileC．205nmileD．206nmile5．在长方体ABCD—A1B1

C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝l，则AD1与A1C1所成角的余弦值为A．14B．24C．34D．646．甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为14，乙译出密码的概率为15，则密码被译出的概率是A．920B．35C．25D．1207．下

表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是A．5B．6C．7D．88．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：

置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈2136lh，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，则近似公式V≈211400lh相当于将圆锥体积公式中的π近似取A．15750B．1

0033C．355113D．227二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若数据1x，2x，…，10x的平均数为2，方差为3，则A．数据

132x+，232x+，…，1032x+的平均数为20B．10120iix==∑C．数据132x+，232x+，…，1032x+的标准差为33D．102170iix==∑10．下列关于向量的说法正确的是A．若ar∥br，br∥cr，

则ar∥crB．若单位向量ar，br夹角为θ，则向量ar在向量br上的投影向量为cosθbrC．若ar·cr＝br·cr且cr≠0r，则ar＝brD．若非零向量ar，br满足abab⋅=rrrr，则ar∥br11．已知复数1z，2z∈C，下列结论正确

的有A．1212zzzz+=+B．若120zz=，则1z，2z中至少有一个为0C．1212zzzz=D．若22120zz+=，则120zz==12．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点M，N，P

分别为AB，BC，A1B1的中点，则下列说法正确的是A．直线A1M与直线C1N为异面直线B．平面ANC1⊥平面BCC1B1C．三棱柱外接球的表面积为283πD．直线CC1与平面ANC1所成角的正弦值为55三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应

位置上）13．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数为0，3＋2i，﹣2＋4i，则点B所对应的复数为．14．已知圆台下底面的半径为4cm，高为4cm，母线长为25cm，则圆台的体积为cm3．15．在△ABC中，AB＝362，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，

延长BC到D，使得CD＝5，则AD的长为．16．已知向量ar，br满足：1a=r，4b=r，23ab−=rr，则ab+rr＝；若t为非零实数，则1atbt+rr的最小值为．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作

答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在①sinAcosBcosCabc==，②acosA＝bcosB，③acosB＋bcosA＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：在△ABC中，角A，B

，C所对的边分别为a，b，c，，判断△ABC的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，sinA＝35，tan(A﹣B)＝13−．（1）求sinB的值；（2）求co

sC的值．19．（本小题满分12分）某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2．（1）求x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）

；（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1，2]和(4，5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？20．（本小题满分12分）如图

，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，点P为面A1B1C1D1内的一点．（1）画出图1中平面PEF与平面B1BCC1的交线；（2）如图2，若P为矩形A1B1C1D1对角线的交点，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，求点B到平面PEF的距离．21．（

本小题满分12分）已知向量ar＝(3sinx，cosx)，br＝(cosx，cosx)，函数()21fxab=⋅−rr．（1）求函数()fx的最小正周期及最小值；（2）若1()24xf=，求sin(2)6xπ−的值．22．（本小题满分12分）在三棱柱ABC—A1B1

C1中，AB＝2，BC＝B1C＝1，∠CBB1＝∠CBA＝45°，∠ABB1＝60°．（1）求二面角A—B1B—C的余弦值；（2）求证：平面B1BCC1⊥平面ABC．南京师大附中2020-2021学年度第二学期高一年级期末考试

数学试卷命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，复数()i012iaza+=>−，若1z=，则a=（）A.12B.1C.2D.32.如图，在直三

棱柱111ABCABC−中，12ABACAA===，2BC=，点D为BC的中点，则异面直线AD与1AC所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π3.已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，若aα⊥，bβ⊥，aβ∥，则下列命题

中正确的是（）A.bα⊥B.bα∥C.αβ⊥D.αβ∥4.钝角三角形ABC的面积是12，1AB=，2BC=，则AC等于（）A.1B.2C.5D.55.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为39cm，则其表面积的值为（）A.2183cmB.218cmC.2123c

mD.212cm6.已知向量()1cos,2ax=+r，()sin,1bx=r，0,2xπ∈，若abrr∥，则sinx=（）A.45B.35C.25D.2557.如图，在ABC△中，3BACπ∠=，2ADDB=

uuuruuur，P为CD上一点，且满足12APmACAB=+uuuruuuruuur，若3AC=，4AB=，则APCD⋅uuuruuur的值为（）A.3−B.1312−C.1312D.1128.如图，过圆

O外一点P′作圆的切线PA′，PB′，切点分别为A，B，现将PAB′△沿AB折起到PAB△，使点P在圆O所在平面上的射影为圆心O，若三棱锥PAOB−的体积是圆锥PO体积的34π.则OAOP=′（）A.12B.33C.12D.33二、多项选择题：本

大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，都分选对得2分，其他情况不得分9.某家庭将2018年1月至2019年12月期间每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据该图，下列结论正确的是（）A.

2019年的教育总投入要高于2018年的教育总投入B.2018年与2019年中月教育投入最多的均在8月份C.2018年与2019年的月教育投入逐月增加D.2018年与2019年中每年9月至12月的月教育投入变化比较平稳

，波动性较小10.已知复数13iz=−+（i为虚数单位），z为z的共轭复数，若复数zwz=，则下列结论正确的有（）A.w在复平面内对应的点位于第二象限B.1w=C.w的实数部分为12−D.w的虚部为3i211.现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某

个问题3个队回答正确的概率分别为25，34，13，则关于该问题的回谷情况，以下说法中正确的是（）A，3个队都正确的概率为110B.3个队都不正确的概率为110C.出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大D.出现恰有2个队正确的概

率比出现恰有1个队正确的概率大12.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点．则（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为92D.点1A和点D到平面AEF的距离相等三、填空题：本大题共4

小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13.下列数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位数为___________，90百分位数为___________.14.用斜二侧法画

水平放置的ABC△的直观图，得到如图所示等腰直角ABC′′′△．已知点O′是斜边BC′′的中点，且1AO′′=，则ABC△的BC边上的高为___________.15.在直三棱柱111ABCABC−中.若90BAC∠=°，2ABA

C==，12AA=，则点A到平面11ABC的距离为____________.16.在边长为23的菱形ABCD中，60A=°，沿对角线BD折起，使二面角ABDC−−的大小为120°，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为____________.四、解答题：本大题共6小题。共计70

分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计总体中成绩落在[)50,60中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；18.在

ABC△中，1cos2acBb=+.（1）若7ab+=，ABC△的面积为33，求c；（2）若4c=，求ABC△周长的最大值.19.已知平面向量()1,2a=r，(),1bx=r.（1）若2abab−=+rrrr，求实数x的值；（2）若2x=，求2a

b−rr与ab+rr的夹角20.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1BCAB⊥，侧面11BCCB为菱形.（1）求证：1BC⊥平面1ABC；（2）若点D，E分别为11AC，1BB的中点，求证：DE∥平

面1ABC.21.已知在测试中，客观题难度的计算公式为iiRPN=，其中iP为第i题的难度，iR为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，

预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度iP0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：

题号学生编号123451×√√√√2√√√√×3√√√√×4√√√××5√√√√√6√××√×7×√√√×8√××××9√√√××10√√√√×（1）根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这1

20名学生中第5题的实测答对人数．题号12345实测答对人数实测难度（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．（3）定义统计量()()()22211221nnSPPPPPPn′′′=−+−+…+−，其中iP′为第i题的实测难度，iP为第i题的

预估难度()i1,2,,n=…．规定：若0.05S≤，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．22.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面

圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求二面角COPD−−的余弦值.南京师大附中2020-2021学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷答案命题人：高一数学备课组一、单项选

择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】()2221112a+=+−，解得2a=．2.【答案】B【解析】取11BC的中点E，连1AE，DE

，CE，∴1AEAD∥，所以异面直线AD与1AC所成角是1EAC∠，或其补角，易得1AE⊥平面11BCCB，∴1AEEC⊥，113tan31CEEACAE∠===，，∴160EAC∠=°.3.【答案】C【解析】对于A：bα∥，故本选项不符合题意；对于B：bα∥或bα⊆，故本选项不符合题意；对于

C：αβ⊥，故本选项符合题意；对于D：αβ⊥，故本选项不符合题意；4.【答案】C【解析】1121sin12sinsin2222SABBCBBB=⋅⋅⋅=×××==，∴2sin2B=，∴34Bπ=或4π（舍）；∴2cos2B=−，22222

cos1221252ACABCBABCBB=+−⋅⋅=+−×××−=.5.【答案】A【解析】设正四面体PABC−，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），∴底面正三角形高为32ADa=，234ABCSa=△，∵33AOa=，∴6

3POa=，∴231362934312Vaaa=⋅⋅==，∴()32cma=，∴表面积()()223432183cm4S=⋅⋅=6.【答案】A【解析】abrr∥，2sin1cosxx=+，可得cos2sin1xx=−，解得sin0x=或4sin5x=，又由

0,2xπ∈，则4sin5x=；7.【答案】C【解析】∵2ADDB=uuuruuur，∴23ADAB=uuuruuur，∵CPCDuuuruuur∥，∴CPkCD=uuuruuur，即()AP

ACkADAC−=−uuuruuuruuuruuur，又∵12APmACAB=+uuuruuuruuur，则()12123mACABkABAC−+=−uuuruuuruuuruuur，∴11223mkk−

=−=，∴34k=，14m=，()112423APCDAPADACACABABAC⋅=⋅−=+⋅−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2211116911343cos34

3343312ABACABACπ=−−⋅=−−××=uuuruuuruuuruuur.8.【答案】D【解析】设2AOBα∠=，2211sin2sin23332sin212423PAOBPOrPOVVrPOαααπππ−⋅⋅⋅===⇒=⋅，所以6πα=或3π，所以1sin2O

AOPα′==或32二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得S分，都分选对得2分，其他情况不得分9.【答案】ABD【解析】由图像

可知ABD正确10.【答案】ABC【解析】()()()()13i13i13i13i2213i13i13izwz−−−−−−====−+−+−+−−；故w对应的点为13,22−；2213122w

=−+=；且w的实部为：12−，虚部为：32；11.【答案】ABC【解析】对于A：231154310P=⋅⋅=对于312154310P=⋅⋅=P（1个队正确）21233231155435

4354312P=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=（2个队正确）2322113312354354354360=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12.【答案】BCD【解析】因为11DDCC∥，所以A错误；取11BC中点H，易证面1HAG∥面A

EF，所以直线1AG与平面AEF平行，B正确；截面为1ADFE，()1192225222S=+−=，C正确；因为11ADADO∩=，O是1AD中点，所以D正确.三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13.【答案】3

；9.5【解析】10252.5100×=，10909100×=所以分别为3；9.514.【答案】22【解析】∵直观图是等腰直角ABC′′′△，90BAC′′′∠=°，1AO′′=，∴2AC′′=；根据直观图平行于y轴

的长度变为原来的一半，∴ABC△的高为222ACAC′′==.15.【答案】233【解析】11111111222263232AABCCABAVVh−−=⇒⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得233h=16.【答案】28π【解析】120AFC∠=°，60AFE∠=°，32332AF=×

=，∴332AE=，32EF=，设OOx′=，则∵2OB′=，1OF′=，22223334122Rxx=+=++−∴27R=∴四面体的外接球的表面积为2428Rππ=，四、解

答题：本大题共6小题。共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）()23762101aaaaa++++×=，解得0.005a=．（2）由频率分布直方图得成绩落在[)50,60中的频率为2100.1a

×=，∴估计总体中成绩落在[)50,60中的学生人数为：200.12×=人．（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：7080752+=，()0.54950.010.0150.03570107xx++−=⇒=18.【解析】（1）1sinsincossin2ACBB=

+，1sincossin2BCB=，所以1cos2C=，3Cπ=1sin33122SabCab==⇒=()22223493613cabababab=+−=+−=−=所以13c=（2）()()22116384abababab=+−≥+⇒+≤，当且仅当4ab==时取等所以周长最大值为1219

.【解析】（1）1212xxx−=+⇒=（2）()20,3ab−=rr，所以()3,3ab+=rr，92cos2332α==×，4πα=20.【解析】（1）1BCAB⊥，11BCBC⊥，11ABBCBBC∩=⇒⊥面1ABC（2）取11

BC中点G，可证DG∥面1ABC，EG∥面1ABC，DGEGG∩=⇒面DEG∥面1ABCDE⊂面DEGDE⇒∥面1ABC21.【解析】（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号12345实测答对人数88872实测难度0.80.80.80.70.2∴估计120人中有12

00.224×=人答对第5题．（2）记编号为i的学生为iA，()i1,2,3,4,5=，从编号为1到5的5人中随机抽取2人，基本事件总数2510nC==，恰好有1人答对第5题包含的基本事件有6个，分别为：()12,AA，()13,AA，()14,AA，()23,AA，()35,AA，()45

,AA，∴恰好有1人答对第5题的概率63105P==.（3）定义统计量()()()22211221nnSPPPPPPn′′′=−+−+…+−，其中iP′为第i题的实测难度，iP为第i题的预估难度()i1,2,,n=….∴()()()()()2222210.80.90

.80.80.80.70.70.60.20.40.0145S=−+−+−+−+−=，∵0.0140.05S=≤，∴该次测试的难度预估合理．22.【解析】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则

∵ABCD∥，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴ABl∥∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）因为OPOD⊥，OPOC⊥，所以二面角COPD−−为COD∠设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，2CODCOF∠=∠，

OFCD⊥∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OPCD⊥∵OPOFO∩=∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴OPF∠为OP与平面PCD所成的角由题设，60OPF∠=°设OPh=，则tan3OFOPOPFh=∠=∵22.5OCP∠

=°，∴tantan22.5OPhOCOCP==∠°∵22tan22.5tan4511tan22.5°°==−°，∴tan22.521°=−∴()2121hOC==+−在RtOCF△中，()3cos6321OFhCOFOCh∠===

−+∴()2coscos22cos117122CODCOFCOF∠=∠=∠−=−南通市2021年高一年级第二学期期末质量监测数学一、单选题1.设集合A={x|0≤x≤2},B={x|x≤1},则A∩B=()A.(-∞,1]B.(-∞,2]C.[0,1]D.[1,2]2.设zi=1-2i,则z=

()A.-2-iB.-2+iC.2+iD.2-i3."a>b>0"是"1a<1b"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设a=20.3,b=log0.32,c=log32,则()A.c>

a>bB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a5.德国天文学家,数学家开普勒(J.Kepier,1571-1630)发现了八大行星的运动规律:它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比.已知天王星离太阳平均

距离是土星离太阳平均距离的2倍,土星的公转时间约为10753d.则天王星的公转时间约为()A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.已知m,n是两条不重合的直线，α,β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是()A.若m//n,m//α,则n//αB.若α⏊β,m⏊β,则m

