【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第5章5.3.2第2课时《函数的最大(小)值与导数》(含答案).ppt，共(58)页，934.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值与导数情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.理解函数的最值的概念．

(难点)2．了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3．会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养．2．借助函数最值的求解问题，提升数学运

算的核心素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．情境导学·探新知返首页合作探究·释

疑难课堂小结·提素养课时分层作业5思考：(1)观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业61

．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业7思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最

大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业8函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可

以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业9当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，

若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业102．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的

步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f(x)的______与____处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．极值各极值端点最大值最小值情境

导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业111．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．()(2)开区间上的单调连续

函数无最值．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业12(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．()(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间

端点．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业13[提示](1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正

确．(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．(4)正确．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业142．函数f(x)＝xex在区间[2，4]上的最小值为()A．0B．1eC．4e4D．2e2C[f′(x)＝e

x－xexex2＝1－xex，当x∈[2，4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值4e4.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业153．如图所示，函

数f(x)导函数的图象是一条直线，则()A．函数f(x)没有最大值也没有最小值B．函数f(x)有最大值，没有最小值C．函数f(x)没有最大值，有最小值D．函数f(x)有最大值也有最小值C[由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．故选C

.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业164．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是()A．1B．2C．0D．－1A[设f(x)＝3x－4x3，∴f′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)．∵x∈[0，2]

，∴当x＝12时，f′(x)＝0.又f(0)＝0，f12＝1，f(2)＝－26，∴函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业175．当x＞0时，1－1x_____

___lnx．(填“≥”“≤”“＞”“＜”)≤[设S(x)＝1x－1＋lnx，则S′(x)＝x－1x2.令S′(x)＝0得x＝1.∵当x∈(0，1)时，S′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，S′(x)＞0，∴x＝1时S(x)取的极小值也是最小值．∴S(x)≥S(1)＝0，

即1x－1＋lnx≥0解得x＞0时，1－1x≤lnx．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业18合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19求函数的最值角度1不含参数的函数最值【

例1】求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈－π2，π2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f

′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业21从表中可

以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业22(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝12，又∵x∈－π2，π2，∴

2x∈[－π，π]．∴2x＝±π3.∴x＝±π6.∴函数f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业23fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋

π6.又fπ2＝－π2，f－π2＝π2.比较以上函数值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业24角度2含参数的函数最值

【例2】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．[思路探究](1)求导后，观察Δ的符号讨论单调性．

(2)根据第(1)问，讨论极值点与区间的关系，从而求出最值，进而求出取最值时x值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25[解](1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4

＋3a3，x1＜x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(

x1，x2)上单调递增．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜

4时，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0＜a＜1时

，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数

的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时

，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业29[跟进训练]1．已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)

求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30[解](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(

0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业31(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)

－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈0，π2时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减．所以对任意x

∈0，π2有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减．因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课

堂小结·提素养课时分层作业32用导数证明不等式【例3】当x＞0时，证明：不等式ln(x＋1)＞x－12x2.[思路探究]利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2.因此要证

明原不等式，即证f(x)＞0在x＞0时恒成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业33[证明]设f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0

，∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，∴当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－12x2成立．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34证明不等式fx＞gx，x∈a，b的步骤1将要证明

的不等式fx＞gx移项可以转化为证明fx－gx＞0；2构造函数Fx＝fx－gx，研究Fx的单调性；3若[fx－gx]′＞0，说明函数Fx＝fx－gx在a，b上是增函数.只需保证Fa＞0；4若[fx－g

x]′＜0，说明函数Fx＝fx－gx在a，b上是减函数.只需保证Fb＞0.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业35[跟进训练]2．证明不等式x－sinx＜tanx－x，x∈

0，π2.[证明]令f(x)＝tanx－2x＋sinx，x∈0，π2，则f′(x)＝sinxcosx′－(2x)′＋(sinx)′＝cos2x＋sin2xcos2x－2＋cosx情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素

养课时分层作业36＝1＋cos3x－2cos2xcos2x＝1－cos2x＋cos3x－cos2xcos2x＝1－cosx1＋cosx－cos2xcos2x＝1－cosxcosx＋sin2xcos2x.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业37

∵x∈0，π2，∴1－cosx＞0，cosx＋sin2x＞0，∴f′(x)＞0，∴f(x)在0，π2上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0，即tanx－2x＋sinx＞0，即x－sinx＜tanx－x.情境导学·探新知

返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业38已知函数最值求参数[探究问题]1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续不断的，那么它的最值一定在端点取得的吗？[提示]不一定．最值一般是在区间的端点和区间内的极值点处取得．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养

课时分层作业392．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立．如何处理这种问题？[提示]转化为函数在[a，b]上的最值问题，即c≤f(x)min或c≥f(x)max.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业403．对于函数y＝

f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？[提示]c≤f(x)max或c≥f(x)min.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·

提素养课时分层作业41【例4】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值是3，最小值为－29.求a，b的值．[思路探究]求导―→f′x＝0―→列表讨论―→列方程组―→求解a，b值情境导学·探新知返

首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业42[解]求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．∵a>0，∴x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如

下表：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业43由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f(0)＝b

＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.故a＝2，b＝3.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业441．(变条件

)本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．[解]由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－

29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.故a＝－2，b＝－29.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业452．(变条件，变结论)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒

成立，求实数m的取值范围．[解]∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－

t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业46当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g′(t)＋0－g(t)↗极大值1－m↘∴g(t)在(0，2)内

有最大值g(1)＝1－m.h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业47由函数的最值

来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：1求导数f′x，并求极值；2利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论

；3利用最值列关于参数的方程组，解方程组即可.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业48课堂小结提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业491．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开

区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业503．不等式恒成立问题常见的转化策略(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(

x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]min.(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)min＞g(x)max.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业511．函数y＝lnxx的最大值为()A．

e－1B．eC．e2D．10A[令y′＝1－lnxx2＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难

课堂小结·提素养课时分层作业522．若函数f(x)＝x3－x2－x＋2m在区间[0，2]上的最大值是4，则m的值为()A．3B．1C．2D．－1B[f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－13(舍去)或x＝1.又f(0)＝2m，f

(1)＝2m－1，f(2)＝2m＋2，则f(2)最大，所以2m＋2＝4，所以m＝1.故选B.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业533．设函数f(x)＝x3－x22－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有

f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．－∞，72[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－23.f(－1)＝112，f－23＝15727，f(1)＝72，f(2)＝7，∴m＜72.]情境导学·探新知返首页合作探

究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业544．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.①当

2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业55②当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝

f(0)＝0.③当0＜2a3＜2，即0＜a＜3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业56从而f(x)max＝8－4a0＜

a≤2，02＜a＜3.综上所述，f(x)max＝8－4aa≤2，0a＞2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业57点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!