【文档说明】上海市嘉定区九年级初三上学期数学期中试卷+答案.pdf，共(35)页，578.513 KB，由baby熊上传

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2019-2020学年九年级上学期期中数学试题一、选择题1.如果3x＝4y，那么下列各式中正确的是（）A.34xyB.4xxyC.74xyyD.37xxy2.下列命题是真命题的是（）A.有一个角相等的两

个等腰三角形相似B.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似C.四个内角都对应相等的两个四边形相似D.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似3.已知a、b为非零向量，下列判断错误的是（）A.如

果a＝3b，那么a∥bB.||a＝||b，那么a＝b或a＝-bC.0的方向不确定，大小为0D.如果e为单位向量且a＝﹣2e，那么||a＝24.已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝bca，以下作法正确的是（）A.B.C.D.5.如图，四边形ABCD的对角线AC、

BD交于点O，下列比例式中能够判断AB∥CD的是（）A.ABAOCDCOB.ABBOCDCOC.ABDCOOOOD.AOCOBODO6.如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（）A.5B.26C.25D

.4二、填空题7.在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为__________m．8.已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝_____cm．9.已知△ABC∽△D

EF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，△ABC的周长为30cm，那么△DEF的周长为_____cm．10.如图，已知a∥b∥c，AC：CO：OF＝2：1：4，BE＝35，那么BD＝_____．11.△ABC中，已知点D在边BC上，且BD=2DC，设AB

=a，AC=b，则AD等于.12.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，若AD＝DF＝FB，△ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3是_____．13.如图，在△ABC中，DE∥AC，交AB、BC于点D、E，如果S△BDE：S△CDE＝

1：3，那么C△DOE：C△AOC的值等于_____．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，点G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为_____．15.如图，在△ABC中，点D为AB的中点，且∠ACD＝∠B，那么CDBC＝_____．16.如图，矩形ABCD中，点E在

边BC上，EF⊥AE交AD于点F，若AB＝2，BC＝7，BE＝5，则FD的长度为_____．17.新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足

为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此时AC的长为_____．18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，点D、E分别在边BC、AC上，且BD＝CE，将△CDE

沿DE翻折，点C落在点F处，且DF∥AB，则BD的长为_____．三、解答题19.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3．（1）求证：DE∥BC；（2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△AB

C的面积．20.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC=°，BC=；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.21.如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE

与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的长；（2）若AB＝a，AD＝b，用a、b表示OB;（3）在图中画出12a+b．（不需要写画法，但需要结论）22.如图，在△ABC中

，点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC•BE．（1）求证：△BCD∽△BDE；（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．23.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．（1）求证：ME2＝MC•MB；（2）

如果BA2＝BD•BE，求证：22ACBCAMBM24.如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0）、C（﹣4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点．（1）求点B的坐标和直线A

B的表达式；（2）若以A、P、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．25.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．（1）求点O到直线AC的距离OH的长；（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ

＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．2019-2020学年九年级上学期期中数学试题一、选择题1.如果3x＝4y，那么下列各式中正确的是（）A.34xyB.4xxyC.74xy

yD.37xxy【答案】B【解析】【分析】直接利用比例的性质表示出x，y的值，进而得出答案．【详解】解：∵3x＝4y，∴设x＝4a，则y＝3a，∴xy＝43，故选项A错误；xxy＝443aaa＝4，故选项B正确

；xyy＝73，故选项C错误；xxy＝47，故选项D错误；故选：B．【点睛】此题考查的是比例的性质,找出已知比例和所求比例的关系是解决此题的关键.2.下列命题是真命题的是（）A.有一个角相等的两个等腰三角形相似B.两边对应成比例且有一个角相等

的两个三角形相似C.四个内角都对应相等的两个四边形相似D.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【答案】D【解析】【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断．

【详解】解：A、有一个顶角（或底角）对应相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误；B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似(四边也必须对应成比例)，所以C选项错误；D、斜边和一条直角边对应成比例,根

据勾股定理另一条直角边也和斜边成比例,这样的两个直角三角形相似，所以D选项正确．故选：D．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定,掌握相似三角形的各个判定方法是解决此题的关键.3.已知a、b为非零向量，下

列判断错误的是（）A.如果a＝3b，那么a∥bB.||a＝||b，那么a＝b或a＝-bC.0的方向不确定，大小为0D.如果e为单位向量且a＝﹣2e，那么||a＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质

