【文档说明】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题（及答案）.doc，共(16)页，1.793 MB，由baby熊上传

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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合24Axx，2,3,4,5B，则AB（）A.2B.2,3C.3,4D.2,

3,4【答案】B2.已知2iz，则izz（）A.62iB.42iC.62iD.42i【答案】C3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22

C.4D.42【答案】B4.下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（）A.0,2B.,2ππC.3,2D.3,22【答案】A5.已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12

MFMF的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C6.若tan2，则sin1sin2sincos（）A.65B.25C.25D.65【答案】C7.若过点,ab可以作曲线exy的两条切线，

则（）A.ebaB.eabC.0ebaD.0eab【答案】D8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球

的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x，2x，„，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，„，ny，其中iiyxc(1,2,,),inc为非零常数，则（）A.两组

样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用两组数据的线性关系有()()EyExc、()()Dy

Dx，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.【详解】A：()()()EyExcExc且0c，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为ix，则第二组的中位数为iiyxc，显然不相同，错误；C：()(

)()()DyDxDcDx，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为maxminxx，则第二组的极差为maxminmaxminmaxmin()()yyxcxcxx，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O为坐标原点，点

1cos,sinP，2cos,sinP，3cos,sinP，()1,0A，则（）A.12OPOPB.12APAPC.312OAOPOPOPD.123OAOPOPOP【答案】AC【解析】【分析】A、B

写出1OP，2OP、1APuuur，2APuuur的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：1(cos,sin)OP，2(cos,sin)OP，所以221||cossin1OP，2

22||(cos)(sin)1OP，故12||||OPOP，正确；B：1(cos1,sin)AP，2(cos1,sin)AP，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP

，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31cos()0sin()cos()OAOP

，12coscossin(sin)cos()OPOP，正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP，23coscos()(sin)sin()OPOP22coscos

sinsincossinsincoscossincoscos2sinsin2cos(2)，错误；故选：AC11.已知点P在圆225516xy上，点4,0A、0,2B，则（）

A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，32PBD.当PBA最大时，32PB【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距

离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆225516xy的圆心为5,5M，半径为4，直线AB的方程为142xy，即240xy，圆心M到直线AB的距离为2252541111545

512，所以，点P到直线AB的距离的最小值为115425，最大值为1154105，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB，22052534

BM，4MP，由勾股定理可得2232BPBMMP，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取

值范围是,drdr.12.在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则（）A.当1时，1ABP△的周长为定值B.当1

时，三棱锥1PABC的体积为定值C.当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD.当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内

，进而确定点的坐标；对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来

求解P点的个数．【详解】易知，点P在矩形11BCCB内部（含边界）．对于A，当1时，11=BPBCBBBCCC，即此时P线段1CC，1ABP△周长不是定值，故A错误；对于B，当1时，1111=BPBCBBBBBC，故此时

P点轨迹为线段11BC，而11//BCBC，11//BC平面1ABC，则有P到平面1ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当12时，112BPBCBB，取BC，11BC中点分别为Q，H，则BPBQQH，所以P点轨迹为线

段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13,0,12A，0,0P,，10,,02B，则13,0,12AP，10,,2BP，10，所以0或1

．故,HQ均满足，故C错误；对于D，当12时，112BPBCBB，取1BB，1CC中点为,MN．BPBMMN，所以P点轨迹为线段MN．设010,,2Py，因为30,02A，，所以031,,22APy

，131,,122AB，所以00311104222yy，此时P与N重合，故D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数322xxxa

fx是偶函数，则a______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.【详解】因为322xxxafx，故322xxfxxa，因为fx为偶函数，故

fxfx，时332222xxxxxaxa，整理得到12+2=0xxa，故1a，故答案为：114.已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx(0p)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，

且PQOP，若6FQ，则C的准线方程为______.【答案】32x【解析】【分析】先用坐标表示PQ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22ppPpQPQpuuur因为PQOP，所以260032ppppQC的

准线方程为32x故答案为：32x【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数212lnfxxx的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()fx定义域为(0,)，讨论102x、112x、1x，并结合导数研究的单调性，即可

求()fx最小值.【详解】由题设知：()|21|2lnfxxx定义域为(0,)，∴当102x时，()122lnfxxx，此时()fx单调递减；当112x时，()212lnfxxx，有2()20fxx，此时()fx单调递减；

当1x时，()212lnfxxx，有2()20fxx，此时()fx单调递增；又()fx在各分段的界点处连续，∴综上有：01x时，()fx单调递减，1x时，()fx单调递增；∴()(1)1fxf故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常

会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折2次共可以得到5dm12dm，1

0dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次，那么1nkkS______2dm.【答案】(1).5(2).41537202nn【解析】【分析】

（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得nS，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dmdm，562dmdm，53dmdm，3102dmdm，3204dmdm，共5种；（2）由题意可得12120S，2360S，3430S，4

515S，，112012nnnS，设012112011202120312042222nnSL，则121120111202120312022222nnnnS，两式作差得

12116011201120111112240120240122222212nnnnnnS112011203120360360222nnnnn，因此，424

0315372072022nnnnS.故答案为：5；41537202nn.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错

位相减法求和；（3）对于nnab结构，利用分组求和法；（4）对于11nnaa结构，其中na是等差数列，公差为0dd，则111111nnnnaadaa，利用裂项相消法求和

.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列na满足11a，11,,2,.nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前20项和.【答案】（1）122,

5bb；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13nnbb，从而可求nb的通项.（2）根据题设中的递推关系可得na的前20项和为20S可化为2012910210Sbbbb，

利用（1）的结果可求20S.【详解】（1）由题设可得121243212,1215baabaaa又22211kkaa，2122kkaa，故2223kkaa即13nnbb即13nnbb所以nb为等差数列，故

21331nbnn.（2）设na的前20项和为20S，则2012320Saaaa，因为123419201,1,,1aaaaaa，所以20241820210Saaaa1291091021021023103002bbb

b.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比

赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答

正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问

题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100．

010.80.2PX；200.810.60.32PX；1000.80.60.48PX．所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，00.

