【文档说明】新高一数学暑假衔接学习资料系列讲义12讲（含答案）.docx，共(95)页，2.892 MB，由baby熊上传

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【第1讲】乘法公式【基础知识回顾】知识点1平方公式（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb．（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac

；知识点2立方公式（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）两数和立方公式33223()33abaababb；（4）

两数差立方公式33223()33abaababb．【合作探究】探究一平方公式的应用【例1】计算：（1）)416)(4(2mmm（2）)41101251)(2151(22nmnmnm（3）)164)(2)(2(24aaaa（4）22222))(2(yxy

xyxyx（5）22)312(xx【解析】（1）原式=333644mm（2）原式=3333811251)21()51(nmnm（3）原式=644)()44)(4(63322242aaaaa（4）原式=222222

2)])([()()(yxyxyxyxyxyx63362332)(yyxxyx（5）原式=22]31)2([xx913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222

xxxxxxxxxx归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)xy【解析】原式=22(21)[(2)1]xyxy2(2)2(2)1xyxy22444

21xxyyxy探究二立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x（2）3(23)x【解析】（1）332(1)331xxxx（2）332(23)8365427xxxx归纳总结：常用配方法：2222ababab，2222abab

ab．【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)38x(2)30.12527b分析：(1)中，382，(2)中3330.1250.5,27(3)bb．【解析】(1)333282(2)(42)xxxxx(2)333220.12527

0.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]bbbbb2(0.53)(0.251.59)bbb探究三整体代换【例3】已知13xx，求：（1）221xx；（2）331xx．【解析】13xx，所以（

1）222211()2327xxxx．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18xxxxxxxxxx．归纳总结：（1）本题若先从方程13xx中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦

琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【练习3-1】已知2310xx，求：（1）221xx；（2）331xx．【解析】2310xx，0x，213xx，13xx．（1）22

2211()2(3)211xxxx；（2）331xx2211()(1)3(111)36xxxx．【练习3-2】已知4abc，4abbcac，求222abc的值．【解析】2222()2()8abcabca

bbcac．【课后作业】1．不论a，b为何实数，22248abab的值（）A．总是正数B．总是负数C．可以是零D．可以是正数也可以是负数2．已知22169xy，7xy，那么xy的值为（）

A．120B．60C．30D．153．如果多项式29xmx是一个完全平方式，则m的值是4．如果多项式kxx82是一个完全平方式，则k的值是5．22_________abab22

2__________abab6．已知17xy，60xy，则22xy7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）3(3)()27xx（2）3(23)()827xx（3）26(2)()8

xx（4）3(32)()278aa（5）3(2)()x；（6）3(23)()xy（7）221111()()9432abab（8）2222(2)4(abcabc)8．若2210xx，则221xx____________；331xx______

______．9．已知2310xx，求3313xx的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1xxx；23(1)(1)1xxxx；324(1)(1)1xxxxx…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nnx

xxx_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A2．B3．64．165．4ab；2ab6．1697．（1）239xx（2）2469xx（3）4224xx（

4）2964aa（5）326128xxx（6）32238365427xxyxyy（7）1132ab（8）424abacbc7．【解析】(1)2229166824xyzxyxzyz(2)2235342

1aabbab(3)2233abab(4)331164ab8．【解析】2210xx，0x，212xx，12xx．（1）222211()2(2)26xxxx；（2）331xx2211()(1)2(61)14xxxx

．9．【解析】2310xx0x31xx原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321xxxxxxxx10．11nx【第2讲】因式分解【基础知识回顾】知识点1

因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．知识点2因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方

和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3常用的乘法公式：（1）平方差公式：22()()ababab；（2）完全平方和公式：222()2abaabb；（3）完全平方差公式：222()2abaabb．（4）2()abc2222

()2()abcabcabbcac.（5）33ab22()()abaabb(立方和公式)（6）33ab22()()abaabb(立方差公式)【合作探究】探究一公式法【例1】分解因式：(1)34381abb(2)76aab【分析】

(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66ab，可看着是3232()()ab或2323()()ab．【解析】(1)3433223813(27)3(3)(39)abbbabb

abaabb．(2)76663333()()()aabaabaabab22222222()()()()()()()()aabaabbabaabbaababaabbaabb归纳

总结：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)abab，这里逆用了法则()nnnabab；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号

．【练习1】把下列各式分解因式：(1)34xyx(2)33nnxxy(3)2232(2)yxxy【解析】（1）34xyx=22()()xxyyxyx（2）33nnxxy=22()(),nxxyxxyy（3）2232

(2)yxxy=22432(1)(4321)yxxxxx探究二提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22xyaxay分解因式．【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差

公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.【解析】：22()()()()()xyaxayxyxyaxyxyxya【例2-2】分解因式：（1）255abab；（2）329

33xxx．【解析】（1）255abab(5)(1)aba；（2）32933xxx32(3)(39)xxx．2(3)3(3)xxx2(3)(3)xx【例2-3】分解因式：（1）32

933xxx；（2）222456xxyyxy．【解析】（1）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx．或32933xxx＝

32(331)8xxx＝3(1)8x＝33(1)2x＝22[(1)2][(1)(1)22]xxx＝2(3)(3)xx．（2）222456xxyyxy=222(4)

56xyxyy=22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy．或222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy=(2)()(45)6xyxyxy=(22)(3)xyxy．【例2-4】把22

22428xxyyz分解因式．【分析】：先将系数2提出后，得到22224xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．【解析】：22222224282(24)xxyyzxxyyz2

22[()(2)]2(2)(2)xyzxyzxyz【练习2】分解因式（1）27()5()2abab(2)22(67)25xx【解析】（1）27()5()2abab=(772)(1)abab(2)22(67)25xx

=22[(67)5][(67)5]xxxx=2(21)(35)(675)xxxx探究三十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1)276xx(2)21336xx(3)226xxyy【解析】(1)6(1)(

6),(1)(6)7276[(1)][(6)](1)(6)xxxxxx．(2)3649,491321336(4)(9)xxxx(3)222266(3)(2)xxyyxyxxyxy归纳总结：这类式

子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq因此，2

()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例3-2】把下列各式因式分解：(1)21252xx(2)22568xxyy32411

254yy【解析】(1)21252(32)(41)xxxx(2)22568(2)(54)xxyyxyxy归纳总结：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符

合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【练习3-1】把下列各式因式分解：(1)2524xx(2)2215xx(3)222()8()12xxxx【解析】(1)24(3)8,(3)85

2524[(3)](8)(3)(8)xxxxxx(2)15(5)3,(5)322215[(5)](3)(5)(3)xxxxxx(3)22222()8()12(6

)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx探究四拆、添项法【例4】分解因式3234xx【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一