解答即可．【详解】解：A、如果a＝3b，那么两向量是共线向量，则a∥b，故A选项不符合题意．B、如果||a＝||b，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B选项符合题意．C、0的方向不确定，大小为0，故C选项不符合题意．D、根据向量模的定义知，||a＝2|e

|＝2，故D选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.4.已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝bca，以下作法正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可

．【详解】解：A．由平行线分线段成比例可得xacb，即acxb，故A选项错误；B．由平行线分线段成比例可得xcab，即acxb，故B选项错误；C．由平行线分线段成比例可得，xbca，即bcxa，故C选项正确，D．由平行线分线段

成比例可得xabc，即x＝abc，故D选项错误．故选：C．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理,根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键.5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于

点O，下列比例式中能够判断AB∥CD的是（）A.ABAOCDCOB.ABBOCDCOC.ABDCOOOOD.AOCOBODO【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理判断两个三角形相似,再根据相似三

角形的对应角相等、平行线的判定定理判断即可．【详解】解：A、ABCD＝AOCO，不具备夹角相等，不能证明两个三角形相似，不能得到内错角相等，无法判断AB∥CD,故A错误；B、ABCD＝BOCO，无法判断AB∥CD,故B错误；C、∵AODO＝BOCO，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB

∽△DOC，∴∠BAO＝∠CDO，无法判断AB∥CD,故C错误；D、∵AOBO＝CODO，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴∠BAO＝∠DCO，∴AB∥CD；故选：D．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的各个判定定

理是解决此题的关键.6.如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（）A.5B.26C.25D.4【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的性质求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF

即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°，∴∠EPB＝∠CFP，∴△EPB∽△PFC，∴BECP＝BPCF，∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3，∴BP＝

PC＝6，∴PE＝22BEPB＝222(6)＝10，PF＝22PCCF＝22(6)3＝15，∴EF＝22PEPF＝22(10)(15)＝5，故选：A．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和勾股定理,掌握相似三角形的性质列比例式及勾股定理解

直角三角形是解决此题的关键.二、填空题7.在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为__________m．【答案】100【解析】试题分析：设AB两地间的实际距离为x，，解得x=10000cm=100m．

故答案为：100m．考点：比例线段．8.已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝_____cm．【答案】（5﹣1）【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，可得BP＝512AB，代入数据即可得出BP的长度．【详解】解：∵点P在

线段AB上，BP2＝AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，∴BP＝2×512＝（5﹣1）cm．故答案为：（5﹣1）．【点睛】此题考查的是黄金分割比,掌握黄金分割比公式是解决此题的关键.9.已知△A

BC∽△DEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，△ABC的周长为30cm，那么△DEF的周长为_____cm．【答案】45【解析】【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC∽△DEF，点A、B、C分别与点D

、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，∴△ABC的周长:△DEF的周长＝2:3，∵△ABC的周长为30cm，∴△DEF的周长为：45cm．故答案为：45．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键.10.如图，已知a∥b∥c

，AC：CO：OF＝2：1：4，BE＝35，那么BD＝_____．【答案】10【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵a∥b∥c，∴BD：BE＝AC：AF，∵AC：CO：OF＝2：1：4，∴AC

：AF＝2：7，∴BD：BE＝2：7，∴BD＝27BE＝27×35＝10，故答案为10．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理,根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键.11.△ABC中，已知点D在边BC上，且BD

=2DC，设AB=a，AC=b，则AD等于.【答案】【解析】解：根据平面向量的运算法则及题给图形可知：12.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，若AD＝DF＝FB，△ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、S3，

则S1：S2：S3是_____．【答案】1：3：5【解析】【分析】根据△ADE∽△AFG，得到ADEAFGSS＝（ADAF）2＝14，再根据△ADE∽△ABC，得到ADEABCSS＝（ADAB）

2＝19，计算得到答案．【详解】解：∵DE∥FG，∴△ADE∽△AFG，∴ADEAFGSS＝（ADAF）2＝14，∴S1：S2＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADEABCSS＝（ADAB）2＝19，∴S1：S四边形DBCE＝1：8，∴S1：S2：S3＝1：3：5

，故答案为：1：3：5．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.13.如图，在△ABC中，DE∥AC，交AB、BC于点D、E，如果S△BDE：S△CDE＝1