2200.321000.4854.4EX．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100．010.60.4PY；800.610.80.12PY；

1000.80.60.48PX．所以00.4800.121000.4857.6EY．因为54.457.6，所以小明应选择先回答B类问题．19.记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac，点D在边

AC上，sinsinBDABCaC.（1）证明：BDb；（2）若2ADDC，求cosABC.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos12ABC.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBDb，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33bbBDbADDC，应用余弦

定理求cosADB、cosCDB，又ADBCDB，可得42221123bbaa，结合已知及余弦定理即可求cosABC.【详解】（1）由题设，sinsinaCBDABC，由正弦定理知：sins

incbCABC，即sinsinCcABCb，∴acBDb，又2bac，∴BDb，得证.（2）由题意知：2,,33bbBDbADDC，∴22222241399cos24233bbbccADBbbb，同理2222221099cos2233

bbbaaCDBbbb，∵ADBCDB，∴2222221310994233bbcabb，整理得2221123bac，又2bac，∴42221123bbaa，整理得422461130aabb，解得2213ab或2232ab，

由余弦定理知：222224cos232acbaABCacb，当2213ab时，7cos16ABC不合题意；当2232ab时，7cos12ABC；综上，7cos12ABC.【点睛】关

键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADBCDB得到,,abc的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cosABC.20.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱

AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为A

B=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD，AO平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥B

C于M,连FM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,BDCDD,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，FMEFFI,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF则EM

F为二面角E-BC-D的平面角,4EMF因为BOOD,OCD为正三角形,所以OCD为直角三角形因为2BEED,1112(1)2233FMBF从而EF=FM=213AOAOQ平面BCD,所以11131133326BCDVAOS【点睛】二面角

的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点117,0F、21217,02FMFMF，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x上，过T的两条直线分别交C

于A、B两点和P，Q两点，且TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.【答案】（1）221116yxx；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程；

（2）设点1,2Tt，设直线AB的方程为112ytkx，设点11,Axy、22,Bxy，联立直线AB与曲线C的方程，列出韦达定理，求出TATB的表达式，设直线PQ的

斜率为2k，同理可得出TPTQ的表达式，由TATBTPTQ化简可得12kk的值.【详解】因为12122217MFMFFF，所以，轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为222210,0xyabab

，则22a，可得1a，2174ba，所以，轨迹C的方程为221116yxx；（2）设点1,2Tt，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线AB的

方程为112ytkx，即1112ykxtk，联立1122121616ykxtkxy，消去y并整理可得222111111621602kxktkxtk，设点11,Axy、22,Bxy，则112x且212

x.由韦达定理可得2111221216kktxxk，211221116216tkxxk，所以，22122121121122112111111222416tkxxTATBkxxkxxk

，设直线PQ的斜率为2k，同理可得2222212116tkTPTQk，因为TATBTPTQ，即22221222121211211616tktkkk

，整理可得2212kk，即12120kkkk，显然120kk，故120kk.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这

个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数1lnfxxx.（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：

112eab.【答案】（1）fx的递增区间为0,1，递减区间为1,+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,xxab，原不等式等价于122xxe，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可

设21xtx，从而把12xxe转化为1ln1ln0tttt在1,上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为0,，又1ln1lnfxxx，当0,1x时，0fx，当1,+x

时，0fx，故fx的递增区间为0,1，递减区间为1,+.（2）因为lnlnbaabab，故ln1ln+1baab，即ln1ln+1abab，故11ffab，设1211,xxab，由（1）可知不

妨设1201,1xx.因为0,1x时，1ln0fxxx，,xe时，1ln0fxxx，故21xe.先证：122xx，若22x，122xx必成立.若22x，要证：122xx，即证122xx

，而2021x，故即证122fxfx，即证：222fxfx，其中212x.设2,12gxfxfxx，则2lnln2gxfxfxxxln2xx，因为12x

，故021xx，故ln20xx，所以0gx，故gx在1,2为增函数，所以10gxg，故2fxfx，即222fxfx成立，所以122xx成

立，综上，122xx成立.设21xtx，则1t，结合ln1ln+1abab，1211,xxab可得：11221ln1lnxxxx，即：111ln1lnlnxttx，故11lnln1tttxt，要证：12xxe

，即证11txe，即证1ln1ln1tx，即证：1lnln111ttttt，即证：1ln1ln0tttt，令1ln1ln,1Stttttt，则

112ln11lnln111tStttttt，先证明一个不等式：ln1xx.设ln1uxxx，则1111xuxxx，当10x时，0ux；当0x时，0ux，故u

x在1,0上为增函数，在0,+上为减函数，故max00uxu，故ln1xx成立由上述不等式可得当1t时，112ln11ttt，故0St恒成立，故St在1,上为减函数，故10StS，故1ln1ln0tttt

成立，即12xxe成立.综上所述，112eab.