次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．【解析】323234(1)(33)xxxx22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]xxxxxxxxx22(1)(4

4)(1)(2)xxxxx归纳总结：将23x拆成224xx，将多项式分成两组32()xx和244x．【课后作业】1．把下列各式分解因式：(1)327a(2)38m(3)3278x(4)3311864pq(5)

3318125xy(6)3331121627xyc2．把下列各式分解因式：(1)34xyx(2)33nnxxy(3)2323()amnab(4)2232(2)yxxy3．把下列各式分解因式：(1)232xx(2)23736xx(3)21126xx(4)26

27xx(5)2245mmnn(6)2()11()28abab4．把下列各式分解因式：(1)5431016axaxax(2)2126nnnaabab(3)22(2)9xx(4)42718

xx(5)2673xx(6)2282615xxyy5．把下列各式分解因式：(1)233axayxyy(2)328421xxx(3)251526xxxyy(4)224202536a

abb(5)22414xyxy(6)432224abababab(7)66321xyx(8)2(1)()xxyxyx【参考答案】1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),aaammmxx

x222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216pqppqqxyxyxyxycxyxycc2．2222()(),()(),nxxyyxyx

xxyxxyy22222432()[()()],(1)(4321)amnbmnbmnbyxxxxx3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)xxxxxxxx(9)(3),(

5)(),(4)(7)xxmnmnabab4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)naxxxaababxxxxxxx2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(2

1)(35)(675)xxxyxyababxxxx5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)xyayxxxxyabab23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x

yxyabababxyxyxxyxy．【第3讲】根式与根式的运算【基础知识回顾】知识点1二次根式的概念一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式.知识点2二次根式性质(1)2()(0)aaa(2)2||aa(3)(0,0)ababab(4)(0,0)b

babaa二次根式2a的意义2aa,0,,0.aaaa【合作探究】探究一根式的简化【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）64(0)xyx．(3)22(32)(31)【解析】（1）1223bb；（2）633422(0)xyxyxyx．(

3)原式=|32||31|23311归纳总结：注意性质2||aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【练习1-1】化简下列各式：（1）2(0)aba；(2)22(1)(2)(1)xxx【解析】（1）2(0)a

bababa；(2)原式=(1)(2)23(2)|1||2|(1)(2)1(1x2)xxxxxxxx【例1-2】（1）若2(5)(3)(3)5xxxx，则x的取值范围是；（2）等式22xxxx成立的条件

是（）A.2xB.0xC.2xD.02x【解析】（1）2(5)(3)|3|5(3)5xxxxxx|3|(3)xx(3)0x35x（2）由于020xx2x。故选C归纳总结：【练习1-2】（1）42

46543962150；（2）若22111aaba，求ab的值．【解析】（1）42465439621508618612610686（2）因为22101010aaa

所以1a，此时0002b1ab探究三有理化因式和分母有理化【例3-1】计算：333．【解析】解法一：333＝3(33)(33)(33)＝33393＝3(31)6＝312．解法二：333

＝33(31)＝131＝31(31)(31)＝312．【例3-2】化简：20162017(32)(32)．【解析】原式＝20162016(32)(32)(32)=2016(32)(32)(3

2)＝20161(32)＝32．【例3-3】化简：（1）945；（2）2212(01)xxx．【解析】（1）原式545422(5)22522(25)2552．（2）原式=21()xx1xx

，∵01x，∴11xx，所以，原式＝1xx．【例3-4】已知3232,3232xy，求22353xxyy的值．【解析】∵223232(32)(32)103232xy，323213232xy，∴22223533()113101

1289xxyyxyxy．归纳总结：【练习3】（1）1313＝；（2）若52x，则11111111xxxxxxxx．【答案】（1）32（2）5．【解析】（1）1313＝2131313

＝4233213（2）11111111xxxxxxxx2222(11)(11)(1)(1)xxxxxx=2(1)2(1)425(1)(1)2xxxxxx【课后作业】1．二次根式2aa成立的条件

是()A．0aB．0aC．0aD．a是任意实数2．若3x，则296|6|xxx的值是()A．－3B．3C．－9D．93．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：(1)38a(2)1aa(3)4ababba(4)11223231

4．化简：(1)219102325mmmmmm(2)222(0)2xyxyxyxxy5．设11,3232xy，求代数式22xxyyxy的值．6．设512x，求4221xxx的值．7．化简或计算：(1)113(184)2

323(2)22122(25)352(3)2xxxyxxyyxyyxxyy【参考答案】1．C2．A3．2()22212abaaaab4．2mmxy5．13366．357．433,,3xyy【第4讲】分式运算【基础知识回顾】知识点1分

式的意义与性质形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMBBM；AAMBBM．知识点2繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【合作探究】

探究一解分的化简与求值【例1-1】代数式1111x有意义，则x需要满足的条件是_________【解析】0111x且01x，解得21xx且【例1-2】若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值．【

解析】：∵(2)()2542(2)(2)(2)ABAxBxABxAxxxxxxxxx，∴5,24,ABA解得2,3AB．归纳总结：【练习1】化简：2112111xxxxx本资料分享自千人教师QQ群323031380

期待你的加入与分享【解析】22221111222211111111xxxxxxxxxxxxxxxx2232212221xxxxxxx探究二

列项相消【例2】（1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn．【解析】（1）证明：∵11(1)

11(1)(1)nnnnnnnn，∴111(1)1nnnn（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知111122391011111(1)()()223910

1110＝910．（3）证明：∵1112334(1)nn＝111111()()()23341nn＝1121n，又n≥2，且n是正整数，∴1n＋1一定为正数，∴1112334(1)nn＜12．归纳总结：【练习2】

（1）证明：1111()(21)(21)22121nnnn（其中n是正整数）；（2）证明：对任意大于1的正整数n，有11111335(21)(21)2nn．【解析】（1）证明：∵

11(21)(21)(21)(21)2(21)(21)nnnnnn1(21)(21)[]2(21)(21)(21)(21)nnnnnn111()22121nn∴1111()(21)(21)22121nnnn（其

中n是正整数）成立．（2）证明：∵1111335(21)(21)nn＝1111111[()()()]213352121nn＝111()2121n11242n，又n≥1，且n是正整数，∴12n＋1一定为正数，∴11111335(21)

(21)2nn．探究三分式的应用【例3】设cea，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．【解析】在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1

)(e－2)＝0，∴e＝12＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．归纳总结：【练习3】设cea，且e＞1，3c2－10ac＋3a2＝0，求e的值．【解析】在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得3e2－10e＋3＝0，∴(3e－1)(e－3)

