【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题3　函数与导数 第11练 含答案.doc，共(13)页，136.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第11练研创新——以函数为背景的创新题型[题型分析·高考展望]在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现.主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题.这种题难度一般为中档，多出现在选择题、填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高.通过研究命题特点及应对策略

，可以做到有备无患.体验高考1.(2015·湖北)已知符号函数sgnx＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0.f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则()A.sgn[g(x)]＝sgnxB.sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]C.sgn[g(x)]＝

－sgnxD.sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]答案C解析因为f(x)是R上的增函数，令f(x)＝x，所以g(x)＝(1－a)x，因为a＞1，所以g(x)是在R上的减函数.由符号函数sgnx＝1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0知，sgn[g(x)]＝

－1，x＞0，0，x＝0，1，x＜0.所以sgn[g(x)]＝－sgnx.2.(2016·山东)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y＝sinxB.y＝lnxC.y＝exD.y＝x

3答案A解析对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝1x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求

导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.3.(2015·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝fx1－fx2x1－x2，n＝gx

1－gx2x1－x2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中的真命题有__

______(写出所有真命题的序号).答案①④解析设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2)).对于①，从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故①正确；对于②，直线CD的斜率可为负，即n＜0，故②不正确；对于③

，由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a.由h′(x)＝0，得2x·ln2＝2x＋a，(*

)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n，故③不正确；对于④，由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g

(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln2＋2x＋a.由F′(x)＝0，得2xln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2，使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n，故④正确.故①④正确.4.(2015·

福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2„xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，„，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2„x7的码元满足如下校验方程组：x4x5x6x7＝0，x2

x3x6x7＝0，x1x3x5x7＝0，其中运算定义为00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.答案5解析(1)x4x5x6x7＝1101＝1，(2)x2x3x6

x7＝1001＝0；(3)x1x3x5x7＝1011＝1.由(1)(3)知x5，x7有一个错误，(2)中没有错误，∴x5错误，故k等于5.5.(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′yx2＋y2，－xx2＋y2；

当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y

轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).答案②③解析①设A的坐标为(x，y)，则其“伴随点”为A′yx2＋y2，－xx2＋y2，A′的“伴随点”横坐标为－xx2＋y2yx2＋y22＋－xx2＋y2

2＝－x，同理可得纵坐标为－y，故A″(－x，－y)，①错误；②设单位圆上的点P的坐标为(cosθ，sinθ)，则P的“伴随点”的坐标为P′(sinθ，－cosθ)，则有sin2θ＋(－cosθ)2＝1，所以

P′也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，②正确；③设曲线C上点A的坐标为(x，y)，其关于x轴的对称点A1(x，－y)也在曲线C上，所以点A的“伴随点”A′yx2＋y2，－xx2＋y2，点A1的“伴随点”A1′－yx2＋

y2，－xx2＋y2，A′与A1′关于y轴对称，③正确；④反例：例如y＝1这条直线，则A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)，这三个点的“伴随点”分别是A′(1，0)，B′12，－12，C′15，－25，而

这三个点不在同一直线上，下面给出严格证明：设点P(x，y)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，P点的“伴随点”为P′(x0，y0)，则x0＝yx2＋y2，y0＝－xx2＋y2，解得x＝－y0x20＋y20，y＝x

0x20＋y20.代入直线方程可知，A－y0x20＋y20＋Bx0x20＋y20＋C＝0，化简得－Ay0＋Bx0＋C(x20＋y20)＝0.当C＝0时，C(x20＋y20)是一个常数，点P′的轨迹是一条直线；当C≠0时，C(x20＋y20)不是一个常数，点P′的轨迹不是一条直

线.所以，一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错误.综上，真命题是②③.高考必会题型题型一与新定义有关的创新题型例1已知函数y＝f(x)(x∈R).对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点

(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称.若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________.答案(210，＋∞

)解析由已知得hx＋4－x22＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－4－x2.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－4－x2>4－x2，3x＋b>4－x2恒成立.在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y

＝4－x2(如图所示)，可得b10>2，即b>210，故答案为(210，＋∞).点评解答这类题目关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法.变式训练1若函数y＝f(x)在定义域内给定区间[a，b]

上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝fb－fab－a，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点.例如y＝|x|是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点.若函数f(x)＝x2－mx－1是[－1，1]上的“

平均值函数”，则实数m的取值范围是________.答案(0，2)解析因为函数f(x)＝x2－mx－1是[－1，1]上的“平均值函数”，所以关于x的方程x2－mx－1＝f1－f－12在区间(－1，1)内有实数根，即x2－mx－1＝－m在区间(－1，1)内有实

数根，即x2－mx＋m－1＝0，解得x＝m－1或x＝1.又1不属于(－1，1)，所以x＝m－1必为均值点，即－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以实数m的取值范围是(0，2).题型二综合型函数创新题例2以A表示值域

