【文档说明】上海市浦东新区南片联合体九年级初三上学期数学期中试卷+答案.pdf，共(32)页，681.417 KB，由baby熊上传

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上海市浦东新区南片联合体2019-2020学年九年级上学期期中数学试题一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在一张比例尺为1:20000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（）A.5

00mB.1000mC.5000mD.10000m2.已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们周长的比为（）A.2：3B.4：9C.3：2D.16：813.已知ABC中，90C，CD是AB上的高，则CDBD=（）A.sinAB.cosAC.

tanAD.cotA4.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的()A.ACABADAEB.ACBCADDEC.ACABADDED.ACBCADAE5.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝

2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是()A.AEAC＝12B.DEBC＝13C.AEAC＝13D.DEBC＝126.如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF为内接正方形，那么AD：DE：EB为（）A.3︰4︰5B.16︰12︰9C.9︰12︰16

D.16︰9︰25二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若23ab，则abb＝_____．8.如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，且AO=5，BO=4，CO=16，那么DO=______________；9.如图，直线1l∥2l∥3l，AB=4，B

C=3，DF=14，那么DE=______________；10.如图，在平行四边形ABCD中，AD=a，AB=b，则向量AO为_________．（结果用a和b表示）11.如图，ABC

中，G为重心，2BGCS，那么ABCS=______________；12.在RtABC中，若090,3,3CCBAC，则sinA______________；13.已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=_______

_______；14.如图：平行四边形ABCD中，E为AB中点，13AFFD，连E、F交AC于G，则AG：GC=______________；15.如图，正方形EFGH的边EF在ABC的边BC上，顶点H、G分别在边AB、AC上．如果ABC的边BC=30，高AD=20，那么正方形EFG

H的边长为______________16.如图，梯形ABCD，AD//BC，AC、BD交于点E，3,6AEDAEBSS，则ABCDS梯形_________17.如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为512的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄

金矩形较短的边长是_____cm.18.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=2，AB=5，BC=10，点E是边BC上的一个动点（不与B,C重合），作∠AEF=∠AEB,使边EF交边CD于点F,(不与C，D重合），线段BE=______________时，△ABE与

△CEF相似。三、简答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：cot45tan60cot302(sin60cos60)；20.已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且3DEEC，AC与BE交于点F；（1）如果ABa，ADb，那

么请用a、b来表示AF；（2）在原图中求作向量AF在AB、AD方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，

25DEEF，14AC；（1）求AB、BC的长；（2）如果7AD，14CF，求BE的长；22.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=12（1）试求sinB的值；（2）试求△BCD的面积.23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，A

C=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．（1）求证：△CPA∽△APB；（2）试求tan∠PCB的值．24.如图，直线L：4yx交x轴与点A，交y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2，点D在线段AC上，且∠CDB=∠ABC，过点C

作BC的垂线，交BD的延长线与点E，并联结AE（1）求证：△CDB∽△CBA（2）求点E的坐标（3）若点P是直线CE上的一动点，联结DP若△DEP和△ABC相似，求点P的坐标25.已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BC＝10，4cos5ACB，点E在

对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G．设AD=x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角

形，求△AEF的面积．上海市浦东新区南片联合体2019-2020学年九年级上学期期中数学试题一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在一张比例尺为1:20000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（）A.500mB.1000mC.500

0mD.10000m【答案】B【解析】【分析】首先设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意可得方程5120000x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．【详解】解：设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意得：5120000x，解得：x=1

00000，∵100000cm=1000m，∴A，B两地的实际距离是1000m．故选：B．【点睛】此题考查了比例尺的性质．比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．2.已知两个相似三角形

的相似比为4：9，则它们周长的比为（）A.2：3B.4：9C.3：2D.16：81【答案】B【解析】【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．故选：B．【点睛】

此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．3.已知ABC中，90C，CD是AB上的高，则CDBD=（）A.sinAB.cosAC.tanAD.cotA【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义解答．

【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD，∴cotBCDcotACDBD.故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三

