【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：6.4.2《分层随机抽样的均值与方差》学案.docx，共(4)页，24.782 KB，由baby熊上传

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分层抽样的均值与方差【学习目标】理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法，会分析实际问题.【学习重难点】分层抽样的均值与方差.【学习过程】一、问题导学1．分层抽样的平均数如何计算？2．分层抽样的方差如何计算？二、合作探究分层抽

样的均值与方差：[典例]甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙生产的零件中分别抽取40件、60件，甲的平均尺寸为10，方差为20，乙的平均尺寸为12，方差为40.那么全部100件产品的平均尺寸和方差分别是多少？[

解]甲机床生产的零件的平均尺寸、方差分别为x甲＝10，s2甲＝20，乙机床生产的零件的平均尺寸、方差分别为x乙＝12，s2乙＝40，所以100件产品的平均尺寸x＝40x甲＋60x乙40＋60＝400＋72

0100＝11．2，所以100件产品的方差s2＝140＋60×40s2甲＋60s2乙＋40×6040＋60(10－12)2＝1100×[(40×20＋60×40)＋24×4]＝32.96．【规律方法】1．

求分层随机抽样的平均数的步骤（1）求样本中不同层的平均数；（2）应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．2．求分层随机抽样的方差的步骤（1）求样本中不同层的平均数；（2）求样本中不同层的方差；（3）应用分层随机抽样的方差公式进行求解.【跟踪训练】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60

kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？解：由题意可知x甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为11＋4＝15，x乙

＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为41＋4＝45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x＝15×60＋45×70＝68kg，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝11＋4(200＋)＋1×41＋4(60－

70)2＝296．【学习小结】分层抽样的数字特征（以分两层抽样的情况为例）：假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x－，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y－，方差为t

2．则x－＝1mi＝1mxi，s2＝1mi＝1m(xi－x－)2，y－＝1ni＝1nyi，t2＝1ni＝1n(yi－y－)2．.如果记样本均值为a－，样本方差为b2，则：a－＝1m＋n(i＝1mxi+i＝1nyi)＝mx－＋ny－m＋n

，b2＝m[s2＋（x－－a－）2]＋n[t2＋（y－－a－）2]m＋n＝1m＋n[(ms2＋nt2)＋mnm＋n(x－－y－)2]．【精炼反馈】在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，

其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？解：把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为x－，方差记为s2x；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为y－，方差记为s2y，把样本的平

均数记为a－，方差记为s2．则a－＝23×170.6＋27×160.623＋27＝165.2，s2＝23×[s2x＋（x－－a－）2]＋27×[s2y＋（y－－a－）2]23＋27＝23×[12.59＋（170.6－165.2）2]＋27×[38.6

2＋（160.6－165.2）2]50＝51.4862．即样本的方差为51.4862．因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.4862．