//αC.若m//α,m//β,则α//βD.若m⏊α,n⏊α,则m//n7.甲.乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4.则密码被破译的概率为()A.0.88B.0.7C.0.58D.0.128.英国数学家泰勒发现了如下公式：s

inx=x-x33!+x55!-x77!+...,其中n!=1×2×3×4×...×n.根据该公式可知，与-1+13!-15!+17!-...的值最接近的是()A.cos57.3°B.cos

147.3°C.sin57.3°D.sin(-32.7°)二、多选题9.在复平面内，复数z对应的点为(1,3)则()A.z+z=2B.z2=10C.zz=10D.|z1+i|=510.一只袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个白球和2个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，甲表示

事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“两次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”,丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则()A.甲与乙互斥B.乙与丙互斥C.乙与丁互斥D.丙与丁互斥11.已知O是

△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是()A.若(AB+AC)⋅(AB-AC)=0，则△ABC为等腰三角形B.若AB⋅AC>0,则△ABC为锐角三角形C.若OB=AC-AB，则O,B,C三点共线D.若

OA⋅BC=0，OB⋅AC=0,则OC⋅AB=012.已知圆台上、下底面的圆心分别为O1,O2，半径为2，4，圆台的母线与下地面所成角的正切值为3，P为O1O2上一点，则()A.圆台的母线长为6B.当圆锥PO1圆锥PO2的

体积相等时，PO1=4PO2C.圆台的体积为56πD.当圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为80π三、填空题13.今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是.

14.已知角θ的终边经过点P(-1,2),则tan(θ-π4)=.15.已知a,b是非零实数，若关于x的不等式x2+ax+b≥0恒成立，则b+1a2的最小值是.16.已知函数f(x)=|x|-|x-2|,则f(x)的值域是，不等式f(x)<f(2x)的解集是.四、解答题17.

已知函数f(x)=log3(3+x)+log3(3-x).（1）求证：f(x)为偶函数；（2）求f(x)的最大值.18.在①(a+b+c)(a+b-c)=3ab②tanA+tanBtanAtanB-1=3③sinC2s

inB-sinA=cosCcosA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.（1）求角C的大小；（2）若D为边BC上一点，且AD=6,BD=4,AB=8,求AC.19.如图，菱形ABCD

的边长为2，∠DAB=60°，DE=EC,DF=2FB求：（1）AE⋅AF;（2）cos∠EAF20.某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量

（单位：L）得到如下频率分布表分组频数频率[1.5,4.5)220.22[4.5,7.5)310.31[7.5,10.5)x0.16[10.5,13.5)100.10[13.5,16.5)yz[16.5,19.5)50.05[19.5,22

.5)50.05[22.5,25.5)30.03[25.5,28.5)20.02合计1001（1）求上表中x,y,z的值；（2）试估计该区居民的月平均用水量；（3）从上表月平均用水量不少于22.5t的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率.21.如

图，在四棱锥P-ABCD中，PD⏊面ABCD，AB//CD,∠BAD=60°，AB=AD=12CD=2,E为棱PD上的一点，且DE=2EP=2（1）求证：PB//面AEC；（2）求直线AE与面PCD所成角的正弦值.22.已

知函数f(x)=3sin2x+2sinxcosx+33cos2x.（1）若θ∈(0,π),f(θ2)=33,求θ的值；（2）将函数y=f(x)的图像向右平移π6个单位长度，向下平移23个单位长度得到曲线C，再把C上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图像.若函数F

(x)=g(π2-2x)+mg(x)在区间(0,nπ)(n∈N*)上恰有2021个零点，求m,n的值.南通市2021年高一年级第二学期期末质量监测数学一、单选题1.设集合A={x|0≤x≤2},B={x|x≤1},则A∩B=()A.(-∞,1]B.(-∞,2]C.[0,1]D.[1,2]【

答案】C【解析】由交集的定义可得2.设zi=1-2i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2+iD.2-i【答案】A【解析】z=-2-i3."a>b>0"是"1a<1b"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a>b>0→1a<1b,1a<1b↛a>b>04.设a=20.3,b=log0.32,c=log32,则()A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.b>

c>a【答案】C【解析】a>1,b<0,0<c<15.德国天文学家,数学家开普勒(J.Kepier,1571-1630)发现了八大行星的运动规律:它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比.已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距

离的2倍,土星的公转时间约为10753d.则天王星的公转时间约为()A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d【答案】B【解析】T=23T'=22×10753≈10753×2.828=30409.4846.已知m,n是两条不重合的直线，α,β是两个不重合的平面，则下列结论

正确的是()A.若m//n,m//α,则n//αB.若α⏊β,m⏊β,则m//αC.若m//α,m//β,则α//βD.若m⏊α,n⏊α,则m//n【答案】D【解析】ABC均错误7.甲.乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙

译出密码的概率为0.4.则密码被破译的概率为()A.0.88B.0.7C.0.58D.0.12【答案】C【解析】P=1-0.7×0.6=0.588.英国数学家泰勒发现了如下公式：sinx=x-x33!+x55!-x77!+...,其中n!=1×2×3×4×

...×n.根据该公式可知，与-1+13!-15!+17!-...的值最接近的是()A.cos57.3°B.cos147.3°C.sin57.3°D.sin(-32.7°)【答案】B【解析】原式=sin(-1)≈sin(

-57.3°)=sin(90°-147.3°)=cos147.3°二、多选题9.在复平面内，复数z对应的点为(1,3)则()A.z+z=2B.z2=10C.zz=10D.|z1+i|=5【答案】AC【解析】z=1+3iz+z=1+3i+1-3

i=2，A正确z2=-8+6i,B错误zz=(1+3i)(1-3i)=10，C正确|z1+i|=102=5，D错误10.一只袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个白球和2个黑球，从袋中不放

回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“两次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”,丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则()A.甲与乙互斥B.乙与丙互斥C.乙与丁互斥D.丙与丁互斥【答案

】AB【解析】丁与乙丙可以同时发生，故CD错误11.已知O是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是()A.若(AB+AC)⋅(AB-AC)=0，则△ABC为等腰三角形B.若AB⋅AC>0,则△ABC为锐角三角形C.若OB=

AC-AB，则O,B,C三点共线D.若OA⋅BC=0，OB⋅AC=0,则OC⋅AB=0【答案】AC【解析】0=(AB+AC)⋅(AB-AC)=c2-b2，c=b，A正确

∠A是锐角，但不一定是锐角三角形，B错误OB=BC,C正确O是垂心，正确12.已知圆台上、下底面的圆心分别为O1,O2，半径为2，4，圆台的母线与下地面所成角的正切值为3，P为O1O2上一点，则()A.圆台

的母线长为6B.当圆锥PO1圆锥PO2的体积相等时，PO1=4PO2C.圆台的体积为56πD.当圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为80π【答案】BCD【解析】h=3×(4-2)=6,母线l=210,A错误r1r2=12,PO1PO2=4,B正确V=13

×6×(4π+4π×16π+16π)=56π,C正确设球心到上底面的距离为x，则22+x2=(6-x)2+42,解得x=4,r=25,S=80π,D正确三、填空题13.今年5月1日，某校5名教师在“学习强国

”平台上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是.【答案】18【解析】x=50,s2=49+1+4+365=1814.已知角θ的终边经过点P(-1,2),则tan(θ-π4)=.【答案】3【解析】tanθ