：3，那么C△DOE：C△AOC的值等于_____．【答案】1：4【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到BE：EC＝1：3，根据△BDE∽△BAC，得到DE：AC＝BE：BC＝1：4，根据相似三角形的周长比等于相似比解

答即可．【详解】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：4，∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴C△DOE：C△AOC＝DE：AC＝1：4，故答

案为：1：4．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，点G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，则G

H的长为_____．【答案】53【解析】【分析】连接BG并延长交AC于D，如图，利用重心的性质得到BG＝2GD，CD＝AD＝52，再证明△BHG∽△BCD，然后利用相似比可计算出GH的长．【详解】解：连接BG并延长交AC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴

BG＝2GD，CD＝AD＝52，∵HG⊥BC，∠C＝90°，∴GH∥CD，∴△BHG∽△BCD，∴GHDC＝BGBD，即GH52＝23，∴GH＝53．故答案为53．【点睛】此题考查的是重心的性质和相似三角形的判定及性质

,掌握重心的性质和根据相似三角形的性质列比例式是解决此题的关键.15.如图，在△ABC中，点D为AB的中点，且∠ACD＝∠B，那么CDBC＝_____．【答案】22【解析】【分析】首先根据∠ACD＝∠B，∠A＝∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等

得到结论．【详解】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC∴CDBC＝ACAB＝ADAC∵D是AB的中点，∴AD＝12AB，∴AC2＝AB•AD＝12AB2，∴ACAB＝22，∴CDBC＝22，故答案为：22．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定和性质,根据相似三角形

的性质列比例式是解决此题的关键.16.如图，矩形ABCD中，点E在边BC上，EF⊥AE交AD于点F，若AB＝2，BC＝7，BE＝5，则FD的长度为_____．【答案】65【解析】【分析】首先利用勾股定理计算出AE的长，再证明△ABE∽△FEA，根据

相似三角形的性质可得ABEF＝BEAE，代入相应线段的长可得EF的长，在Rt△AEF中,利用勾股定理,即可算出AF的长，进而得到DF的长．【详解】解：在△ABE中：AE2＝AB2+BE2，∵AB＝2，BE＝5，∴AE＝22ABBE＝2225＝29，∵四边形ABCD是矩形，∴AF∥BC，

∠B＝90°，∴∠EAF＝∠BEA，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∵∠EAF＝∠BEA，∠B＝∠AEF，∴△ABE∽△FEA，∴ABEF＝BEAE，即2EF＝529，EF＝2295，在Rt△AEF中：

AF2＝AE2+EF2，AF2＝（29）2+（2295）2，解得：AF＝295，∵BC＝7，∴FD＝7﹣295＝65，故答案为：65．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和勾股定理,根据相似三角形的性质列比例

式和勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.17.新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此

时AC的长为_____．【答案】37【解析】【分析】先利用含30°的直角三角形三边的关系计算出AP＝3，BP＝33，再利用中线的定义和重心的性质得到AE＝CE，PE＝12BP＝332，然后利用勾股定理计算AE的长，从而得到AC的长．【详解】解：如图，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE

＝90°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，∴AP＝12AB＝3，BP＝3AP＝33，∵AF、BE是中线，∴AE＝CE，点P为△ABC的重心，∴PE＝12BP＝332，在Rt△APE中，AE＝223332＝372，∴AC＝2AE＝37．故答案为37．【点睛】此题考查

的是锐角三角函数、垂心的性质和勾股定理，掌握30°的锐角三角函数、重心的性质和勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，点D、E分别在边BC、AC上，且BD＝CE，将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处

，且DF∥AB，则BD的长为_____．【答案】4529【解析】【分析】根据题意作出草图，根据勾股定理求出AC，根据轴对称的性质可得EF＝CE，根据两直线平行，同位角相等可得∠A＝∠EGF，利用相似三角形对应边成比例列式表示出GE，再表示出CG，然后根据平行线分线段

成比例定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长DF交AC于点G，设BD＝CE＝x，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝22ABBC＝22135＝12，∵将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处，∴EF＝CE＝x，∵DF∥AB，∴∠A＝∠EGF，∴△ABC∽△GEF，∴ABBCGEE

F，即133GEx，解得GE＝133x，∴CG＝GE+CE＝131633xxx，∵DF∥AB，∴CGCDACBC，即1653125xx，解得x＝4529．即BD＝4529．故答案为：452

