【文档说明】人教A版高中数学选择性必修二《4.3.1等比数列的概念(第2课时)》教案.docx，共(7)页，677.134 KB，由baby熊上传

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4.3.1等比数列的概念(2)本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的概念数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密

切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。学生在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反

思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。课程目标学科素养A.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题．B．能够运用等比数列的性质解决有关问题．1.数学抽象：等比数列的性质2

.逻辑推理：类比等差数列性质推导等比数列性质3.数学运算：等比数列的运用4.数学建模：运用等比数列解决实际问题重点：运用等比数列解决简单的实际问题难点：等比数列的综合运用多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、温故知新二、典例解析例4.用10000元购买某个理财产品一年.（1）若

以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10−5）？分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期

的利息.所以若原始本金为𝑎元，每期的利率为𝑟，则从第一期开始，各期的本利和𝑎,𝑎(1+𝑟)，𝑎(1+𝑟)2…构成等比数列.解：（1）设这笔钱存𝑛个月以后的本利和组成一个数列*𝑎𝑛+，则*𝑎𝑛+是等比数列，首项𝑎

1=104(1+0.400%)，公比𝑞=1+0.400%，所以𝑎12=𝑎1𝑞11=104(1+0.400%)12≈10490.7.所以，12个月后的利息为10490.7−104≈491（元）.解：（2）设季度利率为𝑟，这笔钱存𝑛个季度以后的本利和组成一个数列*𝑏𝑛+，则*𝑏𝑛

+也是一个等比数列，首项𝑏1=104(1+𝑟)，公比为1+𝑟，于是𝑏4=104(1+𝑟)4.通过与等差数列进行对比，发展学生类比思维能力，加强记忆。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过运用等比数列模型，解决实际问

题。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。增强应用意识。因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为,104(1+𝑟)4−104-元.解不等式104(1+𝑟)4−104≥491，得𝑟≥1

.206%.所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．跟踪训练1.2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一

年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.(1)哪一年两林场木材的总存量相等？(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？解：(1)由题意可得16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2，故到2019年两林场木材的总存量相等．(2)

令n＝5，则a5＝16a544＋25a454<2(16a＋25a)，故到2021年不能翻一番．例5.已知数列*𝑎𝑛+的首项𝑎1=3.（1）若*𝑎𝑛+为等差数列，公差𝑑=2，证明数列*3𝑎𝑛+为等比数列；（2）若

*𝑎𝑛+为等比数列，公比𝑞=19，证明数列*log3an+为等差数列.分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。证明（1）：由𝑎1=3，𝑑=2，得*𝑎𝑛+的通

项公式为通过典型例题，加深对等差与等比数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。𝑎𝑛=3(19)𝑛−1=33−2𝑛𝑏𝑛=1−,90%+0.4%(𝑛−1)-=0.104−0.004𝑛,其中𝑛=1,2

,…,24,𝑎𝑛=2𝑛+1.设𝑏𝑛=3𝑎𝑛=32𝑛+1，则：𝑛𝑛=3(𝑛)3𝑛=9，又𝑏1=33=27,所以，*3𝑎𝑛+是以27为首项，9为公比的等比数列.证明（2）：由𝑎1=3,𝑞=19,得两边取以3为底的对数，得lo

g3𝑎𝑛=log333−2𝑛=3−2𝑛.所以log3𝑎𝑛+1−log3𝑎𝑛=,3−2(𝑛+1)-−(3−2𝑛)=−2.又log3𝑎1=log33=1，所以，*log3𝑎𝑛+是首项为1，公差为−2的等差数列.

1.若*𝑎𝑛+是等差数列，则数列*𝑏𝑎𝑛+是等比数列；2.若数列*𝑎𝑛+是各项均为正的等比数列，则数列*log𝑎𝑛+是等差数列例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率

为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起各

月的产量及合格率分别构成数列*𝑎𝑛+，*𝑏𝑛+,则各月不合格品的数量构成数列*𝑎𝑛𝑏𝑛+，由题意可知，数列*𝑎𝑛+是等比数列，数列*𝑏𝑛+是等差数列,由于数列*𝑎𝑛𝑏𝑛+既非等差数列又非等比

数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列*𝑎𝑛+，*𝑏𝑛+由题意，知𝑎𝑛=10501.05𝑛−1，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是𝑎𝑛𝑏𝑛=10501.0

5𝑛−1（0.104−0.004𝑛）由计算工具计算（精确到0.1），并列表通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1．（2021·江苏南通市高

二期末）在流行病学中，基本传染数0R是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数03R，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数

为（）注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染.A．5B．6C．7D．8【答案】B【详解】设经过第n轮传染，感染人数为na，经过第一轮感染后，1134a，经过第二轮感染后，244316a，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第n轮传染

，感染人数为4nna，当2000na时，解得6n，因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.2．（2021·北京高二期末）已知等比数列{}na的各项均为正数，且39a

，则3132333435logloglogloglogaaaaa.【答案】10【详解】解：因为等比数列{}na的各项均为正数，且39a所以3132333435logloglogloglogaaaaa55103123453333l

ogloglog9log310aaaaaa.3.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．分析：(1)由n＝1代入Sn

＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。0R0R0R0R

由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的

知识的方法。这解:(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，

即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正数,且ax=by=cz

,1𝑥,1𝑦,1𝑧成等差数列.求证:a,b,c成等比数列.证明:令ax=by=cz=m(m>0).则x=logam,于是1𝑥=logma,同理1𝑦=logmb,1𝑧=logmc,因为1𝑥,1𝑦,1𝑧

成等差数列,所以2𝑦=1𝑥+1𝑧,即2logmb=logma+logmc.因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.所以a,b,c成等比数列.四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。是“教师教给学生寻找水的方

法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。