【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)07《二次函数与面积问题》（教师版）.docx，共(12)页，625.798 KB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第7讲二次函数与面积问题如图，在平面直角坐标系中，抛物线2yxbxc经过点(1,8)并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为(3,0)．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求CPB的面积．注：抛物线2(0)yaxbxca

的顶点坐标是(2ba，24)4acba解：（1）抛物线2yxbxc经过点(1,8)与点(3,0)B，18930bcbc解得：43bc抛物线的解析式为：243yxx（2）2243(2)1yxxx，(2

,1)P过点P作PHY轴于点H，过点B作//BMy轴交直线PH于点M，过点C作CNy轴叫直线BM于点N，如图所示：CPBCHPPMBCNBCHMNSSSSS矩形111342411332223课前训练-2-利用宽、高原理求“两

定一动”型三角形面积，示意图如图，在△ABC中，三角形的一个顶点在抛物线上(一动点)，另两个顶点是定点(两定点)，则可以将△ABC的面积转化为S△AQC＋S△AQB＝12AQ·(xQ－xC)＋12AQ·(xB－xQ)＝12AQ·(xB－xC)．故求△AB

C面积的最大值就转化为求线段AQ的最大值，实质就是类型之一中线段的最值问题．1、如图,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点(,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).(1)求抛物线的解析式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为

顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标.解:(1)因为B(2,t)在直线y=x上,所以t=2.所以点B的坐标为(2,2).因为抛物线经过A(,0),B(2,2)两点,所以解得所以抛物线的解析式是y=2x2-3x.(2)如图,过点C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,知识精讲高频考点一二次函数与

三角形定值存在问题-3-过点B作BF⊥CD于点F,因为点C是抛物线上第四象限的点,所以设C(m,2m2-3m),则E(m,0),D(m,m),所以OE=m,BF=2-m,CD=m-(2m2-3m)=-2m2+4m.所以S△OBC=S△

CDO+S△CDB=CD·OE+CD·BF=CD·(OE+BF)=(-2m2+4m)(m+2-m)=-2m2+4m.因为△OBC的面积为2,所以-2m2+4m=2,解得m1=m2=1.所以点C的坐标为(1,-1).【变式训练1-1】如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A

(-1,0),B(4,0),交y轴于点C;(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使S△ABC=S△ABD?若存在请求出点D坐标;若不存在请说明理由.解:(1)因为抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(4,0),

所以解得，所以抛物线的解析式是y=-x2+x+2.(2)存在.理由如下:由题意可知C(0,2),A(-1,0),B(4,0),所以AB=5,OC=2,所以S△ABC=AB·OC=×5×2=5.因为S△ABC=S△ABD,所

以S△ABD=×5=.设D(x,y),所以AB·|y|=×5|y|=,解得|y|=3.当y=3时,由-x2+x+2=3,解得x1=1,x2=2,此时点D的坐标为(1,3)或(2,3);-4-当y=-3时,由-x2+x+2=-3,解得x1=5,x2=-2(不合题意,舍去),此时点D的坐标为

(5,-3).综上可知存在满足条件的点D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,-3).2、如图,抛物线2-23-212xxy与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称.(1)求点A,B,C的坐

标;(2)求直线BD的解析式;(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P,使△PBD的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)解方程x2-x-2=0,得x1=-1,x2=4.

所以点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0).当x=0时,y=-2,所以点C的坐标为(0,-2).(2)因为点D与点C关于x轴对称,所以点D的坐标为(0,2).设直线BD的解析式为y=kx+b,则解得所以直线BD的解析式为y=-x+2.(3)存在.理由如下:如图,作PE∥y

轴交BD于E,高频考点二二次函数与三角形最值存在问题-5-设P（m,m2-m-2）,则E（m,-m+2）,所以PE=-m+2-（m2-m-2）=-m2+m+4.所以S△PBD=PE·(xB-xD)=×（-m2+m+4）×4=-m2+2m+8=-(m-1)2+9.因为-1<0,所以m=1时,△