=-2,tan(θ-π4)=-2-11-2=315.已知a,b是非零实数，若关于x的不等式x2+ax+b≥0恒成立，则b+1a2的最小值是.【答案】1【解析】a2-4b≤0,b+1a2≥b+14b≥1,当且仅当b=12,a=±2时

取等16.已知函数f(x)=|x|-|x-2|,则f(x)的值域是，不等式f(x)<f(2x)的解集是.【答案】[-2,2](0,2)【解析】f(x)=-2,x<02x-2,0≤x≤22,x>2,值域为[-2,2],x与2x同号，所以x≤0时，不

成立x>0时，0<x<2x<2或0<x<22x≥2,解得x∈(0,2)四、解答题17.已知函数f(x)=log3(3+x)+log3(3-x).（1）求证：f(x)为偶函数；（2）求f(x)的最大值.【解析】(1)定义域为(-3,3),f(-x)=log3(3-x)+log3

(3+x)=f(x),所以f(x)为偶函数（2）f(x)=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2)≤log39=2当x=0时取得最大值218.在①(a+b+c)(a+b-c)=3ab②tanA+tanBtanAta

nB-1=3③sinC2sinB-sinA=cosCcosA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.（1）求角C的大小；（2）若D

为边BC上一点，且AD=6,BD=4,AB=8,求AC.【解析】（1）选①,a2+2ab+b2-c2=3ab,c2=a2+b2-ab,C=π3（2）cos∠ADB=62+42-822×6×4=-14,sin∠ADC=sin∠ADB

=154ACsin∠ADB=6sinC,解得AC=3519.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，DE=EC,DF=2FB求：（1）AE⋅AF;（2）cos∠EAF【解析】（1）AE⋅AF=（12AB+

AD）(23AB+13AD)=133（2）cos∠EAF=1337×273=131420.某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水

量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：L）得到如下频率分布表分组频数频率[1.5,4.5)220.22[4.5,7.5)310.31[7.5,10.5)x0.16[10.5,13.5)100.10[13.5,16.5)yz[16.5,19.5)50.05[19.5

,22.5)50.05[22.5,25.5)30.03[25.5,28.5)20.02合计1001（1）求上表中x,y,z的值；（2）试估计该区居民的月平均用水量；（3）从上表月平均用水量不少于22.5t的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率.【解析

】（1）x=16,y=6,z=0.06（2）x=3×0.22+6×0.31+9×0.16+12×0.1+15×0.06+18×0.05+21×0.05+24×0.03+27×0.02=9.27（3）P=35

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⏊面ABCD，AB//CD,∠BAD=60°，AB=AD=12CD=2,E为棱PD上的一点，且DE=2EP=2（1）求证：PB//面AEC；（2）求直线AE与面PCD所成角的正弦值.【解析】（1）连接BD交AC于F，连接EF.因

为AB//CD，所以DFFB=CDAB=2=DEEP,所以EF//PB，又EF⊂面AEC，PB⊄面AEC，所以PB//面AEC（2）作AG⏊DC，垂足为G，PD⏊面ABCD，AG⊂面AB

CD，所以AG⏊PD，又PD∩CD=D，所以AG⏊面PCD，所以直线AE与面PCD所成角为∠AEG.sin∠AEG=AGAE=322=6422.已知函数f(x)=3sin2x+2sinxcosx+33cos2x.（1）若θ∈(0,π),f(θ2)=33

,求θ的值；（2）将函数y=f(x)的图像向右平移π6个单位长度，向下平移23个单位长度得到曲线C，再把C上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图像.若函数F(x)=g(π2-2x)+mg(x)

在区间(0,nπ)(n∈N*)上恰有2021个零点，求m,n的值.【解析】f(x)=2sin(2x+π3)+23（1）f(θ2)=2sin(θ+π3)+23=33⇒sin(θ+π3)=32,因为θ∈(0,π)，所以θ+π3

=2π3,所以θ=π3（2）g(x)=2sinx,F(x)=2cos2x+2msinx=2(1-2sin2x)+2msinx=0令t=sinx∈[-1,1],2t2-mt-1=0（***）,t=0时显然不成立①若（***）其中一根为1，则m=1,另一根为-12

,所以F(x)在(0,π)上1个零点，(π,2π)上2个零点，即F(x)在(0,1346π)上共2019个零点，(1346π,1347π)上1个零点，(1347π,1348π)2个零点，所以不存在n使得(0

,nπ)有2021个零点②若（***）其中一根为-1，则m=-1,另一根为12,所以F(x)在(0,π)上2个零点，(π,2π)上1个零点，即F(x)在(0,1346π)上共2019个零点，(1346π,1347π)上2个零点，所以n=1347③若（***）在(-1,1)上

只有一根，则F(x)在(kπ,(k+1)π)上要么2个零点，要么0个，所以(0,nπ)上零点个数只能是偶数，因为2021是奇数，所以不符题意舍去综上m=-1,n=1347无锡市普通高中2021年春学期高一期终教学质量抽测建议卷数学2021．06命题单

位：江阴市教师发展中心制卷单位：江阴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合

题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数52i−的共轭复数是A．﹣2﹣iB．﹣2＋iC．2＋iD．2﹣i2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差

异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A．抽签法抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．随机数表法抽样3．设四边形ABCD为平行四边形，若点M，N满足BM3MC=uuuuruuuur，DN2NC=uuuruuur，MNAB

ADxy=+uuuuruuuruuur，则A．13x=−，14y=B．14x=，13y=C．13x=，14y=−D．13x=，14y=4．已知一个半径为R的半球，其体积为V1，一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆

锥后，所得几何体的体积为V2，下列说法正确的是A．V1＞V2B．V1＝V2C．V1＜V2D．不确定5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝6π，c＝3，则22sinAsinBab++的值为A．2B．23C．6D．636．设平面向量ar，br满足ar＝12，br＝(2，5)，

ab⋅rr＝18，则br在ar方向上的投影向量为A．12brB．18brC．12arD．18ar7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥βC．

若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tanB＝2tanC，b＝1，则△ABC面积的最大值为A．3

8B．14C．64D．34二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面向上”，事件B＝“第二枚硬币反面向上”，

下列结论中正确的是A．A与B互为对立事件B．A与B为相互独立事件C．A与B相等D．P(A)＝P(B)10．下面四个命题中，真命题为A．若复数z满足﹣z∈R，则z∈RB．若复数z满足z2∈R，则z∈RC．若复数12zz=，则1122zzzz⋅=⋅D．若复数12zz=，则12zz=±

11．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677下列说法中正确的是A．甲、乙这次射击成绩的极差相同B．甲、乙这次射击皮绩的平均值相同C．这次射击中乙比甲的成绩稳定D．甲的射击成绩的第60百分位数为7.512．设正

方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，E为线段A1D1的中点，F为线段CC1上的一个动点，则A．存在点F，使B1D⊥EFB．直线AF与平面A1ADD1所成角为定值C．平面AEF截正方体的截面可能是五边形D．当点F与点C1重合时，平面AEF截

正方体的截面面积为86三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．设m为实数，复数m(3＋i)﹣(2＋i)在复平面内所对应的点位于第四象限，则m的取值范围为．14．若平面向量ar，br，cr两两的夹

角相等，且ar＝1，br＝1，cr＝3，则abc+−rrr＝．15．立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于O点，②在O点的正西方A点测

得旗杆顶端P的仰角为45°，③在O点南偏东60°的B点处测得点P的仰角为60°，④测得A，B两点处的距离为421米，则该旗杆顶端距离地面的高度为米．16．已知一个底面边长为43，侧棱长为6的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为，此三棱锥内切球的半径为．四、解答题（本大题共6小题，共

