【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)06《二次函数与线段最值问题》（教师版）.docx，共(10)页，318.276 KB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第6讲二次函数与线段最值问题已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图22－1－14，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y＝14x2

＋1上一个动点，求△PMF周长的最小值．解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝14x2＋1于点P，此时△PMF的周长最小．∵F(0，2)，M(3，3)，∴ME＝3，FM＝（3－0）2＋（3－2）2＝2，∴△PMF周长的最小值＝M

E＋FM＝3＋2＝5.作图的问题：已知对称轴及对称轴同侧两点，在对称轴上找一点使其到已知两点距离之和最小，通常作其中一点关于对称轴的对称点，对称点与另一个点的连线与对称轴的交点即为所求点．求值的问题：如图4－ZT－1，求直线AB′的函数解析

式，点P的横坐标就是对称轴上点的横坐标，将点P的横坐标代入直线AB′的函数解析式得其纵坐标，从而得点P的坐标．课前训练知识精讲-2-1、二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－

12x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．解.(1)∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1

，4)，B(1，0)，∴4＝－1－m＋n，0＝－1＋m＋n.解得m＝－2，n＝3.∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.(2)∵y＝－12x＋b经过点B，∴－12×1＋b＝0.解得b＝12.∴y＝－12x＋12.设M(m，－12m＋12)，

则N(m，－m2－2m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－(－12m＋12)＝－m2－32m＋52＝－(m＋34)2＋4916.∴MN的最大值为4916.【变式训练1-1】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A，B两

点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值．高频考点一二次函数与线段最值问题-3-解：(1)∵二次函数图象的顶点C的

坐标为(1，4)，∴可设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋4.∵点B(3，0)在该二次函数的图象上，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴点D的坐标为(0，3)．设直线BD的解析式为

y＝kx＋3，把点B的坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直线BD的解析式为y＝－x＋3.(2)设点P的横坐标为m(0<m<3)，则P(m，－m＋3)，M(m，－m2＋2m＋3)，∴PM＝－m2＋2m＋3

－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－32)2＋94，∴当m＝32时，PM长度的最大值为94.2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1

)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，得4a

－2b＋c＝－4，4a＋2b＋c＝0，c＝0，解这个方程组，得a＝－12，b＝1，c＝0.所以解析式为y＝－12x2＋x.高频考点二二次函数与线段和最值问题-4-(2)由y＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋12，可得抛物线的对称轴为直线x

＝1，并且对称轴垂直平分线段OB，∴OM＝BM.∴OM＋AM＝BM＋AM.连接AB交直线x＝1于M点，则此时OM＋AM最小．过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB＝AN2＋BN2＝42＋42＝42，因此OM＋AM的最小值为42.【变式训练2-

1】如图，已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．[解.(1

)抛物线过点G(2，2)时，－1m(2＋2)(2－m)＝2，解得m＝4.(2)∵m＝4，∴y＝－14(x＋2)(x－4)．令y＝0，－14(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4.则A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线

l：x＝－2＋42＝1.令x＝0，则y＝2，所以C(0，2)．∵B点与A点关于对称轴对称，∴连接BC，BC与直线l的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC所在直线为y＝－12x＋2.当x

＝1时，y＝32，∴H(1，32)．3、如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3.高频考点三二次函数与三角形周长最值问题-5-(1)求抛物线的解析式．(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP

的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知条件得A(－2，0)，C(0，3)，代入二次函数解析式，得c＝3，－2－2b＋c＝0.解得b＝12，c＝3.∴抛

物线的解析式为y＝－12x2＋12x＋3.[来源:学科网ZXXK](2)连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点．设直线AD的解析式为y＝kx＋t.由已知得－2k＋t＝0，2k＋t＝2.解得k＝12，t＝1.∴直线AD的解析式为y＝12x＋1.∵对称轴为直线x＝－b2

a＝12，将x＝12代入y＝12x＋1，得y＝54.∴P(12，54)．【变式训练3-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数y＝45x2＋

bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)F，G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D，E，F，G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值．解.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y＝45x2＋bx＋c，

