【文档说明】(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)05《实际问题与二次函数》（教师版）.docx，共(20)页，898.686 KB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第5讲实际问题与二次函数1.华润万家超市某服装专柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售

这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，设降价x元，根据题意列方程得()A．(40﹣x)(20+2x)＝1200B．(40﹣x)(20+x)＝1200C．(50﹣x)(20+2x)＝1200D．(90﹣x)(20+2

x)＝1200【答案】A试题分析：总利润=单件利润×数量；单件利润=90－50－x，数量=20+2x，则（40－x）（20+2x）=1200．2．某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=−x2+70x−800，要想获得最大利润，

则销售单价为（）A．30元B．35元C．40元D．45元【答案】B【解析】∵y=﹣x2+70x﹣800=﹣（x﹣35）2+425，∴当x=35时，y取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，销售利

润最大，故选：B．3.服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()A．150B．160C．170D．180[解析]设利润为w元，则w＝(x－1

00)(200－x)＝－x2＋300x－20000＝－(x－150)2＋2500(100≤x≤200)，故当x＝150时，w有最大值．知识点二次函数的最值在销售问题中的应用利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面

．此类问题一般是先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数解析式，求出这个函数解析式的顶点坐标，即求得最大利润．课前训练知识精讲-2-1.1、某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双

肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最

大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？解：(1)w＝()x－30·y＝(x－30)·(－x＋60)＝－x2

＋90x－1800(30≤x≤60，且x为整数)．(2)w＝－x2＋90x－1800＝－()x－452＋225.∵－1＜0，∴当x＝45时，w有最大值，最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，

最大利润是225元．(3)当w＝200时，可得方程－()x－452＋225＝200，解得x1＝40，x2＝50.∵50＞42，∴x2＝50不符合题意，舍去．答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．1.2、为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰

富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房，根据合作社提供的房间单价x(元/间)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)合作社规定每个房间价格不低

于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，当房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由题意得70k＋b＝75，80k＋b＝7

0，解得k＝－12，b＝110.高频考点一简单销售问题中的利润最值问题-3-即y与x之间的函数关系式为y＝－12x＋110.(2)设利润为W元，则W＝(x－20)y＝(x－20)(－12x＋110)＝－12(x－120)2＋5000.∵60≤x≤150，∴当x＝12

0时，W最大＝5000.即当房价定为120元/间时，合作社每天获利最大，最大利润为5000元．【变式训练1-1】某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本价，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函

数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数解析式；(2)设该商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变

化的情况，并指出售价为多少元/千克时获得最大利润，最大利润是多少．解：(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，且k≠0.由表中的数据得50k＋b＝100，60k＋b＝80，解得k＝－2，b＝200.所以y＝－2x＋200(40≤x≤80)．(2)根据题意得W＝y

·(x－40)＝(－2x＋200)·(x－40)＝－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)．(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1800，所以当售价x在40≤x≤70的范围内时，利润W随着x的增

大而增大；当售价x在70<x≤80的范围内时，利润W随着x的增大而减小．所以当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1800.即售价为70元/千克时获得最大利润，最大利润是1800元．2.1、某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销

售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大．最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000

元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)高频考点二薄利多销问题-4-解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－2750

0，∴y＝－5x2＋800x－27500(50≤x≤100)．(2)y＝－5x2＋800x－27500＝－5(x－80)2＋4500，∵a＝－5<0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500.∴销售单价为80元时，每天的销售利润最大

，最大销售利润为4500元．(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解这个方程，得x1＝70，x2＝90.∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50(－5x＋550)≤7000，解这个不等式，得

x≥82.∴82≤x≤90.∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．2.2、利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息，如图.[来源:学§科§网Z§X§X§K]请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品5

00件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品的零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天均可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都降m元/件，在不考虑其他因素的条件下，当m

定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？解．(1)甲商品的进货单价是2元/件，乙商品的进货单价是3元/件．(2)当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润