计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收

费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生

的频率；（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．18．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，平面向量mur＝(a＋c，b)，nr＝

(a﹣c，b﹣2a)，mur⊥nr．（1）求角C的大小；（2）现给出三个条件：①c＝4；②(2c﹣a)cosB＝bcosA；③a2＋bccosA﹣accosB＝24．请从中选择两个条件求出△ABC的面积．19．（本小题满分12分）如图所

示，在四棱锥P—ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是线段PB中点，F是线段DC上的点，且DF＝12AB，PH⊥AD，且PHIAD＝H．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）比较∠PBH与∠PBA的大小，

并说明理由．20．（本小题满分12分）设1z是虛数，2114zzz=+是实数，且﹣2＜2z≤1．（1）求1z的实部的取值范围；（2）若1122zzω−=+，求22zω−的最小值．21．（本小题满分12分）有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集

训，该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支球队先使用场地．摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一个黑球．进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止．若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸到黑球，则乙队先使用；第三次摸

到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先使用．（1）这种摸球办法是否公平？请说明理由；（2）若改为放回摸球，是否公平？请说明理由．22．（本小题满分12分）已知在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°

，BB1＝2，E，F分别是线段AB，BC的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AF；（2）棱AA1上是否存在点G，使EG∥平面A1FD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．无锡市普通高中2021年春学期高一期终教学质量抽测建议卷数学2021．06命题单位：江阴市教师发展

中心制卷单位：江阴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数52i−的共轭复数是A．﹣2﹣iB．﹣2＋iC

．2＋iD．2﹣i【答案】D【解析】55(2i)2i2i(2i)(2i)+==+−−+，故共轭复数为2﹣i，选D．2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到

该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A．抽签法抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．随机数表法抽样【答案】C【解析

】由于男女生视力情况差异不大，但是小学、初中、高中三个学段的学生视力情况差异较大，故采用按学段分层抽样的方法，选C．3．设四边形ABCD为平行四边形，若点M，N满足BM3MC=uuuuruuuur，DN2NC=uuuruuur，MNABADxy=+uuuuruuuru

uur，则A．13x=−，14y=B．14x=，13y=C．13x=，14y=−D．13x=，14y=【答案】A【解析】11MNMCCNABAD34=+=−+uuuuruuuuruuuruuuruuur，故选A．4．已知一个半径为

R的半球，其体积为V1，一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为V2，下列说法正确的是A．V1＞V2B．V1＝V2C．V1＜V2D．不确定【答案】B【解析】331142233VRRππ=×=，23212(1)3

3VRRRππ=−=，故V1＝V2，选B．5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝6π，c＝3，则22sinAsinBab++的值为A．2B．23C．6D．63【答案】B【解析】232232sinAsinB

sinsin6abcRCπ+====+，故选B．6．设平面向量ar，br满足ar＝12，br＝(2，5)，ab⋅rr＝18，则br在ar方向上的投影向量为A．12brB．18brC．12arD．18ar【答案】D【解析】br在ar方向

上的投影向量＝181112128abaaaaa⋅⋅=×=rrrrrrr，故选D．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角

和n与β所成的角相等【答案】C【解析】选项C中，直线m，n必须有一条是平面α，β的交线，才能保证α⊥β，故C错误．8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tanB＝2tanC，b＝1，则△ABC面积的最大值为A．38B．

14C．64D．34【答案】A【解析】因为tanB＝2tanC，所以sinBcosC＝2cosBsinC，两边同时加上cosBsinC得，sinA＝3cosBsinC，即a＝3ccosB(*)，故cosB＝3ac，sinB＝

2219ac−，把cosB＝2222acbac+−代入(*)并化简得22233cba=−，即2233ca=−①，2224211133sin122929aacaSacBacc−==−=②，由①、②得42496

aaS−+=，当298a=时，S有最大值为38，选A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚

硬币正面向上”，事件B＝“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是A．A与B互为对立事件B．A与B为相互独立事件C．A与B相等D．P(A)＝P(B)【答案】BD【解析】A，B为独立事件，且P(A)＝P(B)＝12，故选BD．10．下面四个

命题中，真命题为A．若复数z满足﹣z∈R，则z∈RB．若复数z满足z2∈R，则z∈RC．若复数12zz=，则1122zzzz⋅=⋅D．若复数12zz=，则12zz=±【答案】AC【解析】当z＝i时，z2＝﹣1∈R，但z不是实数，B错误；取134iz=+，234iz=−

，则12zz=＝5，但是12zz≠±，D错误．故选AC．11．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677下列说法中正确的是A．甲、乙这次射击成绩的极差相同B．甲、乙这次射击皮绩的平均值相同C．这次射击中

乙比甲的成绩稳定D．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5【答案】BCD【解析】甲的极差是6，乙的极差是4，故A错误；甲的平均数是7，乙的平均数是7，故B正确；由于此次射击甲的方差＞乙的方差，故乙的成绩比较稳定，C

正确；10×60%＝6，故甲的第60百分位数是将甲的成绩从小到大排列后的第6和第7个数的平均数，计算得7.5，故D正确．故选BCD．12．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，E为线段A1D1的中点，F为线段CC1上的

一个动点，则A．存在点F，使B1D⊥EFB．直线AF与平面A1ADD1所成角为定值C．平面AEF截正方体的截面可能是五边形D．当点F与点C1重合时，平面AEF截正方体的截面面积为86【答案】AC【解析】当F为CC1中点时，

有B1D⊥EF，A正确；当点F与点C重合时，直线AF与平面A1ADD1所成角的正切值为1，当点F与点C1重合时，直线AF与平面A1ADD1所成角的正切值为22，故B错误；当F为CC1中点时，平面AEF截正方体的截面是五边形，C正确；过F作AE的平行线交BC于点G，平行四边形AEFG为所截的

面，则S＝4×222+485=，故D错误．故选AC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．设m为实数，复数m(3＋i)﹣(2＋i)在复平面内所对应的点位于第四象限，则m的取值范围为．【答案】21

3m<<【解析】m(3＋i)﹣(2＋i)＝3m﹣2＋(m﹣1)i，该复数在复平面内表示的点的坐标为(3m﹣2，m﹣1)，因为该点在第四象限，故3m﹣2＞0，m﹣1＜0，解得213m<<．14．若平面向量ar，br，cr两两的夹角相

等，且ar＝1，br＝1，cr＝3，则abc+−rrr＝．【答案】1或4【解析】平面向量ar，br，cr两两的夹角相等，包括两种情况，一是两两夹角为0°，二是两两夹角为120°，当两两夹角为0°时，1abc+−=rrr；当两两夹角为120°时，222222abcabcabacb

c+−=+++⋅−⋅−⋅rrrrrrrrrrrr＝4．15．立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于O点，②在O点的正西方A点测得旗杆顶端P的仰角为45°，③在O点南偏东60°的B点处

测得点P的仰角为60°，④测得A，B两点处的距离为421米，则该旗杆顶端距离地面的高度为米．【答案】12【解析】设OB＝x，则OA＝OP＝3x，∵∠AOB＝150°，则AB2＝OA2＋OB2﹣2OA·OB·cos150°，故223336323()2xxxx=+−⋅⋅⋅−，即3

36＝7x2，故x2＝48，x＝43，∴OP＝3x＝12．16．已知一个底面边长为43，侧棱长为6的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为，此三棱锥内切球的半径为．【答案】66，230255−【解

