【文档说明】2022年新高考1卷数学试题及答案(定稿).doc，共(26)页，2.081 MB，由baby熊上传

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数学试题第1页（共26页）2022年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本

试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合M＝{x|x＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝A．{x|0≤x＜2}B．{x|13≤x＜2}C

．{x|3≤x＜16}D．{x|13≤x＜16}2．若i(1－z)＝1，则z＋-z＝A．－2B．－1C．1D．23．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记→CA＝m，→CD＝n，则→CB＝A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3

n4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2：水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到15

7.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为A．16B．1

3C．12D．236．记函数f(x)＝sin(ωx＋π4)＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若2π3＜T＜π，且y＝f(x)的图像关于点(3π2，2)中心对称，则f(π2)＝A．1B．32C．52D．3按秘密级事项管理数学试题第2页（共26页）7．设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，

则A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是A．[18，814]B．[274，814]C．[274，643]D．[18，27]二、选

择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则A．直线BC1与DA1所成的角为90ºB．直线BC1

与CA1所成的角为90ºC．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45ºD．直线BC1与平与ABCD所成的角为4510．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的

对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线11．已知O为坐标原点，点A(1，1)任抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点A(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C柤切C

．|OP|·|OQ|＞|OA|2D．|BP|·|BQ|＞|BA|212．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f(32－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则A．f(0)＝0B．g(－1

2)＝0C．f(－1)＝f(4)D．g(－1)＝g(2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(1－yx)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_______（用数字作答）．14．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程____

___．15．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______．16．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，

E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是_______．数学试题第3页（共26页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a

1＝1，{Snan}是公差为13的等差数列．（1）求{an}的通项公式：（2）证明：1a1＋1a2＋„＋1an＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B．（1）若

C＝2π3，求B；（2）求a2＋b2c2的最小值．19．（12分）如图，直三梭柱ABC－A1B1C1，的体积为4，△A1BC的面积为22．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面

A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．数学试题第4页（共26页）20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例

（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习楐不为良好”，B表示事件“选到的人患有

该疾病”，(|)(|)PBAPBA与(|)(|)PBAPBA的比值是卫生习㤘不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（i）证明：(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB；（ii）利用该调下数据，给出(|)PAB，(|)PAB的估计值，并利用（i）的结果给出R的

估计值．21．（12分）已知点A(2，1)在双曲线圆C：x2a2－y2a2－1＝1(a＞1)，上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－lnx

有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416

.63510.828．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，数学试题第5页（共26页）参考答案：1．D【解析】【分析】求出集合,MN后可求MN.【详解】1{16},{}3MxxNxx∣0∣，故1163MNxx，故选：D2．D【解析】【

分析】利用复数的除法可求z，从而可求zz.【详解】由题设有21i1iiiz，故1+iz，故1i1i2zz，故选：D3．B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因

为点D在边AB上，2BDDA，所以2BDDA，即2CDCBCACD，所以CB3232CDCAnm23mn．故选：B．4．C数学试题第6页（共26页）【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积

公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积262140.014010Skmm，下底面积262180.018010Skmm，∴6

61211914010180101401801033VhSSSS6799333206071096182.65101.437101.410(m)．故选：C．5．D【解析】【分析】由古典概型概率公式结

合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所

求概率2172213P.故选：D.数学试题第7页（共26页）6．A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得223，解得23，又因为函

数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ，且2b，所以12,63kkZ，所以52，5()sin224fxx，所以5sin21244f.故选：A7．C【解析】【分析】构造函数()ln

(1)fxxx，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)f

xxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+0101

0，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,数学试题第8页（共2

6页）令2()e(1)+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h，所以当021x

时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.8．C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正

四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36，所以球的半径3R,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积4262

2411214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当326l时，0V，当2633l时，0V，数学试题第9页（共26页）所

以当26l时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l时，274V，33l时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.9．ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断

即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB

平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC，因为1BC1BC，1111ABBCB，所以1BC平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11BCCA，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO，连接BO，数学试题第10页

（共26页）因为1BB平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB，因为111COBD，1111BDBBB，所以1CO平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长