PBD的面积最大,面积的最大值为9.所以点P的坐标为(1,-3).【变式训练2-1】如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求此抛物线的解析式(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．解.(1)∵该抛物线过点C(0，

－2)，设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得16a＋4b－2＝0，a＋b－2＝0.解得a＝－12，b＝52.∴此抛物线的解析式为y＝－12x2＋52x－2.(2)设D点的横坐标为t(0<t<4)，则D点的纵坐标为－1

2t2＋52t－2.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y＝12x－2.∴E点的坐标为(t，12t－2)．∴DE＝－12t2＋52t－2－(12t－2)＝－12t2＋2t.∴S△DCA＝12×(－12t2＋2t)×4＝－t2＋4

t＝－(t－2)2＋4.∴当t＝2时，△DCA面积最大．∴D(2，1)．-6-3、如图，抛物线过x轴上两点(9,0)A，(3,0)C，且与y轴交于点(0,12)B．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．①是否存在这样的点M，使得四边

形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．解：（1）因抛物线过x轴上两点(9,0)A，(3,0

)C故设抛物线解析式为：(3)(9)(0)yaxxa．又(0,12)B1227a49a2448(3)(9)12993yxxxx；（2）如图2，设直线AB的解析式为(0)ykxbk

．(0,12)B，(9,0)A，1209bxb，解得，4312kb，则直线AB的函数关系式为4123yx．设点M的横坐标为x，则4(,12)3Mxx，248(,12)93Nxxx．①若

四边形OMNB为平行四边形，则12MNOB2448(12)(12)12393xxx即29270xx△0，此方程无实数根，不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．②72ACBABN

ABNCBNASSSS四边形高频考点三二次函数与四边形形最值存在问题-7-54AOBS，6OBNSx，219||212542OANNSyxx26(21254)54ABNOBNOANAOBSSSSxxx

229812182()22xxx当92x时，ABNS最大值812此时9(2M，6)，2252CBNAS四边形最大．【变式训练3-1】如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于(1,0)A、(2,0)B两点，与y轴交于点(0,2)C，过A、C画直线．（1）求二次函

数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PAPC，求OP的长；（3）若M为线段OB上的一个动点，过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形ACNB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACNB面积的最大值？【分析】（1）先根据点的特点，设成交点式，用待定系数法

求抛物线的解析式，（2）设出点P的坐标，表示出1PAm，222PCm，由PAPC，求出m即可；（3）把四边形分成AOC，梯形OCNM，BMN，分别求出面积，确定出函数解析式即可．解：（1）抛物线2yaxbxc与x轴交于(1,0)A、(2,0)B两点，

设抛物线解析式为(1)(2)yaxx，抛物线与y轴交于点(0,2)C，21(2)a，1a，抛物线解析式为2(1)(2)2yxxxx，（2）点P在x轴正半轴上，设点(Pm

，0)(0)m，1PAm，222PCm，-8-PAPC，2212mm，32m，32OPm；（3）如图，M为线段OB上的一个动点，设(,0)Mn，(02)n过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，2(,2)n

nnn1OA，2OC，OMn，222|2|(2)2MNnnnnnn，2MBn，AOCBMNACNBOCNMSSSS四边形梯形111()222OAOCOCMNOMMBMN，2211112[2(2)](2)(2)222nnnnnn

223nn2(1)4n，02n，当1n时，ACNBS四边形面积最大，最大值为4，(1,0)M1、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)yaxbxca的顶点坐标为(3,6)C，并与y轴交于点(0,3)B，点A是对称轴与x

轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限BP，AP，连接，求ABP的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作30ACD交抛物线于点D，求出D点的坐

标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使60CQD？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．提高训练-9-解：（1）抛物线顶点坐标为(3,6)C，可设抛物线解析式为2(3)6yax，将(0,3)B代入可得13a

，21233yxx；（2）连接PO，3BO，3AO，设21(,23)3Pnnn，ABPBOPAOPABOSSSS，32BPOSn，219322APOSnn，92ABOS，2219

1981()22228ABPBOPAOPABOSSSSnnn，当92x时，ABPS的最大值为818；（3）存在，设点的坐标为21(,23)3ttt，过D作对称轴的