析】如图正三棱锥P—ABC，O是底面ABC的重心，∠PDO即为所求二面角的平面角，易知OD＝123CD=，PD＝26，故cos∠PDO＝26626ODPD==，∠PDO的平分线与PO的交点G即为该正三棱锥内切球的

球心，根据角平分线定理可知OGODOPODPD=+，225230255226OPODOGODPD⋅×−===++．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）我国是世界

上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居

民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率

．【解析】解：（1）由题意得m＝4000×(0.046×10)＝1840，n＝0.046×10＝0.46，p＝0.018÷10＝0.0018，q＝4000×0.006＝24，所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018＋0.01

2＋0.006＝0.036．（2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，设上述6户为a，b，c，d，e，f（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f），在这6户中任选2户进行采访，该实

验的样本空间有15个样本点，具体为：记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，因为，所以，答：在这6户中任选2户进行座谈会，这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率为13．18．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a

，b，c，平面向量mur＝(a＋c，b)，nr＝(a﹣c，b﹣2a)，mur⊥nr．（1）求角C的大小；（2）现给出三个条件：①c＝4；②(2c﹣a)cosB＝bcosA；③a2＋bccosA﹣accosB＝24．请从中选择两个条

件求出△ABC的面积．【解析】解：（1）因为mur⊥nr，即，所以，因为，所以．（2）选①②，由正弦定理及(2c﹣a)cosB＝bcosA得，所以，所以，由代入数据得，得b＝26，因为，于是1162sin4266232

24SbcA+==×××=+．19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是线段PB中点，F是线段DC上的点，且DF＝12AB，PH⊥AD，且PHIAD＝H

．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）比较∠PBH与∠PBA的大小，并说明理由．【解析】证明：（1）取PA的中点为G，连接DG，EG，点E，G是棱PB，PA的中点，所以EG∥AB，EG＝12AB，因为DF∥AB，D

F＝12AB，所以DF∥EG，DF＝EG，即四边形DFGE为平行四边形，所以DG∥EF，因为DG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）因为AB⊥平面PAD，PH⊂面PAD，所以PH⊥AB，又P

H⊥AD，AB∩AD＝A，所以PH⊥平面ABCD，即∠PBH为直线PB与平面ABCD所成的角，因为AB⊥平面PAD，所以PA⊥AB，即cos∠PBA＝ABPB，因为cos∠PBH＝BHPB，在△PDA中，PD＝AD，所以H与A不重合，在△ABH中，AB＜BH，所以∠PBA

＞∠PBH．20．（本小题满分12分）设1z是虛数，2114zzz=+是实数，且﹣2＜2z≤1．（1）求1z的实部的取值范围；（2）若1122zzω−=+，求22zω−的最小值．【解析】解：（1）设则因为2z是实数，，所以，所以由﹣2＜2z≤1得，所以1z的实部的取值范围是；（2），因为，所以，

因为，所以，所以当，即时，22zω−取到最小值．21．（本小题满分12分）有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支球队先使用场地．摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一个黑球．进行不放回的摸球，直到摸到黑球

为止．若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先使用．（1）这种摸球办法是否公平？请说明理由；（2）若改为放回摸球，是否公平？请说明理由．【解析】解：（1）设事件A表示不放回摸球中第i(1≤i≤4，i∈N)次摸到黑球，

所以，四次摸到黑球的概率相等，是公平的；（2）设事件B表示有放回摸球中第i(1≤i≤4，i∈N)次摸到黑球，所以，四次摸到黑球的概率不相等，是不公平的．22．（本小题满分12分）已知在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠

BCD＝135°，BB1＝2，E，F分别是线段AB，BC的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AF；（2）棱AA1上是否存在点G，使EG∥平面A1FD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CH⊥

AD于H，由AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，得△CHD为等腰直角三角形，所以ABCH为正方形，所以BF＝1，△DAB∽△ABF，所以∠BAF＝∠AOB，所以∠BAF＋∠ABD＝∠ADB＋∠ABD＝90°，从而得到DB⊥AF，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

AA1⊥面ABCD，DB⊂面ABCD，所以DB⊥AA1，又因为AF∩AA1＝A，所以DB⊥面AA1F，因为BD⊂面A1BD，所以平面A1BD⊥平面A1AF；（2）存在点G，且AG＝34，使得EG∥平面A1FD，

则在AD上取点M，使AM＝38AD＝32，此时tan∠AME＝tan∠ADF，所以EM∥DF，在平面ADD1A1中，1AGAMAAAD=，所以MG∥A1D，此时由EM∥DF，DF⊂平面A1FD，EM⊄平面A1FD，得EM∥平面A1FD，由MG∥A1D，MG⊄

平面A1FD，得MG∥平面A1FD，又MG∩EM＝M，所以平面EMG∥平面A1FD，故EG∥平面A1FD．江苏省宿迁市2020—2021学年高一下学期期末考试数学试题2021．06一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小

题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是A．13B．23C．14D．342．下表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，

则80百分位数是班级得分78910111314频数2123121A．13.5B．10.5C．12D．133．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosAsinBcosBsinAbcac−=−，则△ABC的形状是A．等腰三角形B．

直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBuuur＝A．31ABAC44+uuuruuurB．13ABAC44−uuuruuurC．31ABAC44−uuuruuurD．13ABAC44+uuuruuur

5．已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n∥βC．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥βD．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m∥n6．已知2a=r，br＝(3，3)，ar在br上的投影向量为1

2br，则ar与br的夹角为A．56πB．3πC．6π或56πD．6π7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝3，AA1＝2，则这个直三棱柱的外接球的表面积为A．8πB．16πC．32πD．64π8．祖暅是我国南北

朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则

这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：π．则此帐篷距底面2R处平行于底面的截面面积为

A．23R4πB．23RπC．24R3πD．23R二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．设i为虚数单位，复数z＝(a＋i)(1＋2i)，a∈R

，则下列命题正确的是A．若z为纯虚数，则a的值为2B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(12−，2)C．实数a＝12−是z＝z（z为z的共轭复数）的充分不必要条件D．若z＝5，则实数a的值为±210．中共中央决定，2021年在全党开展党史学

习教育，激励全党不忘初心、牢记使命．某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是A．成绩是49分或100分的职工人

数是0B．成绩优良的人数是35人C．众数是75D．平均分约为75.5分11．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是A．若OAOBOBOCOCOA⋅=⋅=⋅uuuruuuruuuruuuruuuruuur，则O是△ABC的重心B．若向量OAOBOC0++=u

uuruuuruuurr，且OAOBOC==uuuruuuruuur，则△ABC是正三角形C．若O是△ABC的外心，AB＝3，AC＝5，则OABC⋅uuuruuur的值为﹣8D．若OA2OB4OC0++=uuuruuuruuurr，则S△OAB：S△OBC：S△OAC

＝4：1：212．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ADC＝60°，将△ADC沿AC翻折，下列说法正确的是A．在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是(0，2π)B．在翻折的过程中，三棱锥D—ABC体积最大值为38aC．在翻折过程中，三棱锥D—ABC表面积最大时，其内切

球表面积为2(1483)aπ−D．在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D′，E为棱CD上的一个动点，ED′的最小值为34a三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是13，14，15，

假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为．14．若cos(6xπ−)＝14，则sin(26xπ+)＝．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A、B两点间的距

离，现在珊瑚群岛上取两点C、D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A、B两点的距离为m．16．某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R＝3