9．【点睛】此题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理和平行线分线段成比例，根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键.三、解答题19.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与

BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3．（1）求证：DE∥BC；（2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△ABC＝24.【解析】【分析】（1）证明△DOE∽△COB即可解

决问题．（2）由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，DEBC＝ODOC＝12，推出ADEABCSS＝14，设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x，构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵OD＝2，DC＝6，OE＝3，∴OC＝4，ODOC＝12，OEOB＝12，

∴ODOC＝OEOB，∵∠DOE＝∠BOC，∴△DOE∽△COB，∴∠ODE＝∠OCB，∴DE∥BC．（2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ODOC＝12，∴ADEABCSS＝14，设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x，∴四边形BCED的面积为3

x，由题意3x﹣x＝2x＝12，∴x＝6，∴S△ABC＝4x＝24．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.20.如图，在

4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC=°，BC=；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.【答案】(1)135;22.(2)△ABC∽△DEF.

【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．

【详解】(1)9045135ABC，2222822BC；故答案为：135;22.(2)△ABC∽△DEF.证明：∵在4×4的正方形方格中，135,9045135ABCDEF，∴∠ABC=∠DEF.∵2,22,

2,2,ABBCFEDE∴2222,2.22ABBCDEFE∴△ABC∽△DEF.【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.21.如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交

于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的长；（2）若AB＝a，AD＝b，用a、b表示OB;（3）在图中画出12a+b．（不需要写画法，但需要结论）【答案】（1）GE＝4；（2）33

55OBab；（3）AH即为所求【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用三角形法则即可求出BD，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．（3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH．则AH即为所求．【详解】解：

（1）∵四边形AB平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝2AE，∴GEGC＝AEBC＝13，∵CE＝8，∴8GEGE＝13，∴GE＝4．（2）∵BD＝BA+AD＝b﹣a，DE∥BC，DE＝2AE，∴DEBC＝OD

OB＝23，∴OBBD＝35，∴OB＝﹣35（b﹣a）＝35a﹣3b5（3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH．则AH即为所求．∵AE∥BC，∴GAGB＝AEBC＝13，∴GAAB＝12，∴DH＝AG＝12BA

＝12a∴1b2a＝ADDH＝AH，∴AH即为所求．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例、平面向量的性质及运算，掌握平面向量的性质及运算是解决此题的关键.22.如

图，在△ABC中，点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC•BE．（1）求证：△BCD∽△BDE；（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．【答案】（1）见解析；（2）AE＝3.6【解析】【分析】（1）由BD2＝BC•BE得到BCBD＝BDBE，则根据直角三角

形相似的判定方法可得到结论；（2）利用射影定理得到BD2＝BE•BA，再根据BD2＝BC•BE，则有BA＝BC＝10，再利用射影定理得到AD2＝AE•AB，于是可求出AE的长．【详解】（1）证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°，∵BD2

＝BC•BE，∴BCBD＝BDBE，∴△BCD∽△BDE；（2）解：∵BD2＝BE•BA，BD2＝BC•BE，∴BA＝BC＝10，∵AD2＝AE•AB，∴AE＝2610＝3.6．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及射影定理，掌握

直角三角形的判定方法和射影定理是解决此题的关键.23.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．（1）求证：ME2＝MC•MB；（2）如果BA2＝BD•BE，求证：22ACBCAMB

M【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）证明△AMC∽△BMA即可解决问题．（2）由△AMC∽△BMA，推出ACAB＝MAMB，推出ACAM＝ABBM，推出22ACAM＝22ABBM，再证明△BAC∽△BMA

，推出ABBM＝BCAB，推出AB2＝BC•BM，即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∵DM＝ME，∴AM＝MD＝ME，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，∵∠BAD＝∠CA

D，∴∠MAC＝∠B，∵∠AMC＝∠AMB，∴△AMC∽△BMA，∴AMBM＝MCAM，∴AM2＝MC•MB，∵ME＝MA，∴ME2＝MC•MB．（2）证明：∵△MAC∽△BMA，∴ACAB＝MAMB，∴ACA

M＝ABBM，∴22ACAM＝22ABBM，∵AB2＝BD•BE，∴ABBE＝BDAB，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BEA，∴∠BAD＝∠E，∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，∴△

BAC∽△BMA，∴ABBM＝BCAB，∴AB2＝BC•BM，∴22ACAM＝2BCBMBM＝BCBM．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的列比例式并改写比例式是解决此题的关键.24.如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，