是1705元．-5-【变式训练2-1】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的

取值范围．(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？解析(1)每件商品的售价上涨x元时，每件商品的利润为(50＋x－40)元，每个月的销售量为(210－10x)件，可列出解析式．(

2)利用二次函数的性质可求出最大利润．解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0<x≤15且x为正整数)．(2)y＝－10(x－5.5)2＋2402.5∵a＝

－10<0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.又∵0<x≤15，且x为正整数，当x＝5时，50＋x＝55，y＝2400(元)；当x＝6时，50＋x＝56，y＝2400(元)．∴当售价定为每件5

5元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．注意：本题易出现的错误是解答第(2)问时直接由x＝5.5时，y有最大值2402.5而得出结论：当售价定为每件55.5元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2402.5元．出现这种错误的原

因是忽略了自变量的取值范围，本题中的x不仅要求0<x≤15，而且应为正整数．【变式训练2-2】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.

5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（）A．(3+x)(4-0.5x)=15B．(x+3)(4+0.5x)=15C．(x+4)(3-0.5x)=15D．(x+1)(4-0.5x)=15【答案】A【详解】试题解析：设每盆应该多植x株，由题意

得（3+x）（4-0.5x）=15，故选A．1.某商店销售某件商品所获得的利润y(元)与所卖的件数x之间的关系满足y＝－x2＋1000x－200000，则当0<x≤450时的最大利润为()A．2500元B．4750

0元C．50000元D．250000元[解析]因为抛物线的对称轴为直线x＝500，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，因此在0<x≤450的范围内，当x＝450时，函数有最大值为47500.提高训练-6-2.某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时

，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，„，为了投资少而获利大，每个每天应提高（）A．4元或6元B．4元C．6元D．8元【答案】C解析:设每个伞收费应提高x个2元，获得利润为y元，根据题意得：y=(10+2x)(100−10

x)=−20x2+100x+1000=−20(x−52)2+1125，∵x取整数，∴当x=2或3时，y最大，当x=3时，每个伞收费提高6元，伞的个数最少，即投资少，∴为了投资少而获利大，每个伞收费应提高6元.故选C.3.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD，线段

CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；(3)当该产品产量

为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式为y1＝k1x＋b1.因为y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与

(90，42)，所以b1＝60，90k1＋b1＝42.解方程组得k1＝－0.2，b1＝60.这个一次函数的解析式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．(3)设y2与x之间的函数解析式为y2＝k2x＋b2.因为y2＝k2x＋

b2的图象过点(0，120)与(130，42)，-7-所以b2＝120，130k2＋b2＝42.解方程得k2＝－0.6b2＝120.这个一次函数的解析式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．设产量为xkg

时，获得的利润为W元．当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2250.所以，当x＝75时，W的值最大，最大值为2250.当90≤x≤130时，W＝x[(－0

.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2535.当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.由－0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，所以90≤x≤130时，W≤2160.因此，当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大

利润是2250元．4.佩佩宾馆重新装修后，有50间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为140元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加10元时，就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出40元的各项费用．设每间房每天的定价增加x元，宾馆获利为y元．（1

）求y与x的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；（2）物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房价为多少元时宾馆可获利8000元？解：（1）由题意得(14040)(50)10xyx2140500010xx答：y与x

的函数关系式为：2140500010yxx；（2）由（1）可得：2211405000(200)90001010yxxx令8000y，即218000(200)900010x，解

得：300x或100x1401402x„，解得：140x„，100x，此时每间房价为：140100240（元)答：每间房价为240元时，宾馆可获利8000元．1、将进货价为70元/件的某种商品按零售

价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，则每日的利

润y(元)关于x(元)的函数关系式是y＝________________(不课后作业-8-要求写自变量的取值范围)，所以每件降价________元时，每日获得的最大利润为________元．答案：(30－x)(20＋x)－x2＋10x＋60056252、某商店销售一款进价为每件40元

