【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题3　函数与导数 第10练 含答案.doc，共(11)页，165.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第10练重应用——函数的实际应用[题型分析·高考展望]函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及

的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.体验高考1.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(

x)，则y＝f(x)的图象大致为()答案B解析由已知得，当点P沿着边BC运动，即0≤x≤π4时，PA＋PB＝4＋tan2x＋tanx；当点P在CD边上运动时，即π4≤x≤3π4时，PA＋PB＝1－1tanx2＋1＋1＋1tanx2＋1，当x＝π2时，PA＋

PB＝22；当点P在AD边上运动时，即3π4≤x≤π时，PA＋PB＝tan2x＋4－tanx.从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x＝π2对称，且f(π4)＞f(π2)，且轨迹非线型，故选B.2.(

2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718„为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.

答案24解析由题意得eb＝192，e22k＋b＝48，∴e22k＝48192＝14，∴e11k＝12，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝123·eb＝18×192＝24.3.(2015·上海)如图，A，B，C三地有直道

相通，AB＝5千米，AC＝3千米，BC＝4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米).甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t＝t1时乙到达C地.(1)求t1与f(t1)的值；(

2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由.解(1)t1＝38.记乙到C时甲所在地为D，则AD＝158千米.在△ACD中，CD2＝AC2＋A

D2－2AC·ADcosA，所以f(t1)＝CD＝3841(千米).(2)甲到达B用时1小时；乙到达C用时38小时，从A到B总用时78小时.当t1＝38≤t≤78时，f(t)＝7－8t2＋5－5t2－27－8t5－5t·4

5＝25t2－42t＋18；当78≤t≤1时，f(t)＝5－5t，所以f(t)＝25t2－42t＋18，38≤t≤78，5－5t，78＜t≤1.因为f(t)在38，78上的最大值是f38＝3418，f(t)在

78，1上的最大值是f78＝58，所以f(t)在38，1上的最大值是3418，不超过3.4.(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1

，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数

)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40

)，(20，2.5).将其分别代入y＝ax2＋b，得a25＋b＝40，a400＋b＝2.5，解得a＝1000，b＝0.(2)①由(1)知，y＝1000x2(5≤x≤20)，则点P的坐标为t，1000t2，设在点P处的

切线l分别交x，y轴于A，B点，y′＝－2000x3，则l的方程为y－1000t2＝－2000t3(x－t)，由此得A3t2，0，B0，3000t2.故f(t)＝3t22＋3000t22＝32t2＋4×106t4

，t∈[5，20].②设g(t)＝t2＋4×106t4，则g′(t)＝2t－16×106t5.令g′(t)＝0，解得t＝102.当t∈(5，102)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(102，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数.从而当t＝102时，函数g(t)有极小值

，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝153.答当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.高考必会题型题型一基本函数模型的应用例1某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元

之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)(元)成反比.又当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用

电量×(实际电价－成本价)]解(1)∵y与(x－0.4)成反比，∴设y＝kx－0.4(k≠0).把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k＝0.2.∴y＝0.2x－0.4＝15x

－2，即y与x之间的函数关系式为y＝15x－2.(2)根据题意，得(1＋15x－2)·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6.经检验x

1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根.∵x的取值范围是0.55～0.75，故x＝0.5不符合题意，应舍去.∴x＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.点评解决实际应用问题的关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，

一般程序如下：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.变式训练1(1)(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：

“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价已按原价a扣去20%，他希

望对货物定一新价，以便每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.答案(1)B(2)y＝a3x(x∈N*)解析(1)由表知，汽车行驶路程为35600－35000＝600千米，耗油

量为48升，∴每100千米耗油量8升.(2)设每台新价为b，则售价b(1－25%)，让利b×25%，由于原价为a，则进价为a(1－20%)，根据题意，得每件家电利润为b×(1－25%)×20%＝b×(1－25%)－a(1－20%)，化简得b

＝43a.∴y＝b×25%·x＝43a×25%×x＝a3x(x∈N*)，即y＝a3x(x∈N*).题型二分段函数模型的应用例2已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公

司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝400－6x，0<x≤40，7400x－40000x2，x>40.(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在

该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.解(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40000x－16x＋7360.所以W＝

－6x2＋384x－40，0<x≤40，－40000x－16x＋7360，x>40.(2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；②当x>40时，W＝－40000x－16x＋7360，由于40000x＋16x≥240000x×16

x＝1600，当且仅当40000x＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以此时W有最大值5760.因为6104＞5760，所以当x＝32时，W取得最大值6104万元.点评函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题

，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起

步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.答案9解析设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝

9，0<x≤3，8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，由y＝22.6，解得x＝9.高考题型精练1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了

n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案B解析设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价

格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损.2.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总

值都控制在平均每年增长9%的水平，那么达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543)()A.2015年B.2011年C.2016年D.2008年答案B解析设199

5年生产总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg2lg1.09≈16.3.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()答案A解析前3年年产量的增

长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.4.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司

在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元答案C解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0

.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－212)2＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.5.一个人以6米/秒

的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝12t2米，那么此人()A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但期间最近距离为14米

D.不能追上汽车，但期间最近距离为7米答案D解析s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.6.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个

角，则矩形的最大面积是________cm2.答案600解析设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm，则40－x40＝y60，解得y＝60－32x.矩形的面积S＝xy＝x60－32x

＝－32(x－20)2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.7.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利

润最大，最大值是________万元.答案58解析由题意知每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x＞0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元.8.一个

人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.那么一个喝了

少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)答案5解析设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3＝lg0.3lg0.75≈4.2，∴至少经过5个小时才能开车.9.商家通常依据“乐观系数准则

”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比

中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于________.答案5－12解析依题意得x＝c－ab－a，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，∵b－c＝(b－a)－(c－a)，∴(c－a)2＝(b－a)2－(b－a)(c－a

)，两边同除以(b－a)2，得x2＋x－1＝0，解得x＝－1±52.∵0<x<1，∴x＝5－12.10.某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？(2)为了扩大

该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入12(x2＋x)万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用.试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与

总投入之和？解(1)设商品的销售价格提高a元，则(10－a)(5＋a)≥50，即0≤a≤5，所以商品的价格最多可以提高5元.(2)由题意知改革后的销售收入为mx万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和，只需要满足mx＝12(x2＋x)＋x4＋

50(x＞5)，即m＝12x＋34＋50x≥212x·50x＋34＝434，当且仅当x＝10时等号成立.故销售量至少应达到434万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.11.某单位拟建一个

扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，

直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解(1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以

θ＝10＋2x10＋x(0＜x＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花坛的面积

与装饰总费用的比y＝－x2＋5x＋50170＋10x＝－x2－5x－501017＋x，令t＝17＋x，则y＝3910－110t＋324t≤310，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝1211.综上

，当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.12.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利

润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支

2000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①由销量图易得Q＝－2P＋5014≤

P≤20，－32P＋4020<P≤26，代入①式得L＝－2P＋50P－14×100－560014≤P≤20，－32P＋40P－14×100－560020<P≤26＝－200

P2＋7800P－7560014≤P≤20，－150P2＋6100P－6160020＜P≤26.(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；当20<P≤26时，Lmax＝12503元，此时P＝613元.故当P＝

19.5元时，月利润余额最大，为450元.(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫.