【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册讲练课件第5章5.3.2第1课时《函数的极值与导数》(含答案).ppt，共(68)页，1.048 MB，由MTyang资料小铺上传

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第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值与导数情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业2学习目标核心素养1.了解极大

值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学

运算的核心素养.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业3情境导学探新知情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业4“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．请同学们思考：“山势有什

么特点？”由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业51．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的

函数值都小，f′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_____叫做函数y＝f(x)的极小值．0f′(x)＜0f′(x)＞0f(a)情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业6(2)极大值

点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，______叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为

______；极大值、极小值统称为_____．0f′(x)＞0f′(x)＜0f(b)极值点极值情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业7思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x

3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业82．求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果

在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是______；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________．极大值极小值情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业91．判断正误(

正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极大值一定比极小值大．()(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值．()(3)若f′(x0)＝0，则x0一定是极值点．()(4)单调函数不存在极值．()情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业10[提示](

1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；(3)若f′(x0)＝0，只有导函数的变号零点，x0才是极值点，故(3)错误；(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业112．函数f(x

)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业12C[设y＝f′(x)的图象与x轴的交

点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业133．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是()A．

y＝x3B．y＝x2＋1C．y＝|x|D．y＝2xBC[对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对

于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业144．函数f(x)＝x＋2cosx在0，π2上的极大值点为()A．0B．π6C．π3D．π2B[f′(x)＝1－2sinx．

令f′(x)＝0，∵x∈0，π2，∴x＝π6，x∈π6，π2时f′(x)＜0，x∈0，π6时，f′(x)＞0.∴x＝π6是f(x)在0，π2上的极大值点．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂

小结·提素养课时分层作业15合作探究释疑难情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业16不含参数的函数求极值【例1】求下列函数的极值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分

层作业17[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时

，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业18(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x

－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗情境导学·

探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业19∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业20一般地，求函数y＝f

x的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；情境导学·探新知返首页合作探究·释疑

难课堂小结·提素养课时分层作业214由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点

.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业22[跟进训练]1．求函数f(x)＝3x3－3x＋1的极值．[解]f′(x)＝9x2－3，令f′(x)＝0，得x1＝－33，x2＝33.当x变

化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业23x－∞，－33－33－33，333333，＋∞f′(x)＋0

－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业24根据上表可知x1＝－33为函数f(x)＝3x3－3x＋1的极大值点，极大值为f－33＝1＋233；

x2＝33为函数f(x)＝3x3－3x＋1的极小值点，极小值为f33＝1－233.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业25含参数的函数求极值【例2】已知函数f(x)

＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．[思路探究]求导―→解f′x＝0―→比较极值点大小―→进行讨论求极值情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业26[解]∵f(

x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝a2，x2＝a3.①当a＞0时，a3＜a2，则随着x的变化，f′(x)

，f(x)的变化情况如下表：情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业27x－∞，a3a3a3，a2a2a2，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝a3时，函数f(x)取得极大

值，为fa3＝a327；当x＝a2时，函数f(x)取得极小值，为fa2＝0.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业28②当a＜0时，a2＜a3，则随着x的变化，f′(x)

，f(x)的变化情况如下表：x－∞，a2a2a2，a3a3a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分

层作业29∴当x＝a2时，函数f(x)取得极大值，为fa2＝0；当x＝a3时，函数f(x)取得极小值，为fa3＝a327.综上，当a＞0时，函数f(x)在x＝a3处取得极大值a327，在x＝a2处取得极小值0；当a＜0时，函数f(x)在x

＝a2处取得极大值0，在x＝a3处取得极小值a327.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业30函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不

在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业312求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.

讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′x的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′x在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业32[跟进训练]2．若函数f(x)＝x－alnx(a∈

R)，求函数f(x)的极值．[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax＝x－ax.(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课

时分层作业33(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－alna，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0

时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业34由极值求参数的值或取值范围【例3】(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A．4或－3B．4或－1

1C．4D．－3(2)若函数f(x)＝12x2＋(a－1)x－alnx没有极值，则()A．a＝－1B．a≥0C．a＜－1D．－1＜a＜0情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业35[思路探究](1)由f′(1)＝0且f(1)＝10.求解a，b，注意检验极值的存在

条件．(2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业36(1)C(2)A[(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意得f′1＝3＋2a＋b＝0，f1＝1＋a＋b＋a2＝1

0，即2a＋b＝－3，a＋b＋a2＝9，解得a＝－3b＝3，或a＝4，b＝－11，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业37当a＝－3b＝3，时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意．

∴a＝4.故选C.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业38(2)f′(x)＝(x－1)ax＋1，x＞0，当a≥0时，ax＋1＞0，令f′(x)＜0，得0＜x＜1；令f′(x)＞0，得x＞1.f(x)在

x＝1处取极小值．当a＜0时，方程ax＋1＝0必有一个正数解x＝－a，情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业39①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时f′(x)＝x－12x≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．②若a≠－1，此正数解为x

≠1，f′(x)＝0必有2个不同的正数解，f(x)存在2个极值．综上，a＝－1.故选A.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业40已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号

.1已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f′x；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业412对于函数无极

值的问题，往往转化为f′x≥0或f′x≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业42[跟进训练]3．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)

的极大值．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业43[解]∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0，∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.(1)当m＝2时，f

′(x)＝(x－2)(3x－2)，由f′(x)＞0得x＜23或x＞2；由f′(x)＜0得23＜x＜2.∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结

·提素养课时分层作业44(2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞6；由f′(x)＜0得2＜x＜6.∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32.即函数f(x)的极大值为32.情境导学·探新知返首页合作

探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业45极值问题的综合应用[探究问题]1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业46[提示]f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．由f

′(x)＞0得x＜－2或x＞3，∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．由f′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f(x)的递减区间是(－2，3)．由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.∴结合函数单调

性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业472．当a变化时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有几解？[提示]方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝

2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a＞60或a＜－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；(3)当－65＜

a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业48【例4】已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，

求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业49[解]令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.

当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业50当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)

＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．由已知应有2＋a>0，－2＋a<0，解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2)．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课

时分层作业511．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？[解]由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a

＝2.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业522．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2.情境导学·

探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业533．(变条件、变结论)讨论方程lnxx＝a的根的情况．[解]令f(x)＝lnxx，则定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnxx2.令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表

：情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业54x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗1e↘情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业55因此，x＝

e是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)＝1e，函数f(x)没有极小值点．其图象如图．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业56∴当0＜a＜1e时，lnxx＝a有两个不同的根；当a＝1e或a≤0时，lnxx

＝a只有一个根；当a＞1e时，lnxx＝a没有实数根．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业57利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情

况；3在上述研究的基础上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业58课堂小结

提素养情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业591．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

2．已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定

系数法求解后必须验证极值点的合理性．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业603．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离

参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业61(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(

x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业621．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是

()A．在(1，2)上函数f(x)为增函数B．在(3，4)上函数f(x)为减函数C．在(1，3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业63D[由题图可知

，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业64

2．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故当x＝

－1时，f(x)取得极小值．]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业653．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______

__．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得

a＞2或a＜－1.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业664．已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－xe，则函数f(x)的极大值为______．2ln2[f′(x)＝2ef′ex－1e，故f′(e)＝2ef′ee－1e，解得f

′(e)＝1e，所以f(x)＝2lnx－xe，f′(x)＝2x－1e.由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函数f(x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，故f(x)的极大值为f(2e)＝2

ln2e－2＝2ln2.]情境导学·探新知返首页合作探究·释疑难课堂小结·提素养课时分层作业67点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!