【文档说明】新高一数学暑假衔接学习第6讲《一元二次方程根与系数的关系》（含答案）.docx，共(8)页，517.623 KB，由baby熊上传

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【第6讲】一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点1一元二次方程的根的判断式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa(1)当240bac时，右端是正

数，方程有两个不相等的实数根：242bbacxa(2)当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa(3)当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根

的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac知识点2一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：224

4,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa

韦达定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa【合作探究】探究一与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310xx(2)24912yy(3)25(3)6

0xx【解析】：(1)2(3)42110，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为：241290yy2(12)4490，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为：256150xx2(6)45152640

，∴原方程没有实数根．归纳总结：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【练习1-1】已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方

程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【解析】：2(2)43412kk(1)141203kk；(2)141203kk；(3)141203kk；(4)14120

3kk．【练习1-2】已知实数x、y满足22210xyxyxy，试求x、y的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：22(2)10xyxyy由于x是实数，所以上述方程有

实数根，因此：222[(2)]4(1)300yyyyy，代入原方程得：22101xxx．综上知：1,0xy探究二一元二次方程的根与系数的关系【例2-1】若12,xx是方程2220070x

x的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx(1)2222121

212()2(2)2(2007)4018xxxxxx(2)121212112220072007xxxxxx(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx

(4)22212121212||()()4(2)4(2007)4502xxxxxxxx归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx

，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．【练习2】若x1和x2分别是

一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13＋x23．【解析】：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴1252xx，1232xx．

（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝253()4()22＝254＋6＝494，∴|x1－x2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()211372243

9()9()24xxxxxxxxxxxx．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32)]＝－2158

．【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【解析】：法一设这两个数分别是x，y，则412xyxy1126xy或2262xy．因此，这两个数是－2和6．法二由韦达定理知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．

解方程得：x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．【例2-2】关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．【解析】：(1)∵方程两实根的积为5∴222121[(1)]4(1)

034,412154kkkkxxk所以，当4k时，方程两实根的积为5．(2)由12||xx得知：①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；②当10x时，12120101xxxxkk，由于3

02k，故1k不合题意，舍去．综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12||xx．探究三一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．【解析】：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝

a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜174．∴a的取值范围是a＜4．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。【解析】：解一：由解得：解二：设，则如图所示，只须，解得【练习3-1】已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于

2，求的取值范围。【解析】：如图，设则只须，解之得∴042axxa0)3)(3(021xx3a)(xfaxx420)3(f3a065)9(222aaxaxa65)9()

(222aaxaxxf0)2(0)0(ff38132aa382a【课后作业】1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．2kB．2,1kk且C．2kD．2,1kk且

2．若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为()A．2B．2C．12D．923．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm

的根，则m等于()A．3B．5C．53或D．53或4．若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()A．MB

．MC．MD．大小关系不能确定5．若实数ab，且,ab满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为()A．20B．2C．220或D．220或6．如果方程2()()(

)0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程22(1)30xkxk的两根之差为1，则k的值是_____．9．设12,x

x是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根，则p=_____，q=_____．10．已知实数,,abc满足26,9abcab，则a=_____，b=_____，c=_

____．11．对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．你是否同意他的看法？请你说明理由．12．已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm．(1)求证：不论为

任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,xx，且满足121112xx，求m的值．13．已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互

为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请你说明理由．14．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．【参考答案】1．B2．A3．A4．A5．A

6．2,acbbc且7．38．9或39．1,3pq10．3,3,0abc11．正确12．21(1)1650(2)2mm13．13(1)112kk且(2)不存在14．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(

m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题

意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．