0）、C（﹣4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点．（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；（2）若以A、P、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐

标．【答案】（1）直线AB的表达式为y＝﹣43x+8；（2）点P的坐标为（﹣4，403）或（125，245）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标可得出OA的长，利用勾股定理可求出OB的长，结合点B在y轴正半轴上即可得出点B的坐标，由点A，B的坐标，再利用待定系

数法即可求出直线AB的解析式；（2）分△AOB∽△ACP和△AOB∽△APC两种情况考虑：①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P1的坐标；②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣43m+8），利用相似三角形的性质可求出CP2的长，

结合点C的坐标可得出关于m的方程，解之即可得出点P2的坐标．综上，此题得解．【详解】解：（1）∵点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∴OB＝22ABAO＝8．∵点B在y轴的正半轴，∴点B的坐标为（0，8）．设直线AB

的表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（6，0），B（0，8）代入y＝kx+b，得：608kbb，解得：4k3b8，∴直线AB的表达式为y＝﹣43x+8．（2）分两种情况考虑，如图

所示．①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，当x＝﹣4时，y＝﹣43x+8＝403，∴点P1的坐标为（﹣4，403）；②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣43m+8）．∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（﹣4，0），∴AC＝10．∵△AOB∽△AP2C，

∴2CPBO＝ACAB，即2CP8＝1010，∴CP2＝8，∴224[(4)]803mm＝8，整理，得：（53m﹣4）2＝0，解得：m＝125，∴点P2的坐标为（125，245）．综上所述：点P的坐标为（

﹣4，403）或（125，245）．【点睛】此题考查的是一次函数、相似三角形的性质和分类讨论，掌握用待定系数法求一次函数的解析式和根据相似三角形的对应顶点分类讨论是解决此题的关键.25.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，

BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．（1）求点O到直线AC的距离OH的长；（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ

与△CPQ相似．【答案】（1）OH＝65；（2）y＝﹣56x2+143x﹣163（85＜x＜4）；（3）当△OPQ与△CPQ相似时，AP为145．【解析】【分析】（1）通过证明△AOH∽△ABC，即可判断出OHOABCAB

，求出OH的长度；（2）通过证明△AOD∽△ABC，可得：ADAOACAB，从而求出AD、PD的长度各是多少，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△POD∽QPC，即可推得CQCPPDOD，据此求出y关于x的函数解析式．并写出函数定义域即可．（3）根据题意，分两种情况：当O

Q∥AC时；当PQ平分∠CQO时；然后根据相似三角形的性质，分类讨论，求出AP长是多少即可．【详解】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝22ACBC＝169＝5，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AHO＝9

0°，∴△AOH∽△ABC，∴OHOABCAB，即OH235，∴OH＝65；（2）如图2，过点O作OD⊥AC，由（1）可得OD＝65，∵∠BCA＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴ADAOACAB，∴245AD，∴AD＝85，∴

PD＝x﹣85，∵PQ⊥OP，∴∠OPD+∠CPQ＝90°，又∵∠PQC+∠CPQ＝90°，∴∠OPD＝∠PQC，且∠ACB＝∠PDO＝90°，∴△POD∽△QPC，∴CQCPPDOD，∴48655

yxx∴y＝﹣56x2+143x﹣163由题意可知：AD＜AP＜AC∴85＜x＜4（3）如图3，当OQ∥AC时，△OPQ∽△QCP，∵OQ∥AC，∴AOCQABBC，∴25＝3CQ，∴CQ＝65，∴65＝﹣56x2+143x﹣163，∴x＝1

45，∴AP＝145；如图4，作PE⊥OQ于点E，当PQ平分∠CQO时，△OPQ∽△PCQ，∵∠CQP＝∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，∴PC＝PE，∵∠POQ＝∠CPQ，∠DOP＝∠CPQ，∴∠POQ＝∠DOP，又∵PD⊥OD，PE⊥OE，

∴PD＝PE，∴PC＝PD，即点P为CD的中点，由AP﹣AD＝AC﹣AP，∴2AP＝AC+AD＝4+85，∴AP＝145，综上所述：当△OPQ与△CPQ相似时，AP为145．【点睛】此题考查的是相似三角形的综合，难度较大，掌握相似三角形的判定和性

质及根据相似分类讨论是解决此题的关键.