＝0，∴e＝13＜1，舍去；或e＝3．∴e＝3．探究四多项式除以多项式【例4】计算)3()3(24xxx【解析】393933330030032222442xxxxxxxxxxxxxxx39)3(

)3()3(224归纳总结：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余

式【练习4】计算（1）)32()2713103(223xxxxx（2）)1()22(232xxx【解析】（1）32151443)32()2713103(2223xxxxxxxxx（2）12)1()22(223

2xxxxxx【课后作业】1．对任意的正整数n，1(2)nn(112nn)；2．若223xyxy，则xy＝（）（A）１（B）54（C）45（D）653．正数,xy满足222xyxy，求xyxy

的值．4．计算1111...12233499100．5．已知1453,211221923234xxxBxxxxA，求：22BA6．填空：（1）12a，13b，则2223352aabaabb；（2）若2220x

xyy，则22223xxyyxy；7．计算：1111132435911．8．试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)nnn＜14．【参考答案】1．122．B3．214．99100

5．222)23(xBA6．（1）37（2）52，或－157．5118．111(1)(2)(1)(2)nnnnnn1111[](1)2(2)nnn11111111[][()()]2(1)(1)(2)2(1)12nnnnnnnn11

1111()()2(1)212nnnn111123234(1)(2)nnn111111111(1)()2(1)222422244nnnn【第5讲】绝对值和绝对值不等式的解法【基础知识回

顾】知识点1绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.aaaaaa知识点2绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．知识点3两个数的差的绝对值的几何意义ba

表示在数轴上，数a和数b之间的距离．【合作探究】探究一绝对值的性质【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2B．2C．-2D．4【答案】A【例1-2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（）A．7或-7B．7或3C．3或-3D．-7或-3【答案】C【例1-3

】已知：abc≠0，且M=abcabc，当a，b，c取不同值时，M有____种不同可能．【答案】4【解析】当a、b、c都是正数时，M=3；当a、b、c中有一个负数时，则M=1；当a、b、c中有2个负数时，则M=-1；当a、b、c都是

负数时，M=-3．归纳总结：【练习1】已知abc，，是非零整数，且0abc，求abcabcabcabc的值【解析】：由于0abc，且abc，，是非零整数，则abc，，一正二负或一负二正，（1）当abc，，一正二负时，不妨设000ab

c，，，原式11110；（2）当abc，，一负二正时，不妨设000abc，，，原式11110．原式0．探究二绝对值的应用【例2】若42ab，则_______ab．【解析】424204,2a

babab，所以2ab．归纳总结：绝对值具有非负性，即若0abc，则必有0a，0b，0c．【练习2-1】练习1：2120ab，a________；b__________【解析】1,

2ab．【练习2-2】若7322102mnp，则23_______pnm＋．【解析】由题意，713,,22mnp，所以13237922pnmm＋．探究三零点分段法去绝对值【例3】化简代数式24xx【解析】⑴当2x时，原式2422xxx

；⑵当24x时，原式246xx；⑶当x≥4时，原式2422xxx．综上讨论，原式222624224xxxxx．归纳总结：【练习3】化简代数式122yxx【解析】当1x时

，53yx；当12x时，3yx；当2x时，35yx．综上讨论，原式531312352xxxxxx．探究四绝对值函数【例4-1】画出1yx的图像【解析】（1）关键点是1x，此点又称为界点；（2）接着

是要去绝对值当1x时，1yx；当1x时，1yx．（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到【例4-2】画出122yxx的图象【解析】（1）关键点是1x和2x（2）去绝对值当1x时，

53yx；当12x时，3yx；当2x时，35yx．（3）图象如右图所示．【例4-3】画出函数223yxx的图像【解析】（1）关键点是0x（2）去绝对值：当0x时，223yxx；当0x时

，223yxx（3）可作出图像如右图【例4-4】画出函数232yxx的图像【解析】（1）关键点是1x和2x（2）去绝对值：当1x或2x时，232yxx；当12x时，232yxx（3）

可作出图像如右图归纳总结：探究五解绝对值不等式【例5-1】解不等式1x．【解析】x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：1和1，自然只有在1和1之间的点，到原点的

距离才小于1，所以x的解集是{|11}xx．归纳总结：（1）(0)xaa的解集是{|}xaxa，如图1．（2）(0)xaa的解集是{|}xxaxa或，如图2．【练习5-1】解不等式：（1）3x；（2）3

x（3）2x【答案】（1）{|33}xx（2）{|33}xxx或（3）{|22}xx【例5-2】解不等式21x．【解析】：由题意，121x，解得13x，所以原不等式的解集为{|13}xx．归纳总结

：（1）(0)axbcccaxbc．（2）(0)axbccaxbc或axbc【练习5-2】解不等式：（1）103x；（2）252x；（3）325x；【解析】：（1）由题意，3103x，解得713x，所以原不等式的解集为

{|713}xx．（2）由题意，252x或252x，解得72x或32x，，所以原不等式的解集为73{|}22xxx或．（3）由题意，5325x，解得【例5-3】解不等式组2405132xx

．【解析】：由240x，得424x，解得26x，①由5132x，得133x，即3133x，解得4233x，②由①②得，4233x，所以原不等式的解集为42{|}33xx．【练习5-3】解不等式1215

x．【解析】：方法一：由215x，解得23x；由121x得，0x或1x，联立得2013xx或，所以原不等式的解集为{|2013}xxx或．方法二：12151215xx或5211x，解得2013xx

或，所以原不等式的解集为{|2013}xxx或．【例5-4】解不等式：4321xx【解析】：方法一：（零点分段法）（1）当34x时，原不等式变为：(43)21xx，解得13x，所以13x；（2）当34x时，原不等式变为：4321xx

，解得2x，所以2x；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3xxx或．方法二：43214321xxxx或43(21)xx，解得13x或2x，所以原不等式的解集为1{|2}3xxx或．归纳总结：（1）()()()axbfxfxaxbfx．（2）(

)()axbfxaxbfx或()axbfx．【练习5-4】解不等式：431xx．【解析】：由431xx得(1)431xxx，解得2453x，原不等式的解集为24{|}53xx．【例5-5】解不

等式：215xx方法1：利用零点分区间法（推荐）【分析】:由01x，02x，得1x和2x．2和1把实数集合分成三个区间，即2x，12x，1x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨

论．【解析】：当2x时，得2(1)(2)5xxx，解得：23x；当12x时，得21(1)(2)5xxx，解得：12x；当1x时，得1(1)(2)5xxx，解得：21x．综上，原不等式的解集为23

xx．方法2：利用绝对值的几何意义【解析】：215xx的几何意义是数轴上的点x到1和2的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35，易知当3x或2x时，215xx，所以x位于3和2之间（不含端点），所以32x，所以原不等式的解集为23

xx．【练习5-5】解不等式：13xx＞4．【解析】解法一：由01x，得1x；由30x，得3x；①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＜0，又x＜1，∴

x＜0；②若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．解法二：如图1．1－1，

1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式13xx＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB

|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0，或x＞4．13ABx04CDxP|x－1||x－3|图1．5－5【课后作业1】1．35________；3______

__；3.1415_____；2．2215xy，4x，则y__________．3．若0aa，那么a一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数4．若xx，那么x是________数．5．如图，化简22a

bbcac_____________6．已知2(2)210xy，则2xy_______．7．化简12xx，并画出12yxx的图象8．化简523xx．9.画出23yx的图像10

.画出223yxx的图像【课后作业2】1.已知6a，化简26a得()A.6aB.6aC.6aD.6a2.不等式23x的解是，不等式1211x的解是______________.3.不等式830x的解是______________.4.根据数轴表示,,abc三

数的点的位置，化简abacbc___.5.解不等式329x6.解不等式124xx7.解下列关于x的不等式：1235x8.解不等式3412xx9．解不等式：122xxxa0bc【参考答案1】1．35；3；3.14152．2或13．C

4．负5．-46．37．23,21,2123,1xxyxxx，图象如下8．32,538,52332,2xxyxxxx9．如图所示10．如图所示【参考答案2】1.B2.{|51}xx；{|04}x

x3.3{}84.05.{|71511}xxx或6.35{|}22xx7.{|1124}xxx或8.3{|5}5xxx或9．1{|5}3xx【第6讲】一元二次方程根与系数的关系【基础

知识回顾】知识点1一元二次方程的根的判断式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa(1)当240bac时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：242bbacx

a(2)当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa(3)当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程

的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac知识点2一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：2244,22bbacbbac

xxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa韦达定理：如果一元二次方程

20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa【合作探究】探究一与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310xx(2)24912yy(3)25(3)60xx【解析】：(1)2(3)4211

0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为：241290yy2(12)4490，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为：256150xx2(6)45152640，∴原方程

没有实数根．归纳总结：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【练习1-1】已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【解析】：2(2

)43412kk(1)141203kk；(2)141203kk；(3)141203kk；(4)141203kk．【练习1-2】已知实数x、y满足22210xyxyxy，试求x、y的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于

x的方程，整理得：22(2)10xyxyy由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300yyyyy，代入原方程得：22101xxx．综上知：1,0xy探究二一元二次

方程的根与系数的关系【例2-1】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx(

1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx(2)121212112220072007xxxxxx(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx(4)222

12121212||()()4(2)4(2007)4502xxxxxxxx归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4x

xxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．【练习2】若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求

|x1－x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13＋x23．【解析】：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴1252xx，1232xx．（1）∵|x1－x2|2＝x

12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝253()4()22＝254＋6＝494，∴|x1－x2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()211372243

9()9()24xxxxxxxxxxxx．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－52)×[(－52)2

－3×(32)]＝－2158．【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【解析】：法一设这两个数分别是x，y，则412xyxy1126xy或2262xy．因此，这两

个数是－2和6．法二由韦达定理知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解方程得：x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．【例2-2】关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为

5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．【解析】：(1)∵方程两实根的积为5∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk所以，当4k时，方程两实根的积为5．(2)由12||xx得知：

①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；②当10x时，12120101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去．综上可得，32k

时，方程的两实根12,xx满足12||xx．探究三一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．【解析】：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4

)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜174．∴a的取值范围是a＜4．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。【解析】：解一：由解得：解二：设，则如图所示，只须，解得【练习3-1】已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。【解析】：如

图，设则只须，解之得∴042axxa0)3)(3(021xx3a)(xfaxx420)3(f3a065)9(222aaxaxa65)9()(222aaxaxxf0)2(0)0(ff

38132aa382a【课后作业】1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．2kB．2,1kk且C．2kD．2,1kk且2．若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为()A．2

B．2C．12D．923．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，则m等于()A．3B．5C．53或D．53或4．若t是一元二次方程

20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()A．MB．MC．MD．大小关系不能确定5．若实数ab，且,ab满足22850,850aabb

，则代数式1111baab的值为()A．20B．2C．220或D．220或6．如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根

，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程22(1)30xkxk的两根之差为1，则k的值是_____．9．设12,xx是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方

程20xqxp的两实根，则p=_____，q=_____．10．已知实数,,abc满足26,9abcab，则a=_____，b=_____，c=_____．11．对于二次三项式21036xx

，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．你是否同意他的看法？请你说明理由．12．已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,xx，且满足121112xx

，求m的值．13．已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请你说明理由．14．已知关于x的方程x

2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．【参考答案】1．B2．A3．A4．A5．A6．2,acbbc且7．38．9或39．1,3pq10．3,3,0abc11．正确12．21(

1)1650(2)2mm13．13(1)112kk且(2)不存在14．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝

21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．【第7讲】二次函数的图

象和性质【基础知识回顾】知识点1二次函数的图象与解析式二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象

与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．知识点2二次函数的最值二次函数2(0)yaxbxca

是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．今

后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题．【合作探究】探究一求二次函数解析式【例1-1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1

），求二次函数的解析式．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)yaxa，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴

21(32)1a，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1yx，即y＝－2x2＋8x－7．归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题

．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【例1-2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上

就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解法一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开，得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离

2，∴|－4a|＝2，即a＝12．所以，二次函数的表达式为y＝21322xx，或y＝－21322xx．【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于

是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解法二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到

x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－12，或a

＝12．所以，所求的二次函数为y＝－12(x＋1)2＋2，或y＝12(x＋1)2－2．归纳总结：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【例1-3

】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【解析】设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y

＝－2x2＋12x－8．探究二二次函数的最值【例2-1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．【

解析】：方法一：作出函数的图象．当1x时，min4y，当2x时，max5y．方法二：配方法2223(1)4yxxx当1x时，min4y，当2x时，max5y．【例2-2】当12x时，求函数21yxx

的最大值和最小值．【解析】方法一：作出函数的图象．当1x时，max1y，当2x时，min5y．方法二：配方法，215()24yx，22,8,842,abccabc当1x时，max1y，当2x

