【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题3　函数与导数 第16练 含答案.doc，共(9)页，171.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第16练定积分问题[题型分析·高考展望]定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.体验高考1.(2

015·湖南)02(x－1)dx＝________.答案0解析02(x－1)dx＝12x2－x20＝12×22－2＝0.2.(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致

水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.答案1.2解析由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为y＝

ax2，将点(5，2)代入抛物线方程得a＝225，故抛物线方程为y＝225x2，抛物线的横截面面积为S1＝2052－225x2dx＝22x－275x350＝403(m2)，而

原梯形下底为10－2tan45°×2＝6(m)，故原梯形面积为S2＝12(10＋6)×2＝16(m2)，S2S1＝16403＝1.2.3.(2015·天津)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________.答案16解析曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图

，由y＝x2，y＝x，得A(1，1)，面积S＝01xdx－01x2dx＝12x210－13x310＝12－13＝16.4.(2015·福建)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标

为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.答案512解析由题意知，阴影部分的面积S＝12(4－x2)dx＝(4x－13x3)21＝5

3，∴所求概率P＝SS矩形ABCD＝531×4＝512.高考必会题型题型一定积分的计算例1(1)－π2π2(sinx＋cosx)dx的值为()A.0B.π4C.2D.4(2)若f(x)＝x3＋sinx，－1≤x

≤1，2，1＜x≤2.则－12f(x)dx等于()A.0B.1C.2D.3答案(1)C(2)C解析(1)原式＝(－cosx＋sinx)π2－π2＝1－(－1)＝2，故选C.(2)－12f(x)dx＝－11(x3＋sinx)dx＋122dx＝(14x4－cosx

)1－1＋(2x)21＝0＋2＝2.点评(1)计算定积分，要先将被积函数化简，然后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1(1)已知复数z＝a＋(a－2)

i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则0a()4－x2＋xdx的值为()A.2＋πB.2＋π2C.4＋2πD.4＋4π(2)03|x2－4|dx等于()A.213B.223C.233D.253答案(1)A(2)C

解析(1)因为z＝a＋(a－2)i(a∈R)为实数，所以a＝2，0a(4－x2＋x)dx＝024－x2dx＋12x220，由定积分的几何意义知，024－x2dx的值为以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，即是π，所以024－x2d

x＋12x220的值为2＋π，故选A.(2)画出函数图象如图所示，可知03|x2－4|dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx＝8－83＋(9－12－83＋8)＝233.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2(1)由曲线y＝x2与y＝x的边界所围成区

域的面积为()A.13B.23C.1D.16(2)y＝12ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B.4e2C.2e2D.e2(3)由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A.1B

.π4C.223D.22－2答案(1)A(2)D(3)D解析(1)由题意可知，曲线y＝x2与y＝x的边界所围成区域的面积S＝01(x－x2)dx＝(23x32－13x3)10＝23－13＝1

3.(2)因为y′＝1212ex，所以y′|x＝4＝12e2，所以在点(4，e2)处的切线方程是y－e2＝12e2(x－4)，当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝2，所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是S＝12×|－e2|×2＝e2，故选D.(3

)方法一由sinx＝cosx(x∈(0，π2))，得x＝π4.故所求阴影部分的面积S＝0π4(cosx－sinx)dx＋π4π2(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)π40＋(－cosx－sinx)π2π4＝sinπ4＋cosπ4－sin0－cos0＋[(－

cosπ2－sinπ2)－(－cosπ4－sinπ4)]＝22－2.故选D.方法二由sinx＝cosx(x∈(0，π2))，得x＝π4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S＝20π4(cosx－sinx)dx＝2(sinx＋cosx)π40＝2(sinπ4＋cosπ4－si

n0－cos0)＝22－2.点评求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.变式

训练2如图所示，由函数f(x)＝sinx与函数g(x)＝cosx在区间0，3π2上的图象所围成的封闭图形的面积为()A.32－1B.42－2C.2D.22答案B解析f(x)＝sinx和g(x)＝cosx在0，3π2上的交点坐标为π4，22，