的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该护

肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？解；（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），由题意得：{44k+b=7248k+b=64，解得：k=﹣2，b=160，所以y与x之间的函数关系式是y=﹣2x+160（

40≤x≤80）；（2）由题意得，w与x的函数关系式为：w=（x﹣40）（﹣2x+160）=﹣2x2+240x﹣6400=﹣2（x﹣60）2+800，当x=60元时，w最大利润是800元，所以当销售单价x为60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是800元．3、鹏鹏童装

店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x

之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3910元的利

润，则每星期至少要销售该款童装多少件？解：（1）y=100+10（60-x）=-10x+700．（2）设每星期利润为W元，W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000．∴x=50时，

W最大值=4000．∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910解得：x=53或47，∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．②由题意：：-10（x

-50）2+4000≥3910，解得：47≤x≤53，-9-∵y=100+10（60-x）=-10x+700．170≤y≤230，∴每星期至少要销售该款童装170件．实际问题与二次函数21、一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为

y=-，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为______m．【答案】162、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米，该抛物线的函数表达式为______．【答案】【解析】试题分析：根据题意可以得到抛物线的顶点

坐标是（4，6），可以设出抛物线的顶点式为y=，然后根据抛物线过点（0，2），所以2=，解得a=，即抛物线的解析式为y=.故答案为：y=．2116x2211y46y2244xxx或

246ax2046a1421464x21464x课前训练-10-知识点一：二次函数与图形面积问题[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:Z+x规律：(1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次

函数关系式；(2)由已得到的二次函数关系式求解问题；(3)结合实际问题的自变量取值范围得出实际问题的答案．知识点而：建立坐标系求解与二次函数相关的实际问题步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数的关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系

式；(5)利用关系式求解问题．注意：(1)将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系；(2)设函数关系式时应根据题目条件合理选择三种函数关系式中的一种；(3)求解问题时要防止弄错正、负，能合理地将点的

坐标正确地转化为距离或高度．1、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm，花园的面积为S.(1)求S与x之间的函数解析式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是

15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．解：(1)∵AB＝xm，∴BC＝(28－x)m.于是易得S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x.即S＝－x2＋28x(0

＜x＜28)．(2)由题意可知，x≥6，28－x≥15，解得6≤x≤13.由(1)知，S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.知识精讲高频考点一二次函数与图形面积最值问题-11-易知当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为

195m2.【变式训练1-1】如图，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏．(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所用旧墙AD的长；(2

)求矩形菜园ABCD面积的最大值．解：(1)设AD＝xm，则AB＝100－x2m.依题意，得100－x2·x＝450.解得x1＝10，x2＝90.∵a＝20且x≤a，∴x2＝90不合题意，应舍去．故所利用旧墙AD的长为10m.(2)设

AD＝xm，矩形ABCD的面积为Sm2，则0<x≤a，S＝100－x2·x＝－12()x2－100x＝－12()x－502＋1250.①若50≤a，则当x＝50时，S最大值＝1250；②若0<a<50，则当0<x≤a时，S随x的增大而增大，故当x＝a时，S最大值＝50a－12a2.综上：当a

≥50时，矩形菜园ABCD的面积最大为1250m2；当0<a<50时，矩形菜园ABCD的面积最大为50a－12a2m2.-12-2、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出

发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．(1)设运动开始后第ts时，四边形APQC的面积是Scm2，写出S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．(2)t为何值时，S最小？最小值是多少？解：(1)∵A

B＝6，BC＝12，∠B＝90°，∴BP＝6－t，BQ＝2t，∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12×6×12－12×(6－t)×2t，即S＝t2－6t＋36(0<t<6)．(2)∵S＝t2－6t＋36＝(t－3)2＋27，∴当t＝3时，S最小，最小

值是27.【变式训练2-1】如图22－3－1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度运动，如果