得20＋5b＋c＝0，c＝4，解得b＝－245，c＝4.故二次函数的表达式为y＝45x2－245x＋4.(2)延长EC至E′，使E′C＝EC，延长DA至D′，使D′A＝DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G-6-点，GD＝GD′，EF＝E′F，(DG＋

GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE，由E(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E(5，－2)．由勾股定理，得DE＝22＋12＝5，D′E′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE＝313＋5.1、如图所示，直线y

＝12x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离．解：(1)在y＝12x

－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，∴16a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝0，c＝－2，解得a＝－12，

b＝52，c＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋52x－2.(2)设点D的坐标为(x，y)，则y＝－12x2＋52x－2(1＜x＜4)．在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，由勾股定理得AC＝25.如图所示，连接

CD，AD.过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，则FD＝x，提高训练-7-DG＝4－x，OF＝AG＝y，FC＝y＋2.S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG＝12(AG＋FC)·FG－12FC·FD

－12DG·AG＝12(y＋y＋2)×4－12(y＋2)·x－12(4－x)·y＝2y－x＋4.将y＝－12x2＋52x－2代入，得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，∴D(2，1)．∵S△ACD＝12AC·

DE，AC＝25，∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，则DE的最大值为412AC＝412×25＝455.∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2，1)，最大距离为455.2、如图，已知抛物线y＝28(x＋2)(x－4)与x轴

交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．[解：(1)令y＝0，得28(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4；令x＝0，得y＝－2.∴A(

－2，0)、B(4，0)、C(0，－2)．(2)过点A(－2，0)作y轴的平行线l，则点B关于l的对称点B′(－8，0)，又M(1，－982)，连接B′M与l的交点即为使MN＋BN值最小的点．设直线B′M的

解析式为y＝kx＋b，-8-则0＝－8k＋b，－982＝k＋b，解得k＝－182.b＝－2.∴y＝－182x－2.∴当x＝－2时，n＝－342.1、如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，P(

m，n)是线段AD上的动点．(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m之间的关系式，当m为何值时，PQ最长？解：(1)把(1，0)，(－3，0)分别代入y＝ax2＋bx－3，得

a＋b－3＝0，9a－3b－3＝0，解得a＝1，b＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，∴D(－2，－3)．设直线AD的解析式为y＝kx＋c，将A(1，0)，D(－2，－3)分别代入，得k＋c＝0，

－2k＋c＝－3，解得k＝1，c＝－1，∴直线AD的解析式为y＝x－1.(2)根据题意，得点P的坐标为(m，m－1)，点Q的坐标为(m，m2＋2m－3)，(－2≤m≤1)课堂小测-9-∴l＝(m－1)－(m2＋2m－3)＝－m2－m＋2＝－(m＋12)2

＋94，当m＝－12时，l最大＝94.故l与m之间的关系式为l＝－m2－m＋2(－2≤m≤1)，当m＝－12时，PQ最长．2．如图，抛物线y＝12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的

坐标；(2)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y＝12x2＋bx－2上，∴12×(－1)2＋b×(

－1)－2＝0，解得b＝－32，∴抛物线的解析式为y＝12x2－32x－2.∵y＝12x2－32x－2＝12(x－32)2－258，∴顶点D的坐标为(32，－258)．(2)△ABC是直角三角形．证明如下：当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，则OC＝2.当y＝0时，1

2x2－32x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，则B(4，0)，∴OA＝1，OB＝4，∴AB＝5.∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC

是直角三角形．(3)由题意得A，B两点关于对称轴对称，故直线BC与对称轴的交点即为点M.-10-设直线BC的解析式为y＝kx－2.∵B(4，0)，∴4k－2＝0，解得k＝12，∴直线BC的解析式为y＝12x－2.当x＝32时，y＝12×32－2＝－54.∴点M的坐标为(32，

－54)．