5π4，－22，两函数图象所围成的封闭图形的面积为S＝0π4(cosx－sinx)dx＋π45π4(sinx－cosx)dx＋5π43π2(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)π40－(sin

x＋cosx)5π4π4＋(sinx＋cosx)3π25π4＝42－2.故选B.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为()A.gt203B.gt20C.gt202D.gt206答案C解析由题意，可知所走路程为0t0vdt＝

0t0gtdt＝12gt2t00＝12gt20.2.定积分01(ex＋2x)dx的值为()A.1B.e－1C.eD.e＋1答案C解析01(ex＋2x)dx＝01exdx＋012xdx＝ex10＋x210＝e，故选C.3.若

0π2(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于()A.－1B.1C.－3D.3答案A解析0π2(sinx－acosx)dx＝－cosx－asinxπ20＝－a＋1＝2，a＝－1.4.已知等差数列{an}的

前n项和为Sn，且S10＝03(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为()A.15B.20C.25D.30答案A解析由已知得S10＝03(1＋2x)dx＝12，根据等差数列性质可得S10＝12，S20－S10＝5，S30－S20＝S30－17亦成

等差数列，故有12＋S30－17＝10⇒S30＝15.5.由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.4B.6C.103D.163答案D解析因为y＝xy＝x－2⇒x＝4，根据定积分的几

何意义可得，04(x－x＋2)dx＝(23x32－12x2＋2x)40＝163，故选D.6.设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈[1，e](其中e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为()A.43B.5

4C.65D.76答案A解析根据定积分的运算法则，由题意，可知0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x310＋lnxe1＝13＋1＝43.7.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sinx，x∈(0，π)及直线x＝a，a∈(0，π)与x轴围成

.向矩形OABC内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为14，则a的值是()A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6答案B解析由题意可得，是与面积有关的几何概型，构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为a×6a＝6.记“向矩形OACB内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域

即为阴影部分，面积为0asinxdx＝－cosxa0＝1－cosa，由几何概型的计算公式可得P(A)＝14＝1－cosa6，cosa＝－12，又∵a∈(0，π)，∴a＝2π3，故选B.8.已知02

(3x2＋k)dx＝16，则k等于()A.1B.2C.3D.4答案D解析02(3x2＋k)dx＝(x3＋kx)20＝8＋2k＝16，所以k＝4.故选D.9.定积分01(2＋1－x2)dx＝________.答案

π4＋2解析01(2＋1－x2)dx＝012dx＋011＋x2dx＝2x10＋011＋x2dx＝2＋011＋x2dx，令y＝1＋x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，点(x，y)的轨迹表示半圆.011＋x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故

011＋x2dx＝14×π×12＝π4，∴01(2＋1－x2)dx＝π4＋2.10.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分

)的面积为112，则a的值为________.答案－1解析由曲线在原点处与x轴相切，可得f′(0)＝0＝b，此时f(x)＝－x3＋ax2＝x2(a－x)，据定积分知，阴影部分面积为－a0(－x3＋ax2)dx＝112，解得a＝－1.11.已知a＞0，(ax

－x)6的展开式的常数项为15，则－aa(x2＋x＋4－x2)dx＝______.答案2＋2π3＋3解析根据二项展开式的通项公式可知，Tk＋1＝Ck6(－1)ka6－k1(6)2kkx－－＝Ck6(－1)ka6－k332kx－，∴令k＝

2，∴C26(－1)2a4＝15⇒a＝1(a＞0)，∴－aa(x2＋x＋4－x2)dx＝－11x2dx＋－11xdx＋－114－x2dx.作出－114－x2dx表示的图象如图，根据

定积分的几何意义及定义，从而可知－11x2dx＋－11xdx＋－114－x2dx＝23＋0＋12·1·3·2＋16π·4＝2＋2π3＋3.12.计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积.解由y＝x＋3，y＝x2－

2x＋3，解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230＝92.