【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题3　函数与导数 第9练 含答案.doc，共(11)页，153.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第9练顾全局——函数零点与方程的根[题型分析·高考展望]函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.体验高考1.(2015·天

津)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，x－22，x＞2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案A解析当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；当0≤x≤2时，g(x

)＝3－x，f(x)＝2－x；当x<0时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.由于函数y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数.当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝5＋52或x＝5－52(舍去)；当0≤x≤2

时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝－1－52或x＝－1＋52(舍去).所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.2.已知函数f(x)＝(14)x－cosx，则f(x)在[0，

2π]上的零点个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析f(x)在[0，2π]上的零点个数就是函数y＝(14)x和y＝cosx的图象在[0，2π]上的交点个数，而函数y＝(14)x和y＝cosx的图象在[0，2π]上的交点有3个.3.(2016·

上海)设a∈R，b∈[0，2π].若对任意实数x都有sin(3x－π3)＝sin(ax＋b)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()A.1B.2C.3D.4答案B解析∵对于任意实数x都有sin(3x－π3)＝sin(ax＋b)，则函数的周期相同，若a＝3，此时sin(3x－π3)＝s

in(3x＋b)，则b＝－π3＋2π＝5π3；若a＝－3，则方程等价为sin(3x－π3)＝sin(－3x＋b)＝－sin(3x－b)＝sin(3x－b＋π)，则－π3＝－b＋π，∴b＝4π3.综上，满足条件的有序实数对(a，b)为3，5π3，－3

，4π3.4.(2015·江苏)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝0，0＜x≤1，|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.答案4解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝－lnx，0＜x≤1，－x2＋l

nx＋2，1＜x＜2，x2＋lnx－6，x≥2，当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋1x＝1－2x2x＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.高考必会题型题型一零点个数与零点区间问题例1(

1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A.{1，3}B.{－3，－1，1，3}C.{2－7，1，3}D.{－2－

7，1，3}(2)(2015·北京)设函数f(x)＝2x－a，x＜1，4x－ax－2a，x≥1.①若a＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.答案(1)D(2)①－1②12，1∪[2，＋∞)解析(

1)令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3，令g(x

)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3；当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7>0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有3个零点，其集合为{－2－7，1

，3}.(2)①当a＝1时，f(x)＝2x－1，x<1，4x－1x－2，x≥1.当x<1时，f(x)＝2x－1∈(－1，1)，当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4x－322－14≥－1，∴f(

x)min＝－1.②由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；当a≤0时，f(x)＝4

(x－a)(x－2a)，x≥1时，无零点.因此a≥2满足题意.当f(x)＝2x－a，x<1有1个零点时，0<a<2.f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1有1个零点，此时a<1，2a≥1，因此12≤a<1.综上知实数a的取值范围是

a|12≤a<1或a≥2.点评确定函数零点的常用方法(1)当方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函

数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f

(x)－g(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f(x)＝x－[x]＝…x＋1，－1≤x<0，x，0≤x<1，x－1，1≤x<

2，…与函数g(x)＝log4(x－1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是2.题型二由函数零点求参数范围问题例2若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.解方法一(换元法)设t＝2x

(t＞0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根.令f(t)＝t2＋at＋a＋1.①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则Δ＝a2－4a＋1≥0，t1＋t2＝－

a＞0，t1·t2＝a＋1＞0，解得－1＜a≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1＜0，解得a＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－a2＞0，解得a＝－1.综上，a的取值范围是(－∞，2－22].方法

二(分离变量法)由方程，解得a＝－22x＋12x＋1，设t＝2x(t＞0)，则a＝－t2＋1t＋1＝－t＋2t＋1－1＝2－t＋1＋2t＋1，其中t＋1＞1，由基本不等式，得(t＋1)＋2t＋1≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－22.点评利用

函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2已知函数f(x)＝ax－1，x≤0，lgx，x＞0，若关于x的方

程f[f(x)]＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为________.答案(－1，0)∪(0，＋∞)解析依题意，得a≠0，令f(x)＝0，得lgx＝0，即x＝1.由f[f(x)]＝0，得f(x)＝1.当x＞0时，函数y＝lgx的图象与直线y＝1有且只有一个交点，则当x≤0时，函

数y＝ax－1的图象与直线y＝1没有交点.若a＞0，结论成立；若a＜0，则函数y＝ax－1的图象与y轴交点的纵坐标－a＜1，得－1＜a＜0，则实数a的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞).高考题型精练1.若偶函