角函数．4.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的()A.ACABADAEB.ACBCADDEC.ACABADDED.ACBCADAE【答案】C【解析】试题解析：∵∠BA

C=∠D，ACABADDE＝，∴△ABC∽△ADE．故选C．5.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是()A.AEAC＝12B.DEBC＝13C.AEAC＝13D.DEBC＝12【答案】C【解析】【分析】先

求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【详解】只有选项C正确，理由：如图：∵AD=2，BD=4，AEAC=13，∴ADAB=AEAC=13，∵∠DAE=∠BAC，∴△A

DE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．6.如图，

在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF为内接正方形，那么AD：DE：EB为（）A.3︰4︰5B.16︰12︰9C.9︰12︰16D.16︰9︰25【答案】B【解析】【分析】作CN⊥AB，再根据GF∥A

B，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长，同理可得出AD及BE的长，进而得出结论．【详解】解：设正方形边长为a，即：DFFGEGDEa；∵FDAB，四边形DEGF为内接正方形，∴90ADFC，又∵

AA，∴ADFACB∽，∴ADDFACBC,即：43ADa，解得43ADa；同理可得：BEGBCA∽∴BEEGBCCA，即：34BEa，解得34BEa；∴::1643::34:12:9aaADDEEBa．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角

形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若23ab，则abb＝_____．【答案】53【解析】2,3ababb=2511b33a.8.如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，且AO

=5，BO=4，CO=16，那么DO=______________；【答案】20【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到BOAOCODO＝，利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度．【详解】解

：∵AB∥CD，∴BOAOCODO＝，∵AO=5，BO=4，CO=16，∴4516DO＝，解得：DO=20．故答案为：20．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．9.如图，直线1l∥2l∥3l，AB=4，

BC=3，DF=14，那么DE=______________；【答案】8【解析】【分析】由于l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例得到44314DE，然后根据比例性质求DE．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴A

BDEACDF,即44314DE,∴8DE.故答案为8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10.如图，在平行四边形ABCD中，AD=a，AB=b，则向量AO为_________．（结

果用a和b表示）【答案】1122ab【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可知CDABb，O是AC的中点．再根据中点距离公式求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CDABb，O是AC

的中点，∵AD=a，∴1212AOab．故答案为：1122ab【点睛】本题考查了向量的基本性质、平行四边形的性质和中点距离公式．11.如图，ABC中，G为重心，2BGCS，那么ABCS=_______

_______；【答案】6【解析】【分析】根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍和已知可以求出△ABC的面积．【详解】解：如图示，连接AG交BC于D点，作△ABC的高h1，做△BCG的高h2，∵G为△ABC的重心，根据重心到顶点的距离

是它到对边中点的距离的2倍，∴AD=3GD，∴123hh，∵2BGCS，∴2111113336222ABCBCGSBChBChBChS，【点睛】本题考查的是三角形的重心的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍

是解题的关键．12.在RtABC中，若090,3,3CCBAC，则sinA______________；【答案】12【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算即可．【详解】解：如图示：在RtABC中，由勾股定理得：22223323ABBCAC，则312

33BCABsinA，故答案为：12．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．13.已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=___________

___；【答案】51【解析】【分析】根据黄金分割的概念得到512MPMN，把MN=2代入计算即可．【详解】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MN=2，∴515125122MPMN．故答案为：51【点睛】本题考查了黄金分割的概念

：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的512倍14.如图：平行四边形ABCD中，E为AB中点，13AFFD，连E、F交AC于G，则AG：GC=_

_____________；【答案】1：5【解析】【分析】延长FE交CB的延长线于M，利用已知条件证明△AFE≌△BME，可得到AF=BM，再有平行线四边形的性质可证明△AFG∽△CMG，利用相似三角形的性质即

可求出AG：GC的值．【详解】解：延长FE交CB的延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠EAF=∠MBE，∠AFE=∠BME，又∵AE=BE，∴△AFE≌△BME（AAS），∴AF=BM，∵AF：FD=1：3，∴AF：AD=1：4，∴AF：

MC=1：5，∵AD∥BC，∴△AFG∽△CMG，∴AF：MC=AG：GC=1：5，故答案为：1：5．【点睛】此题综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．15.

