【文档说明】北京西城区2022届高三数学一模试卷及答案.doc，共(15)页，3.848 MB，由baby熊上传

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西城区高三统一测试试卷数学2022.4第1页（共15页）西城区高三统一测试试卷数学2022.4本试卷共7页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{2,0,2}A，{0}Bxx≥，则AB（A）{0,2}（B）{2}（C）{2,2}（D）{2,

0,2}（2）复数21iz的共轭复数z（A）1i（B）1i（C）11i22（D）11i22（3）设3log0.4a，3log0.3b，30.3c，则（A）acb（B）bca（C）abc（D）bac（4）在61(2)xx的展开式中，常数项为（

A）120（B）120（C）160（D）160（5）若双曲线22221xyab的焦点(3,0)F到其渐近线的距离为5，则双曲线的方程为（A）22145xy（B）22154xy（C）22136xy（D）22163xy西城区高

三统一测试试卷数学2022.4第2页（共15页）（6）已知向量,ab满足||5a，(3,4)b，0ab.则||ab（A）5（B）52（C）10（D）102（7）已知点A为圆22:()(1)2Cxmym上一点，点(3,0)B，当m变化时，线段AB长度的最小

值为（A）1（B）2（C）2（D）22（8）将函数sin(2)yx的图象向右平移a个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移a个单位所得函数图象关于y轴对称，其中02≤≤，0a，则（A）6（B）3（C）8（D）

4（9）在无穷等差数列{}na中，公差为d，则“存在*mN，使得123maaaa”是“1akd（*kN）”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必

要条件（10）如图，曲线C为函数5sin(0)2yxx≤≤的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一

个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)mn，乙粒子的坐标为(,)uv，若记()nvfm，则下列说法中正确的是（A）()fm在区间(,)2上是增函数（B）()fm恰有2个零点（C）()fm的最小值为2（D）()fm的图象关于点5(,0)6中心对称西城区高三统一测试试

卷数学2022.4第3页（共15页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若抛物线22ypx上任意一点到点(1,0)的距离与到直线1x的距离相等，则p_____.（12）已知数列{}na满足112nnaa（2n≥，*Nn），nS为

其前n项和.若54a，则5S_____.（13）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：①1AFBE;②13AF;③2ADFABFSS

△△.以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_____.（14）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100

kg，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换___元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大

值为_____.（15）已知函数()23xfxakx，给出下列四个结论：①若1a，则函数()fx至少有一个零点；②存在实数a，k，使得函数()fx无零点；③若0a，则不存在实数k，使得函数()fx有三个零点；④对任意实数a

，总存在实数k使得函数()fx有两个零点.其中所有正确结论的序号是_____.西城区高三统一测试试卷数学2022.4第4页（共15页）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在△ABC中，3cos

2aBbc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长.条件①：321cos14B，1b；条件②：2a，23c；条件③：3b，3

c.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.（17）（本小题14分）如图，四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，DE平面ABCD，1ABDE，2ADPA，点F在棱PA上

．（Ⅰ）求证：//BF平面CDE；（Ⅱ）求二面角CPEA的余弦值；（Ⅲ）若点F到平面PCE的距离为13，求线段AF的长.西城区高三统一测试试卷数学2022.4第5页（共15页）（18）（本小题13分

）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线

一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园///5642724积水潭12///20137860牛街57///38124草桥1399///1638新发地410162///335新宫25543///19合计36365

6262125200（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有．．乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X，求随机变量X的分布列以及数学期望；（Ⅲ

）为了研究各站客流量的相关情况，用1表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“11”表示上车，“10”表示下车.相应地，用2，3分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差1D，2D，3D大小关系.西城区高三统一测试试卷数学2022.