时，min5y．归纳总结：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例2-3】当0x时，求函

数(2)yxx的取值范围．【解析】方法一：作出函数2(2)2yxxxx在0x内的图象．可以看出：当1x时，min1y，无最大值．所以，当0x时，函数的取值范围是1y．方法二：22(2)2(1)1yxxxxx，当1x时，

min1y，无最大值．所以，当0x时，函数的取值范围是1y．【例2-4】当1txt时，求函数225yxx的最小值(其中t为常数)．【分析】由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需

要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】函数225yxx的对称轴为1x．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即1t时：当xt时，2min25ytt；(2)当对称轴在所给范围之间．即1101ttt

时：当1x时，2min12156y；(3)当对称轴在所给范围右侧．即110tt时：当1xt时，22min(1)2(1)56yttt．综上所述：2min26,06,0125,1ttytttt【例2-5】当02x时

，求函数21yxtx的最小值(其中t为常数)．【分析】由于对称轴随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】函数21yxtx的对称轴为2tx．(1)当对称轴在所给范围左侧．即0t

时：当0x时，min1y；(2)当对称轴在所给范围之间．即022t，即04t时，当2tx，2min14ty；(3)当对称轴在所给范围右侧．即4t时，当2x时，min32yt综上所述：2min1,0

1,04432,4ttyttt．【课后作业1】1．选择题：把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）2．填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，

0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，0），C（1

，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与x轴两交点间的距离为4．4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形

地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y

的图像；第2题ACBDP图22－10（3）求函数y的取值范围．【参考答案1】1．（1）D2．（1）y＝x2＋x－2（2）y＝－x2＋2x＋33．（1）．（2）．（3）．（4）22115323222yxxx4．当长为

6m，宽为3m时，矩形的面积最大．5．（1）函数f（x）的解析式为,02,4,24,4,46,8,68.xxxxyxxxx（2）函数y的图像如图所示（3）由函数图像可知，

函数y的取值范围是0＜y≤2．1222xxy1843)1(422xxxy35251)5)(3(512xxxxyxyO22468图2.2－11【课后作业2】1．抛物线2(4)23yxmxm，当m=_____

时，图象的顶点在y轴上；当m=_____时，图象的顶点在x轴上；当m=_____时，图象过原点．2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函数的最值：(1)2245yxx；(2)(1)(2)yxx

．4．求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值．5．对于函数2243yxx，当0x时，求y的取值范围．6．求函数23532yxx的最大值和最小值．

7．已知关于x的函数22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为0？8．已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值．9．函数223yxx在0mx上的最大值为3，最小值

为2，求m的取值范围．10．设0a，当11x时，函数21yxaxb的最小值是4，最大值是0，求,ab．11．已知函数221yxax在12x上的最大值为4，求a的值．12．求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值(t为常数)．【参考答案2】1．

414或2，322．2216lm3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．当34x时，min318y；当2x时，max19y．5．5y6．当56x时，min336y；当23x或1时，max3y．7．当54t时，min

0y．8．(1)当1x时，min1y；当5x时，max37y．(2)当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya．9．21m．10．2,2ab．11．14a或1a

．12．当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x．【第8讲】二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法【基础知识回顾】知识点1三元一次方程组三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程．它的一般形式

是111122223333axbyczdaxbyczdaxbyczd，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数．知识点2二元二次方程组含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．【合作探究】探究一二元一次方程组及其解法方法1、代入消元法解二元一次方程组【例1-1】解方程组327,25.xyxy

①②【解析】由②，得52xy.③将③代入①，得3(52)27yy，15627yy，88y，1.y把1y代入③，得3.x所以原方程组的解是.1,3yx归纳总结：此题方程②的系数较简单，且方程②中未

知数x的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单.代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.【练习1-1】用代入法解方程组：34,110.42xyxy

①②【答案】84xy方法2、加减消元法解二元一次方程组【例1-2】解方程组：521,7316.mnmn①②【解析】法一：①×3，②×2，得1563,14632.mnmn③④③-④，得29m=-2

9，m=-1.将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3.所以原方程组的解为1,3.mn法二：①×7，②×5，得35147,351580.mnmn③④③+④，得29n=87，n=3.把n=3代入①，得5

m+6=1，m=-1.所以原方程组的解为1,3.mn探究二三元一次方程组及其解法【例2-1】解方程组3472395978xzxyzxyz①②③【分析】方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与

方程①组成一个二元一次方程组．【解析】②×3＋③，得11x＋10z＝35．（4）与④组成方程组347111035xzxz①④解这个方程组，得52xz，把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2

＝9，∴13y．所以5132xyz【例2-2】解方程组34145217223xyzxyzxyz①②③【分析】三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z．【解析】①+③，

得5x+6y=17④②+③×2，得，5x+9y=23⑤④与⑤组成方程组56175923xzxy，解这个方程组，得12xy，把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴z=3∴123xyz归

纳总结：探究三二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解法【例3-1】解方程组2220(1)30(2)xyxy【解析】由(1)得：2yx(3)将(3)代入(2)得：22(2)30xx

，解得：1211xx或把1x代入(3)得：22y；把1x代入(3)得：22y．∴原方程组的解是：11111122xxyy或．归纳总结：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程

组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；(2)消x还

是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如210xy，可以消去x，变形得21xy，再代入消元．(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值

不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意．【练习3-1】解方程组22440,220.xyxy【解析】第二个方程可变形为x＝2y＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y2＋8y＝0，即y(y＋1)＝

0，解得y1＝0，y2＝－1．把y1＝0代入③,得x1＝2；把y2＝－1代入③,得x2＝0．所以原方程组的解是112,0xy，220,1.xy【例3-2】解方程组9(1)18(2)xyxy【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是

方程29180zz的两根，解方程得：3zz或6．∴原方程组的解是：11113663xxyy或．【练习3-2】解方程组712xyxy①②【解析】解法一：由①，得7.xy③把③代入

②，整理，得27120yy解这个方程，得123,4yy．把13y代入③，得14x；把24y代入③，得23x．所以原方程的解是114,3xy，223,4.xy解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系

，把,xy看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,xy．这个方程组的,xy是一元二次方程27120zz的两个根，解这个方程，得3z，或4z．所以原方程组的解是114,3;xy223,4.xy

【练习3-3】解下列方程组:（1）225,625;yxxy（2）3,10;xyxy（3）221,543;xyyx（4）2222,8.yxxy【答案】（1）1115,20,xy2220,15;xy（2）115,

2,xy222,5;xy（3）5,34.3xy（4）112,2,xy222,2.xy探究四二元二次方程组成的方程组的解法【例4-1】解方程组2212(1)4(2)xxyxyy【分

析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．【解析】(1)(2)3得：223()0xxyxyy，即22230(3)()0xxyyxyx

y，∴300xyxy或∴原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44xyxyxyyxyy．用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11xxyy