为1，则122CO，12BC，1111sin2COCBOBC，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因为1CC平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145CBC，故D正确.故选：ABD10

．AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合()fx的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，231fxx，令0fx得33x或33x

，令()0fx得3333x，所以()fx在33(,)33上单调递减，在3(,)3，3(,)3上单调递增，所以33x是极值点，故A正确；因323()1039f，323()1039f，250f，所以，函数fx在

3,3上有一个零点，数学试题第11页（共26页）当33x时，303fxf，即函数fx在33,+上无零点，综上所述，函数()fx有一个零点，故B错误；令3()hxxx，该函数的定义域为R，33hxxxxxhx

，则()hx是奇函数，(0,0)是()hx的对称中心，将()hx的图象向上移动一个单位得到()fx的图象，所以点(0,1)是曲线()yfx的对称中心，故C正确；令2312fxx，可得1x，又(1)11ff，当切点为(1

,1)时，切线方程为21yx，当切点为(1,1)时，切线方程为23yx，故D错误.故选：AC.11．BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及

弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得12p，所以抛物线方程为2xy，故准线方程为14y，A错误；1(1)210ABk，所以直线AB的方程为21yx，联立221yxxy，可得2210xx，解得1x，故B正确；设过B的直线为l，若直线l

与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为1ykx，1122(,),(,)PxyQxy，数学试题第12页（共26页）联立21ykxxy，得210xkx

，所以21212Δ401kxxkxx，所以2k或2k，21212()1yyxx，又2221111||OPxyyy，2222222||OQxyyy，所以2121212||||(1)(1)||2||OPOQyyyykxk

xkOA，故C正确；因为21||1||BPkx，22||1||BQkx，所以2212||||(1)||15BPBQkxxk，而2||5BA，故D正确.故选：BCD12．BC【解析】【分析】转

化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322fx，(2)gx均为偶函数，所以332222fxfx

即3322fxfx，(2)(2)gxgx，所以3fxfx，(4)()gxgx，则(1)(4)ff，故C正确；函数()fx，()gx的图象分别关于直线3,22xx对称，又()()gx

fx，且函数()fx可导，所以30,32ggxgx，所以(4)()3gxgxgx，所以(2)(1)gxgxgx，数学试题第13页（共26页）所以13022gg，11

2ggg，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系

，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.13．-28【解析】【分析】81yxyx可化为88yxyxyx，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为8881=yyxyxyxyxx，所以81yx

yx的展开式中含26xy的项为6265352688C28yxyCxyxyx，81yxyx的展开式中26xy的系数为-28故答案为：-2814．3544yx或725

2424yx或1x【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，数学试题第14页（共26页）两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当

切线为l时，因为143OOk，所以34lk，设方程为3(0)4yxttO到l的距离||19116td，解得54t，所以l的方程为3544yx，当切线为m时，设直线方程为0kxyp

，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx当切线为n时，易知切线方程为1x，故答案为：3544yx或7252424yx或1x.15．,40,

【解析】【分析】数学试题第15页（共26页）设出切点横坐标0x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.【详解】∵()exyxa，∴

(1)exyxa，设切点为00,xy,则000exyxa,切线斜率001exkxa,切线方程为：00000e1exxyxaxaxx,∵切线过原点，∴00000e1exxxaxax,整理得：2000xaxa,∵

切线有两条，∴240aa,解得4a<-或0a,∴a的取值范围是,40,,故答案为：,40,16．13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc

，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120xyc，整理化简得到：22136390ycyc，利用弦长公式求得138c，得1324ac，根据对称性将ADE的周长转

化为2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】∵椭圆的离心率为12cea，∴2ac，∴22223bacc，∴椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，不妨设左焦点为1F

，右焦点为2F，如图所示，数学试题第16页（共26页）∵222AFaOFcac，，，∴23AFO，∴12AFF△为正三角形，∵过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，DE为线段2AF的垂

直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120xyc，整理化简得到：22136390ycyc，判别式2222634139616ccc，

∴21213226461313cCDyy，∴138c，得1324ac，∵DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，，∴ADE的周长等于2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到2FDE△周长为22221