为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M].例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下

命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则

f(x)＋g(x)∉B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)答案①③④解析因为f(x)∈A，所

以函数f(x)的值域是R，所以满足∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，同时若∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，则说明函数f(x)的值域是R，则f(x)∈A，所以①正确；令f(x)＝1x，x∈(1，2]，取M＝1，则f(x)⊆[－1，1]，但是f(x)没有最大值，所以②错误；因为f(x)∈

A，g(x)∈B且它们的定义域相同(设为[m，n])，所以存在区间[a，b]⊆[m，n]，使得f(x)在区间[a，b]上的值域与g(x)的值域相同，所以存在x0∉[a，b]，使得f(x0)的值接近无穷，所以f

(x)＋g(x)∉B，所以③正确；因为当x>－2时，函数y＝ln(x＋2)的值域是R，所以函数f(x)若有最大值，则a＝0，此时f(x)＝xx2＋1.因为对∀x∈R，x2＋1≥2|x|，所以－12≤xx2＋1≤12.即－12≤f

(x)≤12，故f(x)∈B，所以④正确.点评此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法.解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，

掌握基本函数的图象与性质等.变式训练2如果y＝f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f(x＋a)＝f(－x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”.给出下列命题：①函数y＝sinx具有“P(a)性质”；②若奇函数y＝f(x)具有“P(2)性质”，且f(1)＝1，

则f(2015)＝1；③若函数y＝f(x)具有“P(4)性质”，图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，则y＝f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(1，2)上单调递增；④若不恒为零的函数y＝f(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质”，则函数y＝

f(x)是周期函数.其中正确的是________(写出所有正确命题的编号).答案①③④解析①因为sin(x＋π)＝－sinx＝sin(－x)，所以函数y＝sinx具有“P(a)性质”，所以①正确；②因为奇函

数y＝f(x)具有“P(2)性质”，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，周期为4，因为f(1)＝1，所以f(2015)＝f(3)＝－f(1)＝－1.所以②不正确；③因为函数y＝f(x)具有“P(4)性质”，所以f

(x＋4)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，即f(2－x)＝f(2＋x)，因为图象关于点(1，0)成中心对称，所以f(2－x)＝－f(x)，即f(2＋x)＝－f(－x)，所以得出f(x)＝f(－x)，f(x)为偶函数，因为图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上

单调递减，所以图象也关于点(－1，0)成中心对称，且在(－2，－1)上单调递减；根据偶函数的对称性得出在(1，2)上单调递增，故③正确；④因为具有“P(0)性质”和“P(3)性质”，所以f(x)＝f(－x)，f(x＋3)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，且周期为3，故

④正确.高考题型精练1.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)＝cos(x＋1)B.f(x)＝xC.f(x)＝tanxD.f(x)＝x3答案A解析由题意知，

若f(x)是准偶函数，则函数的对称轴是直线x＝a，a≠0，选项B，C，D中，函数没有对称轴；函数f(x)＝cos(x＋1)，有对称轴，且x＝0不是对称轴，选项A正确.故选A.2.设f(x)的定义域为D，若f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域是a2，b2，则

称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)＝ln(ex＋t)为“倍缩函数”，则t的范围是()A.14，＋∞B.(0，1)C.0，12D.0，14答案D解析因为函数f(x)＝ln(ex＋t

)为“倍缩函数”，所以存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域是a2，b2，因为函数f(x)＝ln(ex＋t)为增函数，所以lnea＋t＝a2，lneb＋t＝b2，即

ea＋t＝e2a，eb＋t＝e2b，即方程ex－e2x＋t＝0有两个不等的正根，即－12－4t＞0，t＞0，解得t的范围是0，14.3.设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1＋x2＝2a，恒有

f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心.研究并利用函数f(x)＝x3－3x2－sinπx的对称中心，可得f(12016)＋f(22016)＋„＋f(40302016)＋f(40312016)等于()A.－

16124B.16124C.－8062D.8062答案C解析如果x1＋x2＝2，则f(x1)＋f(x2)＝x31－3x21－sinπx1＋x32－3x22－sinπx2＝x31－3x21－sinπx1＋(2－x1)3－3(2－x1)2－sinπ(2－x1)＝－4.令S＝

f(12016)＋f(22016)＋„＋f(40302016)＋f(40312016)，又S＝f(40312016)＋f(40302016)＋„＋f(12016)，两式相加得2S＝－4×4031，所以S＝－8062.故选C.4.函数f(x

)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有fx1＋x22≤12[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1，3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P；③若f

(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有fx1＋x2＋x3＋x44≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)].其中真命题的序号是(