．归纳总结：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例4-2】解方程组2226(1)5(2)xyxy【分析】(1)(2

)2得：2()36(3)xy，(1)(2)2得：2()16(4)xy，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．【解析】(1)+(2)2得：222236()3666xyxyxyxyxy或，(1)-(2)2得：2

22216()1644xyxyxyxyxy或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551xxxxyyyy．归纳总结：对称型方程组，如22xyaxyb、22xyaxy

b都可以通过变形转化为xymxyn的形式，通过构造一元二次方程求解．【课后作业1】1.解下列三元一次方程组（1）15239540xyzxyzxyz（2）369abbcca（

3）34518268322xyzxyzxyz2．已知345xyz，且x+y+z=24，求x、y、z的值．3．代数式ax2+bx+c在x为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求：（1）a，b，c的值；

（2）当x=-4时，求代数的值．*4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0，求：234xyzxyz的值．*5．已知567xyyzzx且xyz≠0，求x：y：z．．*6．用100元恰好买了三种笔共100支，其

中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0.5元，试问三种笔各买了多少支？【参考答案1】1.(1)438xyz(2)306abc(3)842xyz2.x=6,y=8,z=103.a=-2,b

=1,c=-5;-414.815.::3:2:4xyz6..金笔5支铂金笔5支圆珠笔90支【课后作业2】A组1．解下列方程组：(1)26xyyx(2)22282xyxy(3)221235xyxxyy

(4)2203210xyxxy2．解下列方程组：(1)32xyxy(2)16xyxy3．解下列方程组：(1)2(23)01xxyx(2)(343)(

343)0325xyxyxy(3)22(2)()08xyxyxy(4)()(1)0()(1)0xyxyxyxy4．解下列方程组：(1)222

230xyxy(2)168xyxxyxB组1．解下列方程组：(1)2232320xyxyx(2)22231234330xyxxyyxy2．解下列方程组

：(1)32xyxy(2)24221xyxy3．解下列方程组：(1)2222384xyxxyy(2)224221xyxy4．解下列方程组：(1)2252xyxy(2)22410xyxy

5．解下列方程组:（1）225,625;yxxy（2）3,10;xyxy（3）221,543;xyyx（4）2222,8.yxxy【参考答案2】A

组1．212121121212810103204322(1),,(2),,(3),(4),322231010344xxxxxxxyyyyyyy2．12121212

1232(1),,(2),2123xxxxyyyy3．2112302(1),,154xxyy312123121271323113(2),,(3),,,332311314xxxxxyyyyy

23414414231120122,(4),,,2011022xxxxxyyyyy．4．(1)123

4123466662222,,,66662222xxxxyyyy．(2)43xy．B组1．1122122175154(1),,(2),41332xxxxyyyy

2．121212127312(1),,(2),372122xxxxyyyy3．12343412613613221313(1),,,222132131313xxxxyyyy

312412342002(2),,,2222xxxxyyyy4．312412341212(1),,,1221xxxxyyyy，12

1213(2),31xxyy5．（1）1115,20,xy2220,15;xy（2）115,2,xy222,5;xy（3）5,34.3xy

（4）112,2,xy222,2.xy【第9讲】分式方程与无理方程的解法【基础知识回顾】知识点1分式方程分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程知识点2无理方程根号下含

有未知数的方程，叫做无理方程．【合作探究】探究一分式方程的解法方法一、去分母化分式方程为一元二次方程【例1-1】解方程21421224xxxx．【分析】：去分母，转化为整式方程．【解析】：原方程可化为：14212(2)(2)2xxxxx方程两边各项都乘以24

x得，2(2)42(2)4xxxx即2364xx，整理得：2320xx，解得：1x或2x．检验：把1x代入24x，不等于0，所以1x是原方程的解；把2x代入24x，等于0，所以2x是增根．所以，原方程的解是1x．

归纳总结：(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④解一元二次方程；⑤验根．(2)验根的基本方法是代入原方

程进行检验．方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程【例1-2】解方程2223()4011xxxx【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设21xyx，即得到一个关于y的

一元二次方程．【解析】：设21xyx，则原方程可化为：2340yy解得4y或1y．(1)当4y时，241xx，去分母，得224(1)4402xxxxx；(2)当1y时，22215111012xxxxxxx

．检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，2x，152x都是原方程的解．归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想【练习1】解方

程22228(2)3(1)1112xxxxxx．【分析】：注意观察方程特点，可以看到分式2221xxx与2212xxx互为倒数．【解析】：设2221xxyx，则22112xyxx原方程可化为：

2338118113018yyyyyy或．(1)当1y时，22222112121xxxxxxx；(2)当38y时，2222223181633516303851xxxxxxxxxx或．检验

：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，原方程的解是12x，3x，15x．探究二无理方程的解法方法一、平方法解无理方程【例2-1】解方程71xx【解析】：移项得：71xx，两边平方得：2721xxx移项，合并

同类项得：260xx，解得：3x或2x检验：把3x代入原方程，左边右边，所以3x是增根．把2x代入原方程，左边=右边，所以2x是原方程的根．所以，原方程的解是2x．归纳总结：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保

留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．【练习2-1】解方程3233xx【分析】：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．【解析】：原方程可化为：3

233xx，两边平方得：329633xxx整理得：63142337xxxx，两边平方得：29(3)4914xxx，整理得：223220xx，解得：1x或22x．检验：把1x代入原方程，左边=右边，

所以1x是原方程的根．把22x代入原方程，左边右边，所以22x是增根．所以，原方程的解是1x．方法二、换元法解无理方程【例2-2】解方程223152512xxxx【分析】：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根

式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)xxxx．因此，可以设251xxy，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理．【解析】：设251xxy，则2222513153(1)xxyxxy原方程可化为：23(1)22yy，

即23250yy，解得：1y或53y．(1)当1y时，225115010xxxxxx或；(2)当53y时，因为2510xxy，所以方程无解．检验：把1,0xx

分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是1,0xx．归纳总结：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．【课后作业】A组1．解下列方程：(1)215(1)(2)(2)(3)xxxxxx(2)227211211235

xxxxxx(3)221124yy(4)2152124xx2．用换元法解方程：2244xx3．解下列方程：(1)2xx(2)57xx(3)32xx4．解下列方

程：(1)3141xx(2)2451xx5．用换元法解下列方程：(1)120xx(2)22336xxxxB组1．解下列方程：(1)2225412324xxxxx(2)22416124

xxxxxx(3)21117(21)(7)231xxxxxx(4)21240111xxxxxx2．用换元法解下列方程：(1)2524(1)1401(5)xxxxxx(2)222(1)6(1)711xxxx