4第6页（共15页）（19）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为45.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线ykxm(0)km与椭圆C交于,AB两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交

于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点.如果2MOPMNP成立，求k的值.（20）（本小题15分）已知函数()1exaxfxa，0a.（Ⅰ）当1a时，①求曲线()yfx在0x处的切线方程；②求证：()fx在(0,)上有唯一极大值点；（Ⅱ）若()fx没有零点，求a

的取值范围.西城区高三统一测试试卷数学2022.4第7页（共15页）（21）（本小题15分）如果无穷数列{}na是等差数列，且满足：①*,ijN，*kN，使得ijkaaa；②*kN，*,ijN，使得ijkaaa，则称数

列{}na是“H数列”.（Ⅰ）下列无穷等差数列中，是“H数列”的为____；（直接写出结论）{}na：1，3，5，„„{}nb：0，2，4，„„{}nc：0，0，0，„„{}nd：1，0，1，„„（Ⅱ）证明

：若数列{}na是“H数列”，则1aZ且公差dN；（Ⅲ）若数列{}na是“H数列”且其公差*dN为常数，求{}na的所有通项公式.西城区高三统一测试试卷数学2022.4第8页（共15页）西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A

（2）B（3）D（4）C（5）A（6）B（7）C（8）D（9）B（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）2（12）124（13）若1AFBE，则2ADFABFSS△△；若2ADFABFSS△△，则1

AFBE.（14）①13②36（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在ABC△中，因为3cos+2aBbc,所以由正弦定理可得3sincossinsin.2ABBC因为ABC，所以sinsin()sin

coscossinCABABAB.所以3sincossin2BAB.在ABC△中，sin0B，所以3cos2A，所以6A.┄┄┄┄┄┄6分（Ⅱ）选条件①：因为在ABC△中，321cos14B

，西城区高三统一测试试卷数学2022.4第9页（共15页）所以27sin1cos14BB.因为ABC，所以13213721sinsin()sincoscossin2142147CABABAB.设BC边上高线的长为h，则2121sin177hb

C.┄┄┄┄┄┄13分选条件②：ABC△不唯一.选条件③：由余弦定理得2222cos93233cos36abcbcA，所以3a.所以ABC△为等腰三角形，6CA.设BC边上高线的长为h，则13sin322hbC.┄┄

┄┄┄┄13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，//ABCD.因为AB平面CDE，CD平面CDE，所以//AB平面CDE.因为PA平面ABCD，DE平面ABCD，所以//PADE因为PA平面CDE，DE平面CDE，所以//PA平面CDE.又因为PA平面

PAB，AB平面PAB，PAABA.所以平面//PAB平面CDE.因为BF平面PAB，所以//BF平面CDE.┄┄┄┄┄┄4分西城区高三统一测试试卷数学2022.4第10页（共15页）（Ⅱ）因为PA平面ABCD，AD平面ABCD，AB平面A

BCD，所以PAAD，PAAB.又因为ABCD是矩形，ADAB，所以,,ADABPA两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axyz，则(1,2,0)C，(0,0,2)P，(0,2,1)E，所以(1,0,1)CE，(0,2,1)P

E.设平面PEC的一个法向量为(,,)xyzn，则0,0,CEPEnn即0,20.xzyz令2x，则1y，2z.于是(2,1,2)n.取平面PEA的法向量为(1,0,0)m.则22co

s,||||31414mnmnmn.由图可知二面角CPEA为锐角，所以二面角CPEA的余弦值是23.┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）令线段AF的长为t，则(0,0,)Ft，[0,2]t.所以(1,2,)C

Ft，因为点F到平面PCE的距离22224||3414CFttdnn.所以24133t，即241t.解得32t或52t（舍）.所以线段AF的长为32.┄┄┄┄┄┄14分

西城区高三统一测试试卷数学2022.4第11页（共15页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）设选取的乘客在积水潭站上车、在牛街站下车为事件A，由已知，在积水潭站上车的乘客有60人，其中在牛街站下车的乘客有20人，所以201()603PA.┄┄┄┄┄┄

3分（Ⅱ）由题意可知，0,1,2,3.X318(0)1327PX；2131212(1)3327PXC；223126(2)3327PXC；311(3)327PX

.随机变量X的分布列为X0123P8271227627127所以随机变量X的数学期望为812610123127272727EX.┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）213DDD.┄┄┄┄┄┄13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，32cea，22445ab

，解得2a，1b，所以椭圆C的方程为2214xy.┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）由221,4xyykxm得222(41)8440kxkmxm，西城区高三统一测试试卷数学2022.4第12页（共15页）由222(8)4(41

)(44)0kmkm，得22410km.设11(,)Axy，22(,)Bxy，则122841kmxxk，212122282()224141kmmyykxxmmkk.所以点M的横坐标1224241Mxxkmxk，纵坐标12224

