【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)14《圆的切线性质和证明》（教师版）.docx，共(13)页，1.133 MB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第14讲圆的切线性质和证明1．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定(C)A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交相离2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙

O的位置关系是____相离____．3．在Rt△ABC中，∠A＝30°，直角边AC＝6cm，以点C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是________．[解析]如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵∠A＝30°，AC＝6cm，∴

CD＝3cm.∵CD＝3cm＝r，∴⊙C与AB相切．4.以A(2,3)为圆心的圆与两坐标轴共有三个公共点,则☉A的半径是3或.知识点一切线的判定1．切线的定义：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆

的切线．2．证明直线是圆的切线的步骤：(1)确定直线与圆是否有公共点；(2)若有公共点，则连接过公共点的半径(或直径)，证明半径(或直径)与这条直线垂直．若没有公共点，则过圆心作这条直线的垂线段，证明该垂线段的

长等于半径．注意：证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”．课前训练知识精讲-2-3.切线的判定方法(1)有切点,连半径,证垂直;（2）无切点,作垂直,证半径知识点二切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径．温馨提示

：已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”．1.1、下列说法中正确的是(B)A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C．

垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线高频考点一切线的判定-3-1.2、如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝________°时，AC才能成为

⊙O的切线．[解析]∵在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴当∠CAB＝60°时，OA⊥AC，此时AC为⊙O的切线．1.3、如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．证明：∵BC平分

∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．1.4、如图,已知AB是☉O的直径,过O点作OP⊥AB,交弦AC于点D,交☉O于点

E,且使∠PCA=∠ABC.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的长.(1)证明:如图,连接OC,因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,所以∠BCO+∠ACO=90°.因为

OC=OB,所以∠B=∠BCO.因为∠PCA=∠ABC,所以∠BCO=∠ACP,所以∠PCA+∠ACO=90°,所以∠OCP=90°,即OC⊥PC.所以PC是☉O的切线.(2)解:因为∠P=60°,PC=2,∠PCO=90°,所以∠POC=30°,OP=2PC=4.-4-在Rt△PCO中

,由勾股定理,得OC===2.因为OE=OC=22,所以PE=OP-OE=4-22.1.5、已知：如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为M.求证：CD是小圆的切线.证明：如图，连接OM，

OA，OC，过点O作ON⊥CD于点N.∵AB与小圆相切，∴OM⊥AB，∴M，N分别为AB，CD的中点，∴AM＝BM＝12AB，CN＝DN＝12CD.又∵AB＝CD，∴AM＝CN.在Rt△AOM和Rt△C

ON中，OA＝OC，AM＝CN，∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL)，∴OM＝ON，∴CD是小圆的切线．【变式训练1-1】如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定直线AT是☉O的切线的是(D)A.AB=4,AT=3,BT

=5B.∠B=45°,AB=ATC.∠B=55°,∠TAC=55°D.∠ATC=∠B【变式训练1-2】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．解：(1)证明：如图，连

接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.2-5-∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)由(1)及

已知得∠OCD＝90°，OB＝OC＝3，CD＝4，在Rt△OCD中，根据勾股定理，得OD＝5，∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.【变式训练1-3】如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．证明：方法一：

连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.又∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．方法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂

足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．[来源:学_科_网]2.1、如图，P为⊙O外一点，PA为⊙

O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为(A)A．3B．33C．6D．9高频考点二切线的性质-6-2.2、如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB

＝50°，则∠BOD等于()A．40°B．50°C．60°D．80°[解析]∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝90°－∠ACB＝90°－50°＝40°.由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝80°.故选D

.2.3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.求证：∠A＝∠ADE.证明：连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵

∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠A＝∠ADE.2.4、如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆

心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来

噪声影响的时间．解.(1)过点A作ON的垂线段，交ON于P点，-7-在Rt△AOP中，∠APO＝90°，∠POA＝30°，OA＝80米，所以AP＝80×12＝40米，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是40米．(2)以A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于点D、E，在Rt△AD

P中，∠APD＝90°，AP＝40米，AD＝50米，所以DP＝AD2－AP2＝502－402＝30(米)，同理可得EP＝30米，所以DE＝60米．又18千米/时＝300米/分，所以60300＝0.2分＝12秒，即：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响

的时间为12秒．【变式训练2-1】如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．[解析]连接OB，根据切线的性质可知OB⊥AB.设⊙O的半径为r，根据勾股定理可得r2＋A

B2＝(r＋AC)2，即r2＋122＝(r＋8)2，解得r＝5.【变式训练2-2】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，若∠OPA＝40°，求∠ABC的度数．解：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∴∠BAP＝90°.∵∠OPA＝40°，∴∠A