(3)42222112xxxxx3．若1x是方程14xxaxa的解，试求a的值．4．解下列方程：(1)22324123xxxx(2)22236xxaxxaxaax5．解下列方程：(1)2213xx(2)61051

0xx(3)222432615xxxx【参考答案】A组1．(1)1,(2)1,21,(3)0,1,(4)3,5xxxyyxx2．2x3．53(1)1,(2)6,(3)2xxx4．(1)5x．(2)20x．5．(1

)9,(2)1,4xxxB组1．1(1)113,(2)3,(3)5,1,(4)3xxxxx2．317(1)1,2,3,4,(2)12,,(3)14xxxxxxx3．22

4．2321(1)0,2,,(2)22xxxxa5．(1)2,(2)26,(3)3,1xxxx【第10讲】一元一次不等式（组）的解法【基础知识回顾】知识点1一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组．如：230345xx

．知识点2一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分．(

2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：(3)求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．解一元一次不等式组的一般步骤为：①分别解不等式组中的每一个不等式；②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来

，找出它们的公共部分；③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).④用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空

心圆圈．【合作探究】探究一一元一次不等式组及其解法【例1-1】解不等式组6234211132xxxx①②，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】：先求不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，

求它们的公共部分即不等式组的解集．【解析】：解不等式①，得23x；解不等式②，得x＜1．所以不等式组的解集为213x在数轴上表示不等式①②的解集如图．归纳总结：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于

向左画．有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．【例1-2】解不等式：21153x【分析】：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集．【解析】；解法1：原不等

式可化为下面的不等式组21132153xx①②解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8．即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：21153x，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，

－1＜x≤8．所以原不等式的解集为－1＜x≤8归纳总结：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.探究二含参数的一元一次不等式组【例2】若不等式组3225xaxa

无解，求a的取值范围.【解析】：依题意：2a-5≥3a-2，解得a≤-3归纳总结：特别地，当2a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.【课后作业】1．解不等式组：523483xxxx①②【

答案】23x【解析】：解不等式①，得：3x，解不等式②，得：2x，在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：23x2．解不等式组：3402132534xxxx①②③，【分析】：在理解一元一次不等式组时要注意以

下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：43x，解不等式②，得：2x，解不等式③，得：1x，在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：41

3x解法二：解不等式②，得：2x解不等式③，得：1x由2x与1x得：1x再与43x求公共解集得：413x.3．解不等式组：1122433xxxx①②【解析】：解不等式①得：x＞－2，解不等式②得：x＜－7∴不等式组的

解集为无解4．求不等式组523(1)131722xxxx①②的整数解．【分析】：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式

组的解集内求出符合要求的整数解．【解析】：解不等式①，得52x；解不等式②，得x≤4．在数轴上表示不等式①②的解集(如图)所以不等式组的解集为542x．所以它的整数解为3,4．5．若不等式组121xmxm

无解，则m的取值范围是什么？【解析】：要使不等式组无解，故必须121mm，从而得2m.6．若关于x的不等式组41320xxxa的解集为2x，则a的取值范围是什么？【解析】：由4132xx

可解出2x，而由0xa可解出xa，而不等式组的解集为2x，故2a，即2a.7．不等式组1(21)130xxxk①②的解集为x＜2，试求k的取值范围.【解析】：由①得x＜2，由②得x＜

k，∵不等式组的解集为x＜2，∴2≤k．即k≥2.8．已知关于x的不等式组0521xmx的整数解共有5个，求m的取值范围．【解析】：∵不等式组0xm的解为:xm不等式组521x的解为:2x由于原不等

式组有解，∴解集为2mx在此解集内包含5个整数，则这5个整数依次是1,0,1,2,3∴m必须满足43m9．若不等式组220xabx①②的解集为－1＜x＜1，则2016()ab＝____________．【解析】：由①知x＞a＋2，由②知2bx，∵a＋2

＝－1，12b，∴a＝－3，b＝2，∴a＋b＝－1，∴20162016()(1)1ab．【第11讲】一元二次不等式的解法【基础知识回顾】知识点1一元二次不等式形如20(0)(0)axbxca或其中的不等式

称为关于x的一元二次不等式．知识点2“三个二次”之间的关系设00022acbxaxcbxax或相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式

的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx

有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤

如下：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,xx．那么“0”型的解为12xxxx或(俗称两根之外)；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24bacbaxbx

caxaa，结合完全平方式为非负数的性质求解．【合作探究】探究一因式分解后分类讨论解一元二次不等式【例1-1】解不等式260xx．【解析】：原不等式可以化为：(3)(2)0xx，于是：3020xx或3020xx33

3222xxxxxx或或所以，原不等式的解集是{|32}xxx或．归纳总结：当把一元二次不等式化为20(0)axbxc或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．【练习1-1】解下列不等式（1）

2320xx（2）2654xx（3）2320xx（4）2210xx【解析】：(1)不等式可化为(1)(2)0xx，∴不等式的解集是{|12}xx；(2)不等式可化为(21)(34)0xx，∴不等式的解集是41{|}32xx；(3)不等式可化为2230x

x，即(1)(3)0xx，∴不等式的解集是{|13}xx；（4）不等式可化为(21)(1)0xx∴不等式的解是112{|}xxx或．【例1-2】解下列不等式：(1)2120xx(

2)240xx【分析】：要先将不等式化为20(0)axbxc或的形式，通常使二次项系数为正数．【解析】：(1)原不等式可化为：2120xx，即(3)(4)0xx于是：3030

344040xxxxx或，所以原不等式的解是34x．(2)原不等式可化为：240xx，即240(4)0xxxx于是：00044040xxxxxx或或所以原不等式的解是04xx或．【练习1-2】解下列不等

式（1）24410xx；（2）2530xx．【解析】：(1)不等式可化为2(21)0x，∴不等式的解集是1{|}2xx；（2）2530xx的根为5132x，∴不等式的解集是5

13513{|}22xx；【例1-3】不等式221200xaxaa的解是_____________．【答案】：{|43}xaxa【练习1-3】若01a，则不等式10axxa的解是_________

____．【答案】：1{|}xaxa探究二利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式【例2-1】解下列不等式：(1)2280xx(2)2440xx(3)220xx（4）260xx

【解析】：(1)不等式可化为(2)(4)0xx∴不等式的解集是{|24}xx．(2)不等式可化为2(2)0x∴不等式的解集是{2}．(3)不等式可化为217()024x，所以无解．（4）不等式可化为(2)(3)0x

x∴不等式的解集是{|23}xxx或．归纳总结：若1x，2x是一元二次方程的两个根，且12xx，则有：（1）1212()()0xxxxxxx（2）121()()0xxxxxx或2xx【例2-2】已知不等式210axbx的解