1121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.故答案为：13.17．(1)12nnna(2)见解析数学试题第17页（共26页）【解析】【分析】（

1）利用等差数列的通项公式求得121133nnSnna，得到23nnnaS，利用和与项的关系得到当2n时，112133nnnnnnanaaSS,进而得：111nnanan，利用累乘法求得12nnna，检

验对于1n也成立，得到na的通项公式12nnna；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211naaan，进而证得.(1)∵11a，∴111Sa,∴111Sa,又∵nnSa

是公差为13的等差数列，∴121133nnSnna,∴23nnnaS,∴当2n时，1113nnnaS，∴112133nnnnnnanaaSS,整理得：

111nnnana,即111nnanan,∴31211221nnnnnaaaaaaaaaa1341123212nnnnnn，显然对于1n也成立，∴na的通项公式12nnna；(2)12112,11n

annnn数学试题第18页（共26页）∴12111naaa1111112121222311nnn18．(1)π6；(2)425

．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB化成cossinABB，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB，π22AB，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc化成222

4cos5cosBB，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2

BABABABC，而π02B，所以π6B；(2)由（1）知，sincos0BC，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC，所以π2CB，即有π22AB．所以222222222sinsincos21cossincosabA

BBBcCB2222222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB．数学试题第19页（共26页）当且仅当22cos2B时取等号，所以222abc的最小值为425．19．(1)2(2)32【

解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC平面11ABBA，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱111ABCABC中，设点A到平面1ABC的距离为h，则1111111122114

33333AABCAAABCAABCABBCCCBVShhVSAAV，解得2h，所以点A到平面1ABC的距离为2；(2)取1AB的中点E,连接AE,如图，因为1AAAB，所以1AEAB,又平面1ABC平面11ABBA，平面1ABC平面111A

BBAAB，且AE平面11ABBA，所以AE⊥平面1ABC，在直三棱柱111ABCABC中，1BB平面ABC，由BC平面1ABC，BC平面ABC可得AEBC，1BBBC，又1,AEBB平面11ABBA且相交，所以B

C平面11ABBA，所以1,,BCBABB两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，数学试题第20页（共26页）由（1）得2AE，所以12AAAB，122AB，所以2BC，则10,2,0,0,2

,2,0,0,0,2,0,0AABC,所以1AC的中点1,1,1D，则1,1,1BD，0,2,0,2,0,0BABC,设平面ABD的一个法向量,,mxyz，则020mBDxyzmBAy，可取1,0,1m，设平面BDC的一个法

向量,,nabc，则020mBDabcmBCa，可取0,1,1nr，则11cos,222mnmnmn，所以二面角ABDC的正弦值为213122.20．(1)答案见解析(2)（

i）证明见解析；(ii)6R；数学试题第21页（共26页）【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（

i）结合已知数据求R.(1)由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100nadbcKabcdacbd，又2(6.635)=0.01PK，246.635，所以有99%的把握认为患该疾

病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()PBAPBAPABPAPABPARPBAPBAPAPABPAPAB，所以()()()()()(

)()()PABPBPABPBRPBPABPBPAB所以(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB，(ii)由已知40(|)100PAB，10(|)100PAB，又60(|)100PAB，90(|)100PAB

，所以(|)(|)=6(|)(|)PABPABRPABPAB21．(1)1；(2)1629．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设:lykxm，1122,,,PxyQxy，再根据0APBPkk，即可解出l的

斜率；数学试题第22页（共26页）（2）根据直线,APAQ的斜率之和为0可知直线,APAQ的倾斜角互补，再根据tan22PAQ即可求出直线,APAQ的斜率，再分别联立直线,APAQ与双曲线方程求出点,PQ的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出

点A到直线PQ的距离，即可得出PAQ△的面积．(1)因为点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，所以224111aa，解得22a，即双曲线22:12xCy易知直线l的斜率存在，设:lyk

xm，1122,,,PxyQxy，联立2212ykxmxy可得，222124220kxmkxm，所以，2121222422,2121mkmxxxxkk，222222164222101