如图，正方形EFGH的边EF在ABC的边BC上，顶点H、G分别在边AB、AC上．如果ABC的边BC=30，高AD=20，那么正方形EFGH的边长为______________【答案】12【解析】【分析】利用正方形的性质可知EH∥BC，再利用平行线分线段成

比例定理的推论可得△AGE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长【详解】解：设AD交GH于M．∵四边形EFMN是正方形，∴HG∥BC，∴△AGH∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AD⊥BC，EH

=HG=MD，∴AMHGADBC,设EHa，则20AMa，∴202030aa，解得：12a，∴12EH这个正方形的边长为12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段

成比例定理，是中考考查相似三角形常见题型．16.如图，梯形ABCD，AD//BC，AC、BD交于点E，3,6AEDAEBSS，则ABCDS梯形_________【答案】27【解析】【详解】解：设△AED，ED边上的高为h，则△AEB，EB边上的高也为h，∴131

21622AEDAEBEDhSEDSEBEBh，如图示，过E点作FG⊥AD交AD与F，交BC于G，∴FG⊥BC，∵AD//BC，∴ADECBE，DAEBCE，∴ADECBE∽，∴221124AEDAEBSEDSEB

，12EDADEFEBCBGE∴44312AEBAEDSS，2CBAD，2GEEF，∴12ABCDSADBCFG梯形g1222A

DADFEFEg1332ADFE192ADFE99327AEDS故答案为：27.【点睛】此题主要考查了梯形的性质和应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，考查了数形结合的思想的应用，要熟练掌握．17.如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为512

的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm.【答案】(1555)【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：512202xx，解方程可得.【详解】设这个黄金

矩形较长的边长是xcm，根据题意得：512202xx，解得：x=555，则这个黄金矩形较短的边长是51(555)(1555)2cm．故答案为：(1555)【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键.18.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//

BC,AD=2，AB=5，BC=10，点E是边BC上的一个动点（不与B,C重合），作∠AEF=∠AEB,使边EF交边CD于点F,(不与C，D重合），线段BE=______________时，△ABE与△CEF相似。【答案】43或8【解析】【分析】分类讨论，当∠

AEB=∠FEC时，根据正切函数，可得ME的长，根据线段的和差，可得答案，当∠AEB=∠EFC时，根据等腰三角形的性质，可得BM与ME的关系，根据线段的和差，可得答案；【详解】解：如图：过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，∵等

腰梯形ABCD，AM⊥BC，DN⊥BC，AD=2，BC=10，∴BM=CN=4，BN=6，又AB=5，∴2222543AMABBM，∴DN=AM=3△ABE与△CEF相似有两种情况，（1）当∠AEB=∠FEC时∵∠AEF=∠AEB∴∠AEF=∠

AEB=∠FEC=60°由（1）知：AM=3，BM=4∴3•60333MEAMtan，∴43BEBMME，（2）当∠AEB=∠EFC时，∵∠AEF=∠AEB，∴∠AEF=∠EFC，∴AE∥DC，∴∠AEB=∠C=∠B，∴△ABE是等腰三角形，

如图，过A作AM⊥BC，∴BM=ME（等腰三角形三线合一性质）．∵BM=4，∴BE=2BM=8，综上，当△ABE∽△CEF时，BE的长为43或8；【点睛】本题考查了相似形综合题，利用了等腰梯形的性质，勾股定理，相似三角

形的判定与性质，分类讨论是解题关键．三、简答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：cot45tan60cot302(sin60cos60)；【答案】2【解析】【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．【详解】解：cot45tan60cot302(sin

60cos60)133312()22313312332【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确进行二次根式的运算是关键．20.已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且3DEEC，AC与BE交于点F；（1）如果ABa，A

Db，那么请用a、b来表示AF；（2）在原图中求作向量AF在AB、AD方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）4455AFab；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边

形，根据平行四边形法则，易得BCADb，再由三角形法则，可求得ACABBCab，又由DE=3EC，CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可得4