垂线，垂足为G，则3DGt，22116(23)2333CGtttt，30ACD，2DGDC，在RtCGD中，223CGCDDGDG，213(3)233ttt，333t或3t（舍)(33D，3)，3AG，33GD，连接A

D，在RtADG中，226ADAGGD，6ADAC，120CAD，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，1602CQDCAD，设(0,)Qm，AQ为圆A的半径，22229AQDAQOm，22AQAC，2936m，33m或3

3m，综上所述：Q点坐标为(0，33)或(0,33)．2、如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝12x－a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，

并用a表示点M，A的坐标．(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．(3)在抛物线y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点

Q的坐标；若不存在，请说明理由．-10-解：(1)由题意联立y＝－x2－2x＋a，y＝12x－a，整理得2x2＋5x－4a＝0，由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞－2532.∵a≠0，∴a＞－2532且a≠0

.令x＝0,得y＝a，∴A(0，a)．由y＝－(x＋1)2＋1＋a，得M(－1，1＋a)．(2)设直线MA为y＝kx＋b，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得a＝b，1＋a＝－k＋b，解

得k＝－1，b＝a，故直线MA为y＝－x＋a.联立y＝－x＋a，y＝12x－a，解得x＝4a3，y＝－a3.∴N4a3，－a3.由于P点是N点关于y轴的对称点，因此P－4a3，－a3，代入y＝－x2－2x＋a

，得－a3＝－169a2＋83a＋a，解得a＝94或a＝0(舍去)．∴A0，94，C0，－94，M－1，134，∴AC＝92.∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC＝12AC.|xP|－12AC.|xD|＝12×

92×(3－1)＝92.(3)①当点Q1在y轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得AC与Q1N相互平分，则点Q1与N关于原点(0，0)中心对称，而N4a3，－a3，故Q1－4a3，

a3代入y＝－x2－2x＋a，得a3＝－169a2＋83a＋a，解得a＝158或a＝0(舍去)，∴Q1－52，58.②当点Q2在y轴右侧时，由四边形ACQ2N为平行四边形，得NQ2∥AC且NQ2＝AC，而N4a3，－a3，A(0，a)，C

(0，－a)，故Q24a3，－7a3.代入y＝－x2－2x＋a，得－7a3＝－169a2－83a＋a，解得a＝38或a＝0(舍去)，-11-∴Q212，－78.∴当点Q的坐标为－52，58或12，－78时，Q，

A，C，N四点能构成平行四边形．1、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－3，0)和点B，交y轴于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点P在抛物线上，且S△AOP＝4S△BOC，求点P的坐标．解：(1)把A(－3，0)

，C(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得－9－3b＋c＝0，c＝3，解得b＝－2，c＝3.故该抛物线的函数解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1

，∴B(1，0)．∵S△AOP＝4S△BOC，∴12×3×|－x2－2x＋3|＝4×12×1×3.整理，得(x＋1)2＝0或x2＋2x－7＝0，解得x＝－1或x＝－1±22.则符合条件的点P的坐标为(－1，4)或(－1＋22，－4)或(－1－22，－4)．2、如图所示，

抛物线y＝ax2＋bx＋c与两坐标轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)F(x，y)是抛物线上的动点，当x>1，y>0时，求△BDF面积的最大值．解：(1)

将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)分别代入y＝ax2＋bx＋c，课后作业-12-得a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，c＝3，解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2

x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)．(2)过点F作FF1∥y轴，交BD于点F1，如图所示．设直线BD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将(3，0)，(1，4)分别代入y＝mx＋n，得3m＋n＝0，m＋n＝4，解

得m＝－2，n＝6，∴直线BD的解析式为y＝－2x＋6.∵点F的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，∴点F1的坐标为(x，－2x＋6)，∴FF1＝－x2＋2x＋3－(－2x＋6)＝－x2＋4x－3

，∴S△BDF＝12FF1·(xB－xD)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∵－1＜0，∴当x＝2时，S△BDF取得最大值，最大值为1.