OP＝180°－90°－40°＝50°，∴∠ABC＝12∠AOP＝12×50°＝25°【变式训练2-3】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,点O在AB上,OB=2,以OB为半径的☉O与AC相切于点D,交BC于点E,求弦BE的长.解:如图,连接OD,因为☉O与AC相

切于点D,所以OD⊥AC.所以∠ODC=90°.作OF⊥BE于点F,所以∠OFC=90°,BE=2BF.-8-因为∠C=90°,所以∠ODC=∠C=∠OFC=90°,所以四边形ODCF是矩形,所以FC=OD=OB=2.所以B

F=BC-FC=3-2=1.所以BE=2BF=2.1.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是______．(结果保留π)[解析]如图，设AB与小圆切于点C，连接OC，OB.∵AB与小圆切于点C，∴

OC⊥AB，∴BC＝AC＝12AB＝12×8＝4.∵在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋BC2，∴圆环(阴影)的面积＝π·OB2－π·OC2＝π(OB2－OC2)＝π·BC2＝16π.故答案是16π.2.如图，点O在

∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切．(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．(1)证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.又∵OP平分∠APB，∴

OD＝OC.∴D在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．(2)解：过C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP＝OC2＋CP2＝5.∵S△OCP＝12OC·CP＝12OP·CF，∴CF＝125.在Rt△COF中，OF＝CO2－CF

2＝95，∴FE＝3＋95＝245.在Rt△CFE中，CE＝CF2＋EF2＝1255.提高训练-9-3.如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF.(1)求证：AD⊥ED；(2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OC，如图．

∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD.∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥ED，∴AD⊥ED.(2)设OC交BF于点H，如图．∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，易得四

边形CDFH为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8.在Rt△ABF中，AB＝AF2＋BF2＝22＋82＝217，∴⊙O的半径为17.4．已知△ABC内接于

⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________或者________；(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF

是⊙O的切线吗？试证明你的判断．解：(1)答案不唯一，如①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC.理由：①∵∠BAE＝90°，∴AE⊥AB.又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．-10-②∵AB是⊙O的直径，∴∠AC

B＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵∠EAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，即AE⊥AB.又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．(2)EF是⊙O的切线．证明：如图，作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠B＋∠CAM＝∠M

＋∠CAM＝90°.∵∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠CAM＝90°，即AE⊥AM.又∵AM是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．5.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，

D为切点，交CB的延长线于点E.(1)求证：DF⊥AC；(2)求CG的长.解：(1)证明：如图，连接OD.∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF.∵AC＝BC，∴∠DBC＝∠A.∵OD＝OB，∴∠DBC＝∠ODB，∴∠A

＝∠ODB，∴OD∥AC，∴DF⊥AC.-11-(2)如图，连接CD，BG.∵BC是⊙O的直径，∴∠BGC＝∠BDC＝90°.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝52－32＝4.∵AB·CD＝2S△ABC＝AC·BG，∴BG＝AB·CDAC＝6×45＝2

45，∴CG＝BC2－BG2＝52－（245）2＝75.6.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：

∠BAF＝∠DAE.证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF

.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，-12-又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180

°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.1.下列关于圆的切线的说法正确的是(D)(A)垂直于圆的半径的直线是圆的切线(B)与圆只有一个公共点的射线是圆的切线(C)经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线(D)如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么

这条直线是圆的切线2.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC与☉O相交于D,连接AD,OD(AC≠AB),则图中∠B的余角(不再添加任何辅助线)有(C)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3.如图

,过☉O上一点C作☉O的切线,交☉O直径AB的延长线于点D.若∠D=40°,则∠A的度数为(B)(A)20°(B)25°(C)30°(D)40°第2题图第3题图第4题图4.如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于(

A)(A)20°(B)35°(C)40°(D)55°5.如图,在△ABC中,∠BAC=28°,以AB为直径的☉O交AC于点D,DE∥CB,连接BD,若添加一个条件,使BC是☉O的切线,则下列四个条件中不符合的是(D)(A)DE⊥AB(B)∠EDB=28°(C)∠ADE=

∠ABD(D)OB=BC课后作业-13-第5题图第6题图6.如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C=45度.7.如图,已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与

AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则BP的长为.8.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.(1)求证:BD=BF;(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.(1)证明:因为AB

是☉O的直径,所以∠BDA=90°.所以BD⊥AC.因为BF是☉O的切线,所以AB⊥BF.因为CF∥AB,所以CF⊥BF,∠FCB=∠ABC.因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC,所以∠ACB=∠FCB.又因为BD⊥AC,BF⊥CF

,所以BD=BF.(2)解:因为AB=10,CD=4,所以AC=AB=10,AD=AC-CD=10-4=6.在Rt△ADB中,由勾股定理,得BD===8,在Rt△BDC中,由勾股定理,得BC===4.