5AFAC，从而得出结果；（2）首先过点F作FM∥AD，FN∥AB，根据平行四边形法则即可求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD=BC，CD∥AB且CD=AB∴BCADb又∵ABa∴ACABBCab

∵DE=3EC∴DC=4EC又∵AB=CD∴AB=4EC∵CD∥AB∴4AFABCFEC∴45AFAC∴45AFAC∴4444()5555AFACabab（2）如图

，过点F作FM∥AD，FN∥AB，则AM，AN分别是向量AF在AB、AD方向上的分向量．【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线1l、

2l于点A、B、C和点D、E、F，25DEEF，14AC；（1）求AB、BC的长；（2）如果7AD，14CF，求BE的长；【答案】（1）AB=4；BC=10；（2）9.【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比

例的性质得出27ABAC，即可求出AB的长，得出BC的长；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．【详解】（1）∵AD∥BE∥CF∴25ABDEBCEF∴27ABAC

∵AC＝14∴AB=4∴BC=14410（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G又∵AD∥BE∥CF，AD=7∴AD=HE=GF=7∵CF=14∴CG=147=7∵BE∥CF∴27BHABCGAC∴BH=2∴BE=2+7=9【点

睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．22.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=

8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=12（1）试求sinB的值；（2）试求△BCD的面积.【答案】（1）3sin5B；（2）485BCDS.【解析】【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据

勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB；（2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积．【详解】（1）作AHBC，垂足为H，∵5ABAC，∴118422BHBC

在ABH中，2222543AHABBH∴3sin5AHBAB（2）作DEBC,垂足为E,在BDE中，3sin5B，令3DEk,5BDk，则224BEBDDEk，又在CDE

△中，1tan2BCD，则361tan2DEkCEkBCD，于是BCBEEC，即4610kkk，解得45k，∴11444810322555BCDSBCDE.【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三

角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．（1）求证：△CPA∽△APB；（2）试求tan∠PCB的值．【答

案】（1）见解析（2）2.【解析】试题分析：（1）根据∠PBA+∠PAB=45°和∠PAC+∠PAB=45°得出∠PAC=∠PBA，再根据已知条件∠APB=∠APC得出三角形相似；（2）根据等腰直角三角形的性质得出CA和AB的比值，设CP=k，则PB=2k，然后根据∠

BPC=90°求出∠PCB的正切值.试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，又在△APB中，∠APB=135°，∴∠PBA+∠PAB=45°，∴∠PAC=∠PBA，又∠AP

B=∠APC，∴△CPA∽△APB．（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴，又∵△CPA∽△APB，∴，令CP=k，则，又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°，∴．考点：三角形相似的判定、锐

角三角函数的计算.24.如图，直线L：4yx交x轴与点A，交y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2，点D在线段AC上，且∠CDB=∠ABC，过点C作BC的垂线，交BD的延长线与点E，并联结AE（1）求证：△CDB∽△CBA（2）求

点E的坐标（3）若点P是直线CE上的一动点，联结DP若△DEP和△ABC相似，求点P的坐标【答案】（1）见解析；（2）E（-2，-2）；（3）10,1P，2210,99P.【解析】【分析】（1）直接由题目已知∠CDB=∠ABC和公共角∠BCA=∠BCA得出

；（2）先利用勾股定理，求出25BC，由△CDB∽△CBA，得到²BCCDCA，可求出CD的长度，找出D点的坐标，再利用B,D两点坐标，求出直线BD的关系式为34yx，设点E的坐标为（a，3a+4），根据△BCE是等腰直角三角形，利用勾股定

理可得222202402340aa＝，化简求值即可；（3）根据题意和（1）、（2）中的结果，利用分类讨论的方法可以求得点P的坐标．【详解】解：（1）∵∠CDB=∠ABC，∠BCA=∠BCA，∴△CDB∽△CBA（2）由（1）可知△CDB∽△CBA，∴BCDC