，正三棱柱的底面棱长a＝3，且圆锥的侧面展开图的圆心角为65π，则该几何体的体积为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知向量ar＝(3，1)，br＝(2，4)．（1）求向量a

r与br夹角;（2）若(abλ−rr)⊥(2ab+rr)，求实数λ的值．18．（本小题满分12分）已知复数z满足z＝2，2z的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．（1）求复数z；（2）设向量OZuuur表示复数z对应的向量，(cosθ＋isinθ)·z(θ

＞0)的几何意义是将向量OZuuur绕原点逆时针旋转θ后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若△OAB是等边三角形，求向量OBuuur对应的复数．19．（本小题满分12分）已知函数()sin()3hxxπ=+，()cos()3gxxπ=−，再从

条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，其中条件①22()()()fxhxgx=+；条件②：()()()fxhxgx=−；条件③：()()()fxhxgx=⋅．求：（1）()fx的单调递减区间；（2）()fx在区间[0，32π]的取值范围．（注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解

答计分．）20．（本小题满分12分）某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）若从该兴趣小组随机抽取一

位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；（2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差s2；（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且

不放回），求在第一次抽到成绩在70—80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝4，BC＝8，PA＝22．（1）求证

：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M—AC—D的大小为45°，如果存在，求BM与平面ABCD所成的角的正切值，如果不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，

CPBP＝BQQC＝ABAC＝2，∠CAQ＝3π．（1）求AQ的长；（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设AMABx=uuuuruuur，ANACy=uuuruuur(xy≠0)，求x＋y的最小值．扬州市

2020—2021学年度第二学期期末检测试题高一数学2021.6（全卷满分150分，考试时间120分钟）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）．1．sin22sin52sin68

sin38°°+°°=（）．A．12−B．12C．32−D．322．已知正四棱锥SABCD−的底面边长为2，侧棱长为3，则该正四棱锥的体积等于（）．A．43B．433C．43D．43．已知复数z满足(12i)34iz+=−（i为虚数单位），则||z

=（）．A．5B．5C．3D．34．设每个工作日甲､乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（）．A．0.3B．0.5C．0.7D．0.95．设mn、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面．下列命题中正确的

命题是（）．A．若αβ∥，mα⊂，nβ⊂，则mn∥B．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥C．若mα∥，nα∥，则mn∥D．若αβ∥，βγ∥，mα⊥，则mγ⊥6．在等边ABC△中，2DBCD=uuuruuur，向量ADuuur在ABuuur向量上

的投影向量为（）．A．13ABuuurB．23ABuuurC．13ABD．23AB7．已知sincos11cos2ααα=+，1tan()3αβ−=，则tanβ=（）．A．1B．1−C．7D．7−8．已知ABC△中，2AB=，其外接圆半径为2，若4ABAC⋅≥uuuruuur，则角A的最大值为（

）．A．π6B．π4C．π3D．π2二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出．消费支出包括食品烟酒

､衣着､居住､生活用品及服务､交通通信､教育文化娱乐､医疗保健和其他用品及服务八大类．国家统计局采用分层､多阶段､与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国31个省（区､市）的1800个县（市､区）随机抽选16

万个居民家庭作为调查户．国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1和图2所示，则下列说法中正确的有（）．A．2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高

于2019年B．2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年C．2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大D．2020年全国居民人均消费支出低于2019年全国居民

人均消费支出10．已知实数,,xab和虚数单位i，定义：复数0cosisinzxx=+为单位复数，复数1izab=+为伴随复数，复数01()()izzzfxgx==+为目标复数，目标复数的实部()fx和虚部()gx分别为实部函数()fx和虚部函数()gx，则正确的说法有（）．A．()coss

infxaxbx=−B．()sincosgxaxbx=−C．若()=2sin()3fxxπ−，则3a=，1b=−D．若3a=，1b=−且6()=5gx，则锐角x的正弦值334sin10x+=11．设,,,ABCD是两两不同的四个点，若ACmAB=uuuruu

ur，ADnAB=uuuruuur，且2mnmn+=，则下列说法正确的有（）．A．点C可能是线段AB的中点B．点B可能是线段AC的中点C．点,CD不可能同时在线段AB上D．点,CD可能同时在线段AB的延长线上12

．已知长方体1111ABCDABCD−中，3ABBC==，11AA=，P是线段1BC上的一动点，则下列说法正确的有（）．A．当P与1C重合时，三棱锥PACD−的外接球的表面积为7πB．三棱锥1APCD

−的体积不变C．直线AP与平面1ACD所成角不变D．APPC+的最小值为3三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是_________________．14．已知平行四边形ABCD中，6AB

=，4AD=，3BADπ∠=，M､N分别为BC､CD的中点，则AMAN⋅=uuuuruuur___________．15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角45,MANC∠=°点的仰角30CAB∠=°以及75MAC∠

=°；从C点测得60MCA∠=°，已知山高50mBC=，则山高MN=________m．16．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分

，方差为60分2．那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是________分，方差是________分2．（注：第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17．已知ABC△的内角,,ABC的对边分别为,

,,3sincos2,23abcAAa+==．（1）求A；（2）在①cossinaBbA=，②2222bacac+=+这两个条件中任选一个作为条件，然后求ABC△的面积．（注：如果选择条件超过一个，按第一个计分）1

8．正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1DD中点．（1）求证：1BD∥平面AEC；（2）求证：平面1BAC⊥平面11BBDD．19．已知112iz=+是关于x的实系数方程20xmxn++=的一个复数根．（1）求实数,mn的值；（2）设方程的另一根为2z，复数

12,zz对应的向量分别是,abrr．若向量tab−rr与atb+rr垂直，求实数t的值．20．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间[]0.2,0.8内，按[](](](](](]0.2,0.3,

0.3,0.4,0.4,0.5,0.5,0.6,0.6,0.7,0.7,0.8分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求该频率分布直方图中a的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数x（同一组中的数据以这组数

据所在范围的组中值作代表）；A1B1C1D1DABCE（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间(]0.3,0.4和(]0.4,0.5内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间(]0.3,0

.4的概率．21．如图，直角梯形ABCD中，,,33ABCDABBCCDAB⊥==∥，3BC=，点E在CD上，且1CE=．沿AE将ADEV翻折到SAEV处，使得平面SAE⊥平面ABCE．（1）证明；SE⊥

平面ABCE；（2）求二面角SACE−−的正切值．22．在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()acmbm+=∈R．（1）若2m=，求B∠的最大值；（2）若B∠为钝角，求：①m的取值范围；②sinsin1coscosACAC+的取值范围．（参考公式：

sinsin2sincos22αβαβαβ+−+=）2020—2021学年度第二学期期末检测试题高一数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）．1．【答案】D2．【答案】A3．【

答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A【解析】因为sincos11cos2ααα=+，所以2sincos2cosααα=且sincos0αα≠，所以tan2α=﹔又ABCDES1tan()3αβ−=，所以[]32tantan()3tantan()121tan

tan()13ααββααβααβ−−−=−−===+−+．8．【答案】C【解析】如图，设ABCV的外接圆圆心为O，因为ABCV的边2,ABABC=V的外接圆半径为2，所以AOBV为正三角形，因为4ABAC⋅≥uuuruuur，所以点C与点O在AB同侧

，即30ACB∠=°，方法一：所以21sinsin2ACABABCACB==∠∠，即4sinACABC=∠，则2cos8sincosABACACBACABCBAC⋅=∠=∠∠uuuruuur，设BACα∠=，则318sincos8sincoscos622ABACπααααα⋅=+=+

uuuruuur3118sin2cos24sin2244446πααα=++=++≥，即1sin(2)62πα+≥；因为506πα<<，所以112666πππα<+<，所以52666πππα<+≤，解得：03πα<≤所以角A的最大