点P，Q分别从点A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________s.2[解析]设运动时间为ts．根据题意，得S△PBQ＝12×(8－2t)t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，则由函数图象知，当t＝

2时，△PBQ的面积最大，为4cm2.高频考点二几何动点与二次函数-13-3、某游乐园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各方

向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．(1)(2)(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式．(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了

不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合．请探究扩建改造后水柱的最大高度．解：(1)∵抛物线

的顶点坐标为(3,5)，∴设其函数解析式为y＝a(x－3)2＋5.将(8,0)代入解析式，解得a＝－15.∴抛物线的函数解析式为y＝－15(x－3)2＋5，即y＝－15x2＋65x＋165(0<x<8)．(2)当y＝1.8时，1.8＝－15x2＋65x＋165，解得x1＝7，x2＝－1(

舍去)．答：王师傅必须站在离水池中心7m以内．(3)由y＝－15x2＋65x＋165可得原抛物线与y轴的交点为0，165.∵装饰物的高度不变，∴新抛物线也经过点0，165.∵喷水柱的形状不变，∴a＝－15.∵直径扩大到32m，∴新抛物线也过点(16,0)．设新抛物线

为y新＝－15x2＋bx＋c(0<x<16)．高频考点三球类轨迹等抛物线形问题-14-将点（0，165）和(16,0)代入，解得b＝3，c＝165.∴y新＝－15x2＋3x＋165.∴y新＝－15（x-152）2＋28920，当x＝152时，y新＝2

8920.答：扩建改造后水柱的最大高度为28920m.【变式训练3-1】在运动员某次投篮时，球从出手到投中篮框中心的运动路径是抛物线y＝－15x2＋3.5的一部分(如图)，则他与篮底的水平距离l是(B)A．3.5

mB．4mC．4.5mD．4.6m4、有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.(1)在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升hm时，桥下水面的宽度为dm，求出用h表示d的

函数解析式；(3)设正常水位时桥下的水深为2m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少时就会影响过往船只在桥下顺利航行．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2.∵在正常水位时，点B的坐标为(10，－4)，∴－4＝a×102，∴a＝－

125.∴(2)当水位上升hm时，点D的纵坐标为－(4－h)．设点D的横坐标为x(x>0)，则有－(4－h)＝－125x2，∴x1＝54－h，x2＝－54－h(舍去)，∴d＝2x＝104－h.该抛物线的解析式为y＝－125x2.高频考点四抛物线

形拱桥问题-15-(3)当桥下水面宽为18m时，18＝104－h，∴h＝0.76.又∵2＋0.76＝2.76(m)，∴桥下水深超过2.76m时就会影响过往船只在桥下顺利航行．【变式训练4-1】如图，是抛物线形拱桥，当

拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．mB．2mC．2mD．2m【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=a(x−2)2+2，∵函数图象过点(0,0)，∴0=a(0−2)2+2,得a=−，∴抛物线的解析式为：y=−(x−2)2+2，当y=1时,

1=−(x−2)2+2，解得,x1=2−、x2=2+，∴水面的宽度是：(2+)−(2−)=2，故答案选：C.1．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中2261212

1222222提高训练-16-的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是()A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm2[解析]设筝形较短边的长为xcm，则较长边的长为3xcm，故底面等边三角形的边长为(6－23x)cm，

则该纸盒的侧面积S＝(6－23x)·x·3＝－63x2＋18x，S最大值＝4ac－b24a＝－1824×（－63）＝923.故选C.2．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形

ABCD的面积最大．150[解析]设AB＝xm，则AB＋EF＋CD＝3xm，所以AD＝BC＝900－3x2m.设矩形ABCD的面积为ym2，所以y＝x·900－3x2＝－32x2＋450x，由于二次项系数小于0，所以y有最大值，当x＝－b2a＝－450÷

2×（－32）＝150时，函数y取得最大值．3．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1cm/s的速度沿各边向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s时，