1Myymyk.所以直线MN的方程为22144141mkmyxkkk.令0x，则点N的纵坐标2341Nmyk所以230,41mNk.因为(0,)Pm，所以点N

、点P在原点两侧.因为2MOPMNP，所以MNOOMN，所以OMON.又因为22222222224164141(41)kmmkmmOMkkk，2222223941(41)mmONkk

，所以22222222169(41)(41)kmmmkk，解得21619k，所以22k.┄┄┄┄┄┄15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）若1a，则()1e1xxfx，2e1e()(e1)xxxxfx.①在0x处，2111(0)(11)2f

，(0)1f.所以曲线()yfx在0x处的切线方程为112yx.┄┄┄┄┄┄4分西城区高三统一测试试卷数学2022.4第13页（共15页）②令()e1exxgxx，()exgxx，在区间(0,)上，()0gx，则()gx在

区间(0,)上是减函数.又(1)10,g2(2)e10,g，所以()gx在(0,)上有唯一零点0x.()fx与()fx的情况如下：x0(0,)x0x0(,)x()fx＋0－()fx极大值所以()fx在(0,)上有唯一极大值点0x.┄┄┄┄┄┄9分（Ⅱ）e()ex

xaxafxa，令()exhxaax，则()exhxa.①若0a，则()0hx，()hx在R上是增函数.因为11(e1)0ahaa，(1)e0h，所以()hx恰有一个零点0x.令0e0xa，得0ln()xa.代入0()0hx，得l

n()0aaaa，解得1a.所以当1a时，()hx的唯一零点为0，此时()fx无零点，符合题意.②若0a，此时()fx的定义域为R.当lnxa时，()0hx，()hx在区间(,ln)

a上是减函数；当lnxa时，()0hx，()hx在区间(ln,+)a上是增函数.所以min()(ln)2lnhxhaaaa.又(0)10ha，由题意，当2ln0aaa，即20ea时，()fx无零点，符合题意.综上，a的取值范围是2{1}(0,e

).┄┄┄┄┄┄15分西城区高三统一测试试卷数学2022.4第14页（共15页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）{}na，{}nc.┄┄┄┄┄┄5分（Ⅱ）若0d，则由①可知211aa，所以10aZ或11

aZ，且公差0dN.以下设0d.由①，*1213,,,klklaaaaaaN，两式作差得1321()()lklkdaaaaaad，因为0d，所以1alkZ.由①，*2324,,,mnmnaaaaaaN，两式作差得2432()

()nmnmdaaaaaad，因为0d，所以2anmZ.因此，21daaZ.若0d，则等差数列{}na是递减数列，由①21a为{}na中的项，因此，211aa≤，解得101a≤≤，由1aZ且公

差dZ，所以10a或1，1d≤，41313(1)2aad≤，由①，24a为{}na中的项，且2241(2)4aa≥，这与等差数列{}na递减矛盾，因此，0d不成立.综上，1aZ且公差dN.┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）因为公差*d

N，所以1d≥，即{}na是递增数列.若10a，因为1aZ,所以*113,2aaN，则131111(2)(2)2aaaadaa≥，且113112aaaaa≤，由①113aaa为{}na中的项，这

与等差数列{}na是递增数列矛盾.因此，10a≥，又由（Ⅱ）1aZ，故1aN.由1aN,*dN知，*,0nnaN≥且na中存在一项为正整数，取最小的正整数项ka.则由②，*,ijN，使得ijkaaa且1ikaa≥≥，1jkaa≥≥.西城区高三统一测试试卷数学202

2.4第15页（共15页）因此2kijkaaaa≥，解得1ka≤，又*kaN，故1ka.因为{}na是递增数列，（ⅰ）若10a，则2121kdaaaa，此时1nan.因为*,ijN，(1)(1)1ijaaijijij

，令2kijij，有*kN，且ijkaaa.所以{}na满足条件①.因为*kN，令2i，jk有21ijkkkaaaaaa.所以{}na满足条件②.（ⅱ）若10a，则11kaa，1(1)nand.因为*,ijN，11((1))

((1))ijaaaidajd2211(2)(1)(1)aijdaijd1((2)(1)(1))aijijdd.令(2)(1)(1)1kijijd，则*kN，且ijkaaa.所以{}na满足条件①.因为*kN，

令1i，jk，有11ijkkkaaaaaa.所以{}na满足条件②.综上，1nan或1(1)nand.┄┄┄┄┄┄15分