ACBC,∴²BCCDCA，∵直线L：4yx交x轴于点A，交y轴于点B，∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），∴在Rt△AOB中，4OAOB，∴42AB，又∵2OC，∴6AC，∴在Rt△OC

B中，22224225BCOBOC，根据²BCCDCA，∴22103256BCCDCA，∴43ODCDOC即：25BC，4,03D，设过点B（0，4），4,03D的直线解析式为ykxb，∴4403bkb

，解之得：34kb，即直线BD的解析式为34yx，∵点E在直线BD上，∴设点E的坐标为（a，3a+4），∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠BAC=45°，∵△ABC∽△BDC，∠BAC=∠DBC，∴

∠DBC=45°，∵BC⊥CE，∴∠BCE=90°，∴∠BEC=45°，∴∠BEC=∠EBC，∴BC=CE，∵点B（0，4），点C（2，0），点E（a，3a+4），∴222202402340aa＝解得，a=-2或a=0（舍去），当a=-2时，3a+4=-2，∴点

E的坐标为（-2，-2），（3）由（2）知，∠DEP=45°，∠BAC=45°，当∠EDP=∠ABC时，△DEP与△ABC相似，则：DEEPBAAC＝，∵42AB，AC=6，点D（43，0），点E（-2，-2），∴22432102203DE

，∴2103426EP＝，解得，5EP，设过点E（-2，-2），C（2，0）的直线解析式为ymxn，2220mnmn，解之得：121mn，即直线EC的解析式为112

yx，∵点P在直线EC上，∴设点P的坐标为（c，121c），∵点E（-2，-2），5EP，解得，c=-4（舍去）或c=0，∴当c=0时，1211c，即点P的坐标为（0，-1）；当∠EPD=∠ABC时，△DEP

与△ABC相似，则EDEPACAB，∵42AB，AC=6，2103ED，∴2103642EP＝，解得：859EP，∵直线EC的解析式为112yx，点P在直线EC上，∴设点P的坐标为（d，121d），∵点E（-2，-2），859EP，∴22128522

19dd，解得：289d（舍去）或29d，当29d时，102911d，即点P的坐标为（29，109）；由上可得，当△DEP与△ABC相似时，点P坐标是（0，-1）或（29，109）．【点睛】本题是一道一次函数综合题，解答本题的关键是明

确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质、三角形的相似、两点之间的距离公式和分类讨论的方法解答25.已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BC＝10，4cos5ACB，点E在对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G．设AD

=x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．【答案】（1）见解析；（2

）2360300xxyx，0555x；（3）15或32.【解析】【分析】（1）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性质可得结论；（2）由AD与BC平行，得到三角形

AEF与三角形CEB相似，由相似得比例表示出AF，过E作EH垂直于AF，根据锐角三角函数定义表示出EH，进而表示出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；（3）分两种情况考虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示，在直角三角形ACD中

，利用锐角三角函数定义求出AD的长，即为x的值，代入求出y的值，即为三角形AEF面积；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由相似列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出y的值，即为三角

形AEF面积．【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECB，在△DCA和△ECB中，ADCEDACECBACBC＝＝＝，∴△DCA≌△ECB（SAS），∴∠DCA=∠EBC；（2）∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴AFAEBCCE，即1010AFxx，

解得：1010xAFx，作EH⊥AF于H，如图1所示，45cosACB，∴335051EHAEx,21010310101325AEFxxySxxx，2360300x

xyx，∵点G在线段CD上，∴AF≥AD，即1010xxx，∴555x，∴0555x，∴y关于x的函数解析式为：2360300xxyx，定义域为0555x．（3）（3）分两种情况考

虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示：在Rt△ADC中，845ADAC，即8x，∴23108382AEFSy；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由（1）得：CE=AD=x，在Rt△EMC中，35

EMx，45MCx，∴1450BMBCMCx，∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，∴△CGE∽△BGC，∴CECGCBBG，即10xCGBG，∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，∴△BME∽△BGC，∴03541051

xxx，即5x，此时23105515y，∴综上，此时△AEF的面积为32或15．【点睛】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解本题的关键．