四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2.318[解析]设运动时间为ts(0≤t≤6)，则AE＝tcm，AH＝(6－t)cm，根据题意得S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4S△AEH＝6×6－4

×12t(6－t)＝2t2－12t＋36＝2(t－3)2＋18，∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18.4、工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．-17-(1)在图中画出裁剪

示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求出当长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形的边长．(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元．当裁掉的正方形的

边长多大时，总费用最低？最低为多少？解：(1)如图所示：设裁掉的正方形的边长为xcm，由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6(舍去)．所以裁掉的正方

形的边长为2dm.(2)因为长不大于宽的5倍，所以10－2x≤5(6－2x)，所以0＜x≤2.5.设总费用为w元，由题意可知：w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.因为抛物线的对称轴为

直线x＝6，且开口向上，所以当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，所以当x＝2.5时，w最小值＝25.所以当裁掉的正方形的边长为2.5dm时，总费用最低，最低为25元．5、如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝110x2－45x＋3的绳子．-18-(1)求绳

子最低点离地面的距离；(2)因实际需要，在离AB3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；(3)将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F

2对应函数的二次项系数始终为14，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面的距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．解：(1)∵a＝110＞0，∴抛物线的顶点为其最低点．∵y＝110x2－45x＋3＝110(x－4)2＋75，∴

绳子最低点离地面的距离为75米．(2)由(1)可知，BD＝8米，令x＝0，得y＝3，∴A(0，3)，C(8，3)，由题意可知抛物线F1的顶点坐标为(2，1.8)，设抛物线F1的函数解析式为y＝a(x－

2)2＋1.8，将(0，3)代入，得4a＋1.8＝3，解得a＝0.3，∴抛物线F1的函数解析式为y＝0.3(x－2)2＋1.8，当x＝3时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1，∴MN的长为2.1米．(3)∵MN＝DC＝3米，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上

，∴抛物线F2的顶点坐标为(12m＋4，k)，∴抛物线F2的函数解析式为y＝14(x－12m－4)2＋k，把C(8，3)代入，得14(8－12m－4)2＋k＝3，解得k＝－14(4－12m)2＋3，∴

k＝－116(m－8)2＋3，即k是关于m的二次函数．∵－116<0，∴抛物线开口向下．又∵由题意知m＜8，即在抛物线的对称轴的左侧，∴k随m的增大而增大，∴当k＝2时，－116(m－8)2＋3＝2，解得m1＝4，m2＝12(不符合题意，舍去)；

当k＝2.5时，－116(m－8)2＋3＝2.5，解得m1＝8－22，m2＝8＋22(不符合题意，舍去)，∴m的取值范围为4≤m≤8－22.-19-1、运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，

铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似地满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下图记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离最接近的是（）A．2

.6mB．3mC．3.5mD．4.8m【答案】C【详解】由题意抛物线经过（0，1.8），（3，3），（6，2.7），则有：，解得：，∴抛物线的解析式为，∴该铅球飞行到最高点时，水平距离是m．故选C．2、如

图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降2m时，水面的宽为__________m．【答案】【解析】如图，建立平面直角坐标系，则由题意可得：A、B、C的坐标分别为：（-6，0）、（6，0）、（0，4），抛物线的对称轴为轴，∴设图中抛物线的解析式为：，把点B（6，0）代入

中得：，解得，1.89333662.7cabcabc11213201.8abc21131.81220yxx13203.9126ba66y24yax24ya

x3640a19a课后作业-20-所以该抛物线的解析式为：，在中，当时，可得，解得，∴当水位下降2米时，水面宽度为：（米）.3、如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，又∵0＜24

﹣3x≤10，∴；（2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，长＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，长＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB长

为5m；（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48∵墙的最大可用长度为10m，0≤24﹣3x≤10，∴，∵对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝m，有最大面积的花圃．2149yx2149yx2y21+429x123636xx，3636661483x＜

1483x＜143