)A.①②B.①③C.②④D.③④答案D解析令f(x)＝1，x＝1，0，1<x<3，1，x＝3，可知对∀x1，x2∈[1，3]，都有fx1＋x22≤12[f(x1)＋f(x2)]，但

f(x)在[1，3]上的图象不连续，故①不正确；令f(x)＝－x，则f(x)在[1，3]上具有性质P，但f(x2)＝－x2在[1，3]上不具有性质P，因为－x1＋x222＝－x21＋x22＋2x1x24≥－2x21＋x224＝12(－x21－x22)＝1

2[f(x21)＋f(x22)]，故②不正确；对于③，假设存在x0∈[1，3]，使得f(x0)≠1，因为f(x)max＝f(2)＝1，x∈[1，3]，所以f(x0)<1.又当1≤x0≤3时，有1≤4－x0≤3，由f(x)在[1，3]上具有性质P，得f(2)＝fx0＋4

－x02≤12[f(x0)＋f(4－x0)]，由于f(x0)<1，f(4－x0)≤1，与上式矛盾.即对∀x∈[1，3]，有f(x)＝1，故③正确.对于④，对∀x1，x2，x3，x4∈[1，3]，fx1＋x2＋x3＋x44＝fx1＋

x22＋x3＋x422≤12fx1＋x22＋fx3＋x42≤1212[fx1＋fx2]＋12[fx3＋fx4]＝14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]，故④正确.5.已知函数f(x)＝1－|2x－1|，x∈[0

，1].定义：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f[f1(x)]，„，fn(x)＝f[fn－1(x)]，n＝2，3，4，„，满足fn(x)＝x的点x∈[0，1]称为f(x)的n阶不动点.则f(x)的n阶不动点的个数是()A.nB.2n2C.2(2n－1)D.2n答

案D解析函数f(x)＝1－|2x－1|＝2x，0≤x≤12，2－2x，12＜x≤1，当x∈0，12时，f1(x)＝2x＝x⇒x＝0，当x∈12，1时，f1(x)＝2－2x＝x⇒x＝23，∴f1(x

)的1阶不动点的个数为2.当x∈0，14时，f1(x)＝2x，f2(x)＝4x＝x⇒x＝0，当x∈14，12时，f1(x)＝2x，f2(x)＝2－4x＝x⇒x＝25，当x∈12，34

时，f1(x)＝2－2x，f2(x)＝4x－2＝x⇒x＝23，当x∈34，1时，f1(x)＝2－2x，f2(x)＝4－4x＝x⇒x＝45.∴f2(x)的2阶不动点的个数为22，以此类推，f(x)的

n阶不动点的个数是2n.6.若集合A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，其中a∈N*，k∈N*，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B是从定义域A到值域B的一个函数，则a＋k＝________.答案7解析由对应法则知1→4，2→7，3→10，k→3k＋1，又a∈N*，∴a4≠1

0，∴a2＋3a＝10，解得a＝2(舍去a＝－5)，所以a4＝16，于是3k＋1＝16，∴k＝5.∴a＋k＝7.7.如果定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f

(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数：①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sinx；④f(x)＝ln|x|，x≠0，0，x＝0.以上函数是“H函数”的所有序号为________.答

案②③解析由已知x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，所以函数f(x)在R上是增函数.对于①，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，其不是“H函数”；对于②，y＝ex＋1在R上为增函数，所以其为

“H函数”；对于③，由于y′＝2－cosx＞0恒成立，所以y＝2x－sinx是增函数，所以其为“H函数”；对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在R上是增函数，所以不是“H函数”.综上知，是“H函数”的序号为②③.8.已知二次

函数f(x)的两个零点分别为b1－a，b1＋a(0<b<a＋1)，f(0)＝b2.定义card(A)：集合A中的元素个数.若“x∈A，cardA∩Z＝4”是“f(x)>0”的充要条件，则实数a的取值范

围是____________.答案(1，2)解析由条件可得f(x)＝(1－a2)(x－b1－a)(x－b1＋a)，结合x∈A，cardA∩Z＝4知a>1，所以f(x)开口向下，所以f(x)>0的解集为b1－a，b1＋a，且0<b1＋a<1.结合数轴分析，知－

4≤b1－a<－3，即3a－3<b≤4a－4，又0<b<a＋1，所以3a－3<b<a＋1，得1<a<2.9.设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b

))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b).例如，当f(x)＝1(x＞0)时，可得Mf(a，b)＝c＝a＋b2，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数.(1)当f(x)＝________(x＞0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(

x)＝________(x＞0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数2aba＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案(1)x(2)x解析设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则三点共线.