数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝(110)x在[0，103]上的根的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以f(－x)＝x2，因为f(x)为偶函数

，所以f(x)＝x2.又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝f((x＋1)－1)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数.据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝110x在[0，103]上的图象如图所示，数形结

合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝110x在[0，103]上有3个根，故选C.2.函数f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为()A.4B.5C.6D.7答案B解析∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如

图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.3.已知函数f(x)＝1，x≤0，1x，x＞0，则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是()A.(1，2)B.(－∞

，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞)答案D解析当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋1x＝m，解得m≥2.即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.4.定义域

为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2，3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点，则a的取值范围是()A.0，22B.

0，33C.0，55D.55，33答案D解析因为f(x＋2)＝f(x)－f(1)，所以f(1)＝f(－1)－f(1)，又因为f(x)是偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)是以2为周期的

偶函数.函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点可化为函数y＝f(x)与y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上有三个不同的交点.作函数y＝f(x)与y＝loga(x＋1)的图象如下图.结合函数图象知，

loga2＋1＞－2，loga4＋1＜－2，解得55＜a＜33，故选D.5.已知x1，x2是函数f(x)＝e－x－|lnx|的两个零点，则()A.1e<x1x2<1B.1<x1x2<eC.1<x1x

2<10D.e<x1x2<10答案A解析在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象如图.结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0，1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x1，x2中，其中一个属于区间(0，1)，另一个属于区间(1，

＋∞).不妨设x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)，则有e1-x＝|lnx1|＝－lnx1∈(e－1，1)，e2-x＝|lnx2|＝lnx2∈(0，e－1)，e2-x－e1-x＝lnx2＋lnx1＝lnx1x2∈(－1，0)，于

是有e－1<x1x2<e0，即1e<x1x2<1.6.已知函数f(x)＝ex＋a，x≤0，2x－1，x＞0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)答案D解析当x＞0时，f(

x)＝2x－1.令f(x)＝0，解得x＝12；当x≤0时，f(x)＝ex＋a，此时函数f(x)＝ex＋a在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程ex＝－a在(－∞，0]上有且仅有一个实根，而函数y＝ex在(－∞，0]上的值域为(0，1]，所以0＜－a≤1，解得－1≤a＜0.故选D.7.

已知函数f(x)＝2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________.答案(0，1)解析画出f(x)＝2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0的图象，如图，由于函

数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1).8.已知函数f(x)＝12x＋34，x≥2，log2x，0<x<2，若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零

点，则实数k的取值范围是__________.答案34，1解析画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈34，1.9.(2

015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.答案(0，2)解析由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数

f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.10.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝[x]x－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是________.答案34，45∪43，32解析当0<x<1时，f(

x)＝[x]x－a＝－a，当1≤x<2时，f(x)＝[x]x－a＝1x－a，当2≤x<3时，f(x)＝[x]x－a＝2x－a，….f(x)＝[x]x－a的图象是把y＝[x]x的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝[x]x的图象，通过数形结合可知a∈34，45.当

x＜0时，同理可得a∈43，32.综上，a∈34，45∪43，32.11.设函数f(x)＝1－1x(x＞0).(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求1a＋1b的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不

相等的正根，求m的取值范围.解(1)如图所示.(2)∵f(x)＝1－1x＝1x－1，x∈0，1]，1－1x，x∈1，＋∞，故f(x)在(0，1)上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数.由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且1a－

1＝1－1b，∴1a＋1b＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根.12.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在

零点，求实数a的取值范围.解(1)函数的定义域为R，f′(x)＝ex＋a，由函数f(x)在x＝0处取得极值，则f′(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，即有f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1.当x＜0时，有f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞

0时，有f′(x)＞0，f(x)单调递增.则在x＝0处f(x)取得极小值，也为最小值，值为2.又f(－2)＝e－2＋3，f(1)＝e，f(－2)＞f(1)，即有最大值e－2＋3.(2)函数f(x)不存在零点，即为e

x＋ax－a＝0无实数解.当x＝1时，e＋0＝0显然不成立，即有a∈R且a≠0.若x≠1，即有－a＝exx－1.令g(x)＝exx－1，则g′(x)＝exx－2x－12，当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＜1或1＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减.即在x＝

2处g(x)取得极小值e2，当x＜1时，g(x)＜0，则有0＜－a＜e2，解得－e2＜a＜0，则实数a的取值范围为(－e2，0).