【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题3　函数与导数 第8练 含答案.doc，共(13)页，184.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第8练突难点——抽象函数与函数图象[题型分析·高考展望]抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图

象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.体验高考1.(2015·安徽)函数f(x)＝ax＋bx＋c2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0答案

C解析函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.令x＝0，得f(0)＝bc2，又由图象知f(0)>0，∴b>0.令f(x)＝0，得x＝－ba，结合图象知－ba>0，∴a<0.故选C.2.(2015·天津)已

知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，x－22，x＞2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.74，＋∞B.－∞，

74C.0，74D.74，2答案D解析由f(x)＝2－|x|，x≤2，x－22，x＞2，得f(2－x)＝2－|2－x|，x≥0，x2，x＜0.所以f(x)＋f(2

－x)＝2－|x|＋x2，x＜0，4－|x|－|2－x|，0≤x≤2，2－|2－x|＋x－22，x＞2，即f(x)＋f(2－x)＝x2＋x＋2，x＜0，2，0≤x≤2，x2－5x＋8，x

＞2.y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(2－x)－b，所以y＝f(x)－g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)＋f(2－x)－b＝0有4个不同的解，即函数y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个公共点，由

图象知74＜b＜2.3.(2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()答案D解析f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；当x>0时，f

(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈0，14时，f′(x)<14×4－e0＝0，因此f(x)在0，14上单调递减，排除C，故选D.4.(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|

)>f(－2)，则a的取值范围是________.答案12，32解析∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)>f(2)，∴

2|a－1|<2＝221，∴|a－1|<12，即－12<a－1<12，即12<a<32.5.(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lgx2＋1，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.答案022－3解

析f(f(－3))＝f(1)＝0.当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3＜0，当且仅当x＝2时，取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号.∴f(x)的最小值为

22－3.高考必会题型题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题例1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要条件B

.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件答案D解析①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.∵f(x)为[0，1]上的增函数，∴f(x)为[－1，0]上的减函数.又∵f(x)的周期为2，∴f

(x)为区间[－1＋4，0＋4]＝[3，4]上的减函数.②∵f(x)为[3，4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1，0]上的减函数.又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0，1]上的增函数.由①②知“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减

函数”的充要条件.点评抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法.也可由函数一般性质进行推理.变式训练1已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x

)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)＜－2.解(1)令x1＝x2＞0，代入f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞

x2，则x1x2＞1.∵当x＞1时，f(x)＜0.∴fx1x2＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.(3)由fx1x2＝f(x1)－f(x2)，得f(93

)＝f(9)－f(3).而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2，∴原不等式为f(|x|)＜f(9).∵函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴|x|＞9，∴x＜－9或x＞9.∴不等式的解集为{x|x＜－

9或x＞9}.题型二与抽象函数有关的综合性问题例2对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)＝

2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.解f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)＋f(－x)＝0有解.(1)当f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)时，方程f(x)＋f(－x)＝0即2a(x2－4)＝0.因为方程有解x＝±2，所以f(x)为“局部奇函数

”.(2)当f(x)＝2x＋m时，f(x)＋f(－x)＝0可化为2x＋2－x＋2m＝0，因为f(x)的定义域为[－1，1]，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]上有解.令t＝2x∈[12，2]，则－2m＝t＋1t.设g(t)＝t＋1t，t∈[12，2]，则g′(t)＝1－1t2，t∈[12

，2].当t∈12，1时，g′(t)＜0，故g(t)在(0，1)上为减函数；当t∈(1，2)时，g′(t)＞0，故g(t)在(1，2)上为增函数.所以函数g(t)＝t＋1t，t∈[12，2]的值域为[2，52]，由2≤－2m≤52，得－54≤m≤－1，故实数m的取值范围是[

－54，－1].点评(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质.(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致出错.要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，

而不是具体的某一个函数.因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.变式训练2定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝x，且f(1)＝1.现给出关于函数f(x)的下列

结论：(1)函数f(x)在1e，＋∞上单调递增；(2)函数f(x)的最小值为－1e2；(3)函数f(x)有且只有一个零点；(4)对于任意的x＞0，都有f(x)≤x2.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案D解析设g(x)＝f

xx，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′x－fxx2＝xx2＝1x，所以g(x)＝lnx＋c(c为常数)，所以f(x)＝xlnx＋cx.因为f(1)＝1，所以c＝1，所以f(x)＝xlnx＋x.对于(1)，因为f′(x)＝lnx

＋2，当x＞1e时，f′(x)＞ln1e＋2＝－1＋2＝1＞0，所以(1)正确.对于(2)，由f′(x)＞0，得x＞1e2；由f′(x)＜0，得0＜x＜1e2，所以f(x)＝xlnx＋x在(0，1e2]上单调递减，在[1e2，＋∞)上单调递增.

所以当x＝1e2时，函数f(x)取得最小值f(1e2)＝1e2ln1e2＋1e2＝－1e2，所以(2)正确.对于(3)，函数f(x)＝xlnx＋x的图象如图所示，所以(3)正确.对于(4)，f(x)－x2＝xlnx＋x－x2＝x(lnx＋1－x).令h(x)＝lnx＋1－x，x∈(0，＋∞)

，则h′(x)＝1x－1＝1－xx.令h′(x)＞0，得0＜x＜1；令h(x)＜0，得x＞1.从而h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)≤h(1)＝0，即lnx＋1－x≤0.又x＞0，所以f(x)－x2＝x(lnx＋1－x)≤0，即f(x)≤x

2.所以(4)正确.综上，正确结论的个数是4.题型三函数图象的应用与判断例3已知函数f(x)＝1lnx＋1－x，则y＝f(x)的图象大致为()答案B解析令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝－x1＋x，x＞－1.当g′(x)>0时，－1<x<0；当g′(x

)<0时，x>0.故g(x)<g(0)＝0，即x>0或－1<x<0时均有f(x)<0，排除A，C，D.点评(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点.(2)运用函数图象解

决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才

是正确的做法.变式训练3形如y＝b|x|－a(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”.若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.答案4解析由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝1|x|－

1＝1x－1x≥0，且x≠1，－1x＋1x＜0且x≠－1.在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点.高考题型精练1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x

)＝f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是()A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(sinα)<f(cosβ)C.f(cosα)<f(cosβ)

D.f(cosα)>f(cosβ)答案B解析因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(2－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)以2为周期.因为f(x)在[－3，－

2]上是减函数，所以f(x)在[－1，0]上也是减函数，故f(x)在[0，1]上是增函数.因为α，β是钝角三角形的两个锐角，所以α＋β<π2，α<π2－β，所以0<sinα<sinπ2－β＝cosβ<1，故f(sinα)<f(cosβ)，故选

B.2.定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且其导函数f′(x)满足f′x2－x＞0，则当2＜a＜4时，有()A.f(2a)＜f(log2a)＜f(2)B.f(log2a)＜f(2)＜f(2a)C.f(2a)＜f(2)＜f(log2a)D.f(log2a)＜f

(2a)＜f(2)答案A解析由函数f(x)对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.因为函数f(x)的导函数f′(x)满足f′x2－x＞0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，(－∞，2)上单调递增.因为2＜a＜4，所以1＜log2a＜2＜

4＜2a.又函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，所以f(2)＞f(log2a)＞f(2a)，故选A.3.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)

，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是()A.f2(x)与f4(x)B.f1(x)与f3(x)C.f1(x)与f4(x)D.f3(x)与f4(x)答案A解析f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，f2(x)＝log2(x＋2)，将f2(x)的图象

沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4.设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式fx1－fx2x1－x2＞0恒成立，则实数a的取值范围

是()A.(－∞，－3]B.[－3，0)C.(－∞，3]D.(0，3]答案C解析由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x－a|，∴当a≤0时，结论显然成立；当a＞0时，f(x

)＝x2－ax，x≥a，－x2＋ax，x＜a，∴f(x)在－∞，a2上单调递增，在a2，a上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，∴0＜a≤3.综上，实数a的取值范围是(－∞，3].5.在平面直角坐标系中，若两点P，Q

满足条件：(1)P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；(2)P，Q两点关于直线y＝x对称，则称点对{P，Q}是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”.(注：点对{P，Q}与{Q，P}看作同一对“和谐点对”)已知函数f(x)＝x2＋3x＋2x≤0，lo

g2xx＞0，则此函数的“和谐点对”有()A.0对B.1对C.2对D.3对答案C解析作出函数f(x)的图象，然后作出f(x)＝log2x(x＞0)关于直线y＝x对称的图象，与函数f(x)＝x2＋3x＋2(x≤0)的图象有2个不同交点，

所以函数的“和谐点对”有2对.6.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(1)对任意的x∈[0，1]，恒有f(x)≥0；(2)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f

(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立.则下列3个函数中不是M函数的个数是()①f(x)＝x2；②f(x)＝x2＋1；③f(x)＝2x－1.A.0B.1C.2D.3答案B解析在[0，1]上，3个函数都满足f(x)≥0.当x1

≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x21＋x22)＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(

x1＋x2)2＋1]－[(x21＋1)＋(x22＋1)]＝2x1x2－1＜0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(212x+x－1)－(21x－1＋22x－1)＝21x22

x－21x－22x＋1＝(21x－1)·(22x－1)≥0，满足.故选B.7.已知函数f(x)＝1x＋2－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________.答案(1，＋∞)解析函数f(x)有三个零点等价于方程1x＋2＝m|x|有且仅有三个

实根.∵1x＋2＝m|x|⇔1m＝|x|·(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示.由图象可知m应满足：0＜1m＜1，故m＞1.8.设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1，

0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________.答案(－∞，0]∪(1，2]解析y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则

f(x)的大致图象如图所示.不等式(x－1)f(x)≤0可化为x＞1，fx≤0或x＜1，fx≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2].9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x

∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.答案①②解析在f(x＋1)＝f(

x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2

，3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.10.已知函数y＝f(x)(x∈R)为奇函

数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x).当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)，给出以下4个结论：①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；②函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数；③当x∈(－1，0)时，f

(x)＝－log2(1－x)；④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增，则正确结论的序号是__________.答案①②③解析因为f(1＋x)＝－f(1－x)，y＝f(x)(x∈R)为奇函数，所以f(1＋x)＝f(x－1)，则f(2＋x)＝f(x

)，所以y＝f(x)(x∈R)是以2为周期的周期函数，②正确；所以f(2k＋x)＝f(x)，f(x－k)＝f(x＋k)＝－f(k－x)，所以f(x＋k)＝－f(k－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称，

①正确；由①知，函数f(x)的图象关于点(2，0)成中心对称，即f(x＋2)＝－f(2－x).又因为当x∈(－1，0)时，2－x∈(2，3)，所以f(x)＝f(x＋2)＝－f(2－x)＝－log2(2－x－1)＝－log2(1－x)，③正确；函数y＝f(|x|)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单

调性相反，所以④不正确.11.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.解f(x)＝x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x－22＋1，x∈1，

3，作出函数图象如图.(1)函数的增区间为(1，2)，(3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1)，(2，3).(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图).由图知0＜m＜1，∴M＝{m|0＜m

＜1}.12.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1

)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数.证明：令x1＝x2＝

－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在D上为偶函数.(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由

(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16).又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}.