(1)依题意，c＝ab，则求得faa＝fbb，故可以选择f(x)＝x(x＞0).(2)依题意，c＝2aba＋b，求得faa＝fbb，故可以选择f(x)＝x(x＞0).10.对于函数f(x)，若存在区间

M＝[a，b](其中a<b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①f(x)＝(x－1)2；②f(x)＝|2x－1|；③f(x)＝cosπ

2x；④f(x)＝ex.其中存在“稳定区间”的函数是________.(填出所有满足条件的函数序号)答案①②③解析据已知定义，所谓的“稳定区间”即函数在区间[a，b]内的定义域与值域相等.问题可转化为已知函数y

＝f(x)的图象与直线y＝x是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”.数形结合依次判断，①②③均符合条件，而④不符合条件.综上可知，①②③均为存在“稳定区间”的函数.11.若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上是增函数，且F(x)＝fxx在I上是减函数，则称y＝f

(x)在I上是“非完美增函数”.已知f(x)＝lnx，g(x)＝2x＋2x＋alnx(a∈R).(1)判断f(x)在(0，1]上是否为“非完美增函数”；(2)若g(x)在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，求实数a的取值范围.解(1)易知f′(x)＝1x＞0在(0，1]上恒成立，所以f(x)＝ln

x在(0，1]上是增函数.F(x)＝fxx＝lnxx，求导得F′(x)＝1－lnxx2，因为x∈(0，1]，所以lnx≤0，即F′(x)＞0在(0，1]上恒成立，所以F(x)＝lnxx在(0，1]上是增函数.由题意知，f(x)在(0，1]上不是“非完美增函数”.(2)若g(x)＝2x＋

2x＋alnx(a∈R)在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，则g(x)＝2x＋2x＋alnx在[1，＋∞)上单调递增，G(x)＝gxx＝2＋2x2＋alnxx在[1，＋∞)上单调递减.①若g(x)在[1，＋∞)上单调递增，则g′(x)＝2－

2x2＋ax≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥2x－2x在[1，＋∞)上恒成立.令h(x)＝2x－2x，x∈[1，＋∞)，因为h′(x)＝－2x2－2＜0恒成立，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(1)＝0，所以a≥0.②若G(x)在[1，＋∞)上单调递减，则G′(x)＝

－4x3＋a1－lnxx2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－4＋ax－axlnx≤0在[1，＋∞)上恒成立.令t(x)＝－4＋ax－axlnx，x∈[1，＋∞)，因为t′(x)＝－alnx，由①知a≥0，所以t′(x)≤0恒成立，所以t(x)＝－4＋ax－axlnx在[1，＋∞)上单调递减，则t

(x)max＝t(1)＝a－4.要使t(x)＝－4＋ax－axlnx≤0在[1，＋∞)上恒成立，则a－4≤0，即a≤4，此时G′(x)＝－4x3＋a1－lnxx2≤0在[1，＋∞)上恒成立.综合①②知，实数a的取值范围为[0，4].1

2.已知函数f(x)＝ax＋lnx，g(x)＝ex.(1)当a≤0时，求f(x)的单调区间；(2)若不等式g(x)＜x－mx有解，求实数m的取值范围；(3)定义：对于函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域

内的任意实数x0，称|f(x0)－g(x0)|的值为两函数在x0处的差值.证明：当a＝0时，函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有差值都大于2.(1)解f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝a＋1x(x＞0).①当a＝0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，

＋∞)上单调递增；②当a＜0时，由f′(x)＝0，解得x＝－1a，则当x∈(0，－1a)时，f′(x)＞0，∴f(x)单调递增，当x∈(－1a，＋∞)时，f′(x)＜0，∴f(x)单调递减.综上，当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在(0，－1

a)上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减.(2)解由题意：ex＜x－mx有解，即exx＜x－m有解，因此只需m＜x－exx，x∈(0，＋∞)有解即可.设h(x)＝x－exx，h′(x)＝1－exx－ex2x＝1－ex(x＋12x).

∵x＋12x≥212＝2＞1，且x∈(0，＋∞)时ex＞1，∴1－ex(x＋12x)＜0，即h′(x)＜0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减.∴h(x)＜h(0)＝0，故m＜0.(3)证明当a＝0时，f(x)＝lnx，f(x)与g(x)的公共定

义域为(0，＋∞)，|f(x)－g(x)|＝|lnx－ex|＝ex－lnx＝ex－x－(lnx－x).设m(x)＝ex－x＞0，则m′(x)＝ex－1＞0，x∈(0，＋∞)，m(x)在(0，＋∞)上单调

递增，m(x)＞m(0)＝1.又设n(x)＝lnx－x，x∈(0，＋∞)，n′(x)＝1x－1，当x∈(0，1)时，n′(x)＞0，n(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，n′(x)＜0，n(x)单调递减，所以x＝1为n(x)的极大值点，即n(x)≤n(1)＝－1，故|f(x)

－g(x)|＝m(x)－n(x)＞1－(－1)＝2.即公共定义域内任一点差值都大于2.