为1123x，求a和b的值，并解不等式250bxxa．【解析】：依题意，12和13是方程210axbx的两根，方法1：由韦达定理，∴1123ba，11123a，解得6a，=1b．方法2：直接代入方程得，2211()()102211()()1033

abab，解得6a，=1b∴不等式250bxxa为2560xx，解得1x或6x．∴不等式250bxxa的解集为{|16}xxx或．【练习2-

1】设一元二次不等式210axbx的解为113x，则ab的值是（）A．6B．5C．6D．5【答案】：C探究三恒成立问题【例3】已知对于任意实数x，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范

围．【解析】：显然0k时，不合题意，于是：222000111(2)4010kkkkkkkk或．归纳总结：【练习3】已知对于任意实数x，226kxx恒为正数，求实数k的取值范围．【解析】：显然0k时，22626kxxx不恒为正数，不

合题意，于是：2016(2)460kkk．【课后作业】1．解下列不等式：（1）02732xx（2）0262xx（3）01442xx（4）0532xx2．不等式120xx的解是_____

_______．3．不等式2230xx的解是____________．4．不等式2560xx的解是_________________________．5．若代数式262xx的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是．6．已知不等式21680kxx的解是425xx

或，则k_________．7．已知不等式20xpxq的解集是32xx，则pq________．8．不等式20axbxc的解集为23x，则20axbxc的解是__

______．9．已知一元二次方程240xxk，求下列各条件下，实数k的取值范围．（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根10．解不等式（1）01692xx（2）21()10(0,)xaaaa

为实数11.解关于x的不等式：220()xxaa为实数．【参考答案】1．（1）123x；（2）1223xx或；（3）无解；（4）全体数2．12x3．3x或1x4．23x5．1223xx或6．47．58．

32x9．（1）04x（2）0x（3）34x10．（1）31xx（2）原不等式可变为：1()()0xaxa，（1）当1a或01a时，axax1；（2）当1a时，无解；（3）当10a或1a时，a

xax1．11.【解析】：原不等式对应的一元二次方程为：220xxa，44a，当1a时，440a，原不等式无解；当1a时，对应一元二次方程的两个解为：11xa，所以220xxa

的解为：1111axa综上所述，1a时，原不等式无解；当1a时，原不等式的解为：{|1111}xaxa．【第12讲】分式不等式和特殊的高次不等式的解法【合作探究】探究一简单分式不

等式的解法【例1-1】解不等式：073xx．【解析】：解法1：化为两个不等式组来解：∵073xx07030703xxxx或x∈φ或37x37x，∴原不等式的解集是37x|x．解法2：类似于一元二次不

等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．∵073xx070)

7)(3(xxx37x，∴原不等式的解集是37x|x.归纳总结：（1）0()()0axbaxbcxdcxd；0()()0axbaxbcxdcxd（2）()()000axbcxdaxbcxdcxd

；()()000axbcxdaxbcxdcxd【练习1-1】解下列不等式：(1)2301xx(2)2301xxx【解析】：（1）原不等式可化为：3(23)(1)012x

xx，所以原不等式的解集为3{|1}2xx．(2)∵22131()024xxx，原不等式可化为：303xx，所以原不等式的解集为{|3}xx．【例1-2】解不等式132x．【解析】：原不等式可化为：(

35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx或，所以原不等式的解集为5{|2}3xxx或．【练习1-2】解下列不等式

（1）51x（2）2132xx【解析】：（1）50(5)005xxxxx，所以原不等式的解集为{|05}xx．（2）21302xx70722xxx，所以原不等式的解集为{|72}xx．探究二

简单的高次不等式的解法【例2-1】解不等式：(1)(2)(3)0xxx；解法一（列表法）：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：2，1，3；③列表如下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式积-+-+④由上表可知，原不等式的解集为：{|213}x

xx或．归纳总结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为12()()()0(0)nxxxxxx形式（各项x的系数化为正数），令12()()()0nxxxxxx，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成

1n部分……；②按各根把实数分成的1n部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面各因式积的符号写出不等式的解集．解法二：（穿根法）①(1)(2)(3)0xxx的根是2，

1，3，在数轴上表示这三个数，②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点③若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.由图可知，原不等式的

解集为：{|213}xxx或．归纳总结：此法叫穿根法，解题步骤是：①将不等式化为12()()()0(0)nxxxxxx)形式，并将各因式x的系数化“+”；②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不

等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间．注意：奇穿偶不穿【例2-2】解不等式：23(2)(3)(1)0xxx【解析】：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：1，2，3（注意：2是二重根，

3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{|123}xxx或2.归纳总结：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.

由此看出，当左侧f(x)有相同因式1()nxx时，n为奇数时，曲线在1x点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在1x点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”．【练习2-1】解不等式：2(3)(1)(44)0xxxx【解析】：：①将原不等式

化为：2(3)(1)(2)0xxx；②求得相应方程的根为：2（二重），1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{|132}xxx或．归纳总结：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条

件，不能漏掉．【练习2-2】解不等式（1）32xx（2）22(712)(6)0xxxx（3）310(2)(3)xxx【解析】：（1）2230xxx(1)(3)0xxx

103xx或，所以原不等式的解集为{|103}xxx或．（2）(3)(2)(3)(4)0xxxx，所以原不等式的解集为{|3234}xxxx或或．（3）2(1)(1)0(2)(3)xxxxx(2)(1)(3)023xx

xxx且所以原不等式的解集为{|213}xxx或．【课后作业】1．解下列不等式：（1）2(2)(3)01xxx（2）2(2)(3)01xxx（3）2(2)(5)04xxx（4）23(

2)(3)01xxx（5）22(5)(3)0(1)(2)xxxx2．解下列不等式：(1)222310372xxxx（2）3113xx（3）2223712xxxx（4）1111xxxx

3．解下列不等式：2(12)()0xxxa【参考答案】1．（1）{|1223}xxx或（2）{|13}xx（3）{|245}xxx或（4）{|1223}xxx或（5）{|25}xx2．

（1）11{|12}23xxxx或或（2）(2,3)（3）{|5112}xxxx或或（4）{|101}xxx或3．解：(3)(4)()0xxxa44(3,4)(,)aaa

①当，即时，解集为；3443(3,)(4,)aaa②当，即时，解集为；33(,3)(4,)aaa③当，即时，解集为；44(3,)aa④当，即时，解集为；33(4,)

aa⑤当，即时，解集为．