值为3π．方法二：当,,AOC三点共线时，4AC=，且CBAB⊥，此时4ABAC⋅=uuuruuur，当3CABπ∠<时，4ABAC⋅>uuuruuur，所以角A的最大值为3π．【来源】原创题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．【答案】BD10．【答案】AD因为()()()()cossinsincoszfxgxiaxbxaxbxi=+=−++，所以()cossinfxaxb

x=−，()sincosgxaxbx=+，故A对B错；因为()2sin2sincoscossin3cossin333fxxxxxxπππ=−=−=−，所以3,1ab==，故C错；因为6()sincos3sincos2sin65gxaxbxxxx

π=+=−=−=，所以3sin()65xπ−=，又因为x为锐角，则(,)663xπππ−∈−，所以24cos()1sin()665xxππ−=−−=，所以334sinsin()sin()coscos()sin66666610x

xxxππππππ+=−+=−+−=，故D对．综上，选AD．11．【答案】BC【解析】因为2mnmn+=，则112mn+=．对于A，若C是线段AB的中点，则12m=，则n不存在，故点C不可能是线段AB的中点，则A错误；对于B，若B可能是

线段AC的中点，则2m=，则23n=，故点B可能是线段AC的中点，则B正确；对于C，若点,CD同时在线段AB上，则01,01mn≤≤≤≤，则1mn==，此时,CD重合，与已知矛盾，点,CD不可能同时在线段AB上，故C正确；对于D，若点,CD同时在线段AB的延长线上时，则1,1mn>>，则112

mn+<，这与112mn+=矛盾，所以点,CD不可能同时在线段AB的延长线上，故D错误；故选：BC．12．【答案】ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】414．【答案】4115．【答案】5031

6．【答案】80，100四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）因为3sincos2AA+=，所以2sin()26Aπ+=，所以sin()16Aπ+=．因为()0,Aπ∈，所以7(,)666Aπππ+∈，所以62Aππ+

=，所以3Aπ=．4分（2）若选择①：cossinaBbA=，则sincossinsinABBA=，因为sin0A≠，所以sincosBB=，则tan1B=，又因为()0,Bπ∈，所以4Bπ=；6分若选择②：2222bacac+=+，由余弦定理22222cos222ac

bacBacac+−===，因为()0,Bπ∈，所以4Bπ=；6分（选择①或②的结果相同）因为,34ABππ==，由正弦定理4sinsinabAB==得22b=，且53412Cππππ=−−=，所以562sinsinsinsincoscos

sin124646464Cπππππππ+==+=+=，8分所以1162sin232233224ABCSabC+==×××=+V．10分18．【答案】（1）设AC与BD交于点O，连结OE．因为

1111ABCDABCD−是正方体，所以ABCD为正方形，O为BD中点．又因为E为1DD中点，所以1OEBD∥．3分又因为OE⊂平面1,AECBD⊄平面AEC，所以1BD∥平面AEC．6分（2）因为1111ABCDABCD−是正方体，1BB⊥平面ABCD．又AC

⊂平面ABCD，所以1ACBB⊥．又由（1）知ABCD为正方形，所以ACBD⊥．因为11,,ACBDACBBBB⊥⊥⊂平面11,BDDBBD⊂平面111,BDDBBBBDB∩=，所以AC⊥平面11BDDB．9分又因为AC

⊂平面1BAC，所以平面1BAC⊥平面11BBDD．12分19．【答案】（1）由题得2(12)(12)12220iminmnimi++++=−++++=，所以10,2220,mnm−++=+=得2,3.mn=

−=6分（2）由（1）知，关于x的实系数方程为2230xx−+=，所以122zz+=，112zi=+，则212zi=−，所以(1,2),(1,2)ab==−rr，则(1,2(1)),(1,2(1))tabttatbtt−=−++=+−rrrr．因为tab−rr与a

tb+rr垂直，所以2()()(1)(1)2(1)2(1)10tabatbttttt−+=−+++⋅−=−+=rrrr，解得：1t=±．12分．20．【答案】（1）由题可知20.120.130.11.80.10.60.11a××+×+×+×+×=，即0.20.26a=，所以1.3a=．2分

由频率分布直方图可得0.250.130.350.20.450.30.550.180.650.130.750.060.466x=×+×+×+×+×+×=，因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元．5分（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间(]0.3,0.4”

为事件A．6分因为区间(]0.3,0.4与(]0.4,0.5频率之比为2:3，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，故从分组区间(]0.3,0.4中抽取2人，分别记为12,AA，从分组区间(]0.4,0.5中抽取3人，分别记为1

23,,BBB，从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点()11,AB表示“选出11,AB”（余类推），则样本空间Ω为()()()()()()()()()(){}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AAABABABABABABBBBBBBΩ=，

8分()()()()()(){}111213212223,,,,,,,,,,,AABABABABABAB=．所以63()105PA==．11分答：（1）该频率分布直方图中a的值为1.3，这100位客户最近一年到该超市消费金额

的平均数为0.466万元；（2）幸运客户中恰有1人来自区间(]0.3,0.4的概率为35．12分21．【答案】（1）因为33,1CDABCE===，所以1,2ABECDESE====．又因为ABCD∥，所以ABC

E为平行四边形，又因为ABBC⊥，所以ABCE为矩形，所以AEDC⊥，则AESE⊥．3分又因为平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面,ABCEAESE=⊂平面SAE，所以SE⊥平面ABCE．6分（2）在平面ABCE内，过E作EPAC⊥，垂足为P，连结SP．由（1）知SE⊥平面ABCE．又因为A

C⊂平面ABCE，所以SEAC⊥．又因为,EPACEP⊥⊂平面,SEPSE⊂平面,SEPEPSEE∩=，所以AC⊥平面SPE．又因为SP⊂平面SEP，所以ACSP⊥．又因为EPAC⊥，所以SPE∠即为二面角SACE−−的平面角．10分由（1）知,3,1AEECAEBCEC===⊥，又EPAC⊥，所

以1122AECSAEECACEP=⋅=⋅V，所以223132(3)1AEECEPAC⋅×===+．又RtSEPV中，90,2SEPSE∠=°=，所以243tan332SEEPPSE===∠，所以二面角SACE−−的正切值为433．12分22．【答案】（1）当2m=时，2acb+=，所以222

2()2cos024acacacBacac++−−==≥，因为(0,)Bπ∈，所以(0,]2Bπ∈，则B∠的最大值为2π．4分（2）①因为acb+>，所以1m>；因为B∠为钝角，即存在0,0ac>>，使得222acb+<，即2222222()2()

,1acacacmacmaacc+++<<=+++成立；因为2acca+≥，所以212m<<，即12m<<；7分②又因为acmb+=，所以sinsinsinACmB+=，则2sincos2sincos2222ACACBBm+−=，因为sinsinco

s0222ACBBπ+−==≠，所以sinsin()cos22222ACBACACcosmmmπ−++==−=，所以222coscos22ACACm−+=，则21cos()1cos()22ACACm+−++=×，21coscossinsin(1

coscossinsin)ACACmACAC++=+−，所以2221211coscsinsosin11AAmmCmC−==−++++，因为12m<<，所以2210113m<−+<+，所以1sicoscosnsinAACC+的取值范

围为1(0,)3．12分