20mkmkmk．所以由0APBPkk可得，212111022yyxx，即122121210xkxmxkxm，即1212212410kxxmkxxm，所以222224212410212

1mmkkmkmkk，化简得，2844410kkmk，即1210kkm，所以1k或12mk，当12mk时，直线:21lykxmkx过点2,1

A，与题意不符，舍去，故1k．(2)不妨设直线,PAPB的倾斜角为,，因为0APBPkk，所以π，数学试题第23页（共26页）因为tan22PAQ，所以tan22，即tan2

22，即22tantan20，解得tan2，于是，直线:221PAyx，直线:221PByx，联立2222112yxxy可得，232122104202xx，因为方程有一个根为2，所以10423Px，P

y4253，同理可得，10423Qx，Qy4253．所以5:03PQxy，163PQ，点A到直线PQ的距离52122332d，故PAQ△的面积为116221622339．22．(1)1a(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的

单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b时，exxb的解的个数、lnxxb的解的个数均为2，构建新函数()eln2xhxxx，利用导数可得该函数只有

一个零点且可得,fxgx的大小关系，根据存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)数学试题第24页（共26页）()exfxax的定义域为R，而()exfxa，若0a，则()0fx

，此时()fx无最小值，故0a.()lngxaxx的定义域为0,，而11()axgxaxx.当lnxa时，()0fx，故()fx在,lna上为减函数，当lnxa时

，()0fx，故()fx在ln,a上为增函数，故min()lnlnfxfaaaa.当10xa时，()0gx，故()gx在10,a上为减函数，当1xa时，()0gx

，故()gx在1,a上为增函数，故min11()1lngxgaa.因为()exfxax和()lngxaxx有相同的最小值，故11lnlnaaaa，整理得到1ln1aaa，其中0a

，设1ln,01agaaaa，则222211011agaaaaa，故ga为0,上的减函数，而()10g=，故0ga的唯一解为1a，故1ln1aa

a的解为1a.综上，1a.(2)由（1）可得e()xxfx和()lngxxx的最小值为11ln11ln11.当1b时，考虑exxb的解的个数、lnxxb的解的个数.设exSxxb，e1xSx，当0x时，0Sx

，当0x时，0Sx，数学试题第25页（共26页）故Sx在,0上为减函数，在0,上为增函数，所以min010SxSb，而e0bSb，e2bSbb

，设e2bubb，其中1b，则e20bub，故ub在1,上为增函数，故1e20ubu，故0Sb，故exSxxb有两个不同的零点，即exxb的解的个数为2.设lnTxxxb，

1xTxx，当01x时，()0Tx¢<，当1x时，0Tx，故Tx在()0,1上为减函数，在1,上为增函数，所以min110TxTb，而ee0bbT，ee20bbTb，lnTxxxb有两个不同的零点即lnxx

b的解的个数为2.当1b，由（1）讨论可得lnxxb、exxb仅有一个零点，当1b时，由（1）讨论可得lnxxb、exxb均无零点，故若存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同的交点，则1

b.设()eln2xhxxx，其中0x，故1()e2xhxx，设e1xsxx，0x，则e10xsx，故sx在0,上为增函数，故00sxs即e1xx，所以1()1210hxxx

，所以()hx在0,上为增函数，数学试题第26页（共26页）而(1)e20h，31e333122()e3e30eeeh，故hx在0,上有且只有一个零点0x，0311ex且：当00xx时，0hx即elnxxxx

即fxgx，当0xx时，0hx即elnxxxx即fxgx，因此若存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同的交点，故001bfxgx，此时exxb有两个不同的零点1010,(0)xxxx，此时lnxxb有两个不同的零点

0404,(01)xxxx，故11exxb，00exxb，44ln0xxb，00ln0xxb所以44lnxbx即44exbx即44e0xbxbb，故4xb为

方程exxb的解，同理0xb也为方程exxb的解又11exxb可化为11exxb即11ln0xxb即11ln0xbxbb，故1xb为方程lnxxb的解，同理0xb也为方程lnxxb的解，所以1004,,xxxbxb，而1b

，故0410xxbxxb即1402xxx.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.