【文档说明】北京石景山区2022届高三数学一模试卷及答案.doc，共(13)页，1.111 MB，由baby熊上传

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高三数学试题第1页（共13页）石景山区2022年高三统一练习数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共

10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设全集1≥UxxR，集合3≥AxxR，则UAðA．[13)，B．[13]，C．(3)，D．[3)，

2．复数z满足(1i)1iz，则zA．iB．iC．1D．13．从12345，，，，中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是A．25B．12C．35D．344．设l是直线，，

是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若l∥，l∥，则∥B．若l∥，l⊥，则⊥C．若⊥，l⊥，则l⊥D．若⊥，l∥，则l⊥5．已知圆22:(3)9Cxy，过点(12)，的直线l与圆C交于AB，两点，则弦AB长度的最小值为A．1B．2C．3D．4高三数

学试题第2页（共13页）6．函数()3xxfxx的图象大致为7．在等差数列na中，36936aaa，设数列na的前n项和为nS，则11SA．12B．99C．132D．1988．在△ABC中，2sinsinsinABC，若π3A，则B的大小是A．π6B．π4C．π

3D．2π39．“4m”是“2210xmx在1，x上恒成立”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．设，AB为抛物线2:Cyx上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以，AB为切点

作抛物线C的切线，两条切线交于点P．则下列结论:①点P一定在抛物线C的准线上；②PFAB；③△PAB的面积有最大值无最小值．其中，正确结论的个数是A．0B．1C．2D．3xyO11BxyO11CxyO11Axy11OD高三数学试题第3页（共13页）第二部分（非选

择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数lg()21)(xfxx的定义域是_________．12．在371()xx的展开式中，5x的系数是_________．（用数字填写答案）13．正项数列{}na

满足221nnnaaa，*nN．若59a，241aa，则2a的值为_________．14．设点1F，2F分别为椭圆22:14xCy的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得12PFPFm成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为_________．15．已知非空集合AB，

满足：ABR，AB，函数3()32.xxAfxxxB，，，对于下列结论:①不存在非空集合对()AB，，使得()fx为偶函数；②存在唯一非空集合对()AB，，使得()fx为奇函数；③存在无穷多非空集合对()AB，，使得方

程()=0fx无解．其中正确结论的序号为_________．高三数学试题第4页（共13页）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题13分）设函数()sin(

)(00)6，fxmxm．已知存在，m使得()fx同时满足下列三个条件中的两个：条件①：函数()fx的最大值为2；条件②：函数()fx的图象可由2sin(2)4yx的图象平移得到；条件③：函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）请写出(

)fx满足的两个条件的序号，说明理由，并求出()fx的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3A，()afA，求△ABC面积的最大值．17．（本小题13分）某学校高中三个年级共有300名

学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：高一年级77.588.59高二年级78910111213高三年级66.578.51113.51718.5（Ⅰ）试估计该校高三年级的学

生人数；（Ⅱ）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；（Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分

别是8910，，（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1x，表格中的数据平均数记为0x，试判断0x与1x的大小．（结论不要求证明）高三数学试题第5页（共13页）18．（本小题14分）

如图1，在四边形PDCB中，PD∥BC，点A在边PD上，BAPD，1PAABBC，12AD．将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB平面ABCD，如图2所示．（Ⅰ）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BCl；（Ⅱ）在线段

SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角QBDC的余弦值为66，请说明理由．图1PDCBA图2SABCDP19．（本小题15分）设函数2()ln(1)()fxxmxmR[．来源:Z,xx,k．Com]（Ⅰ）若1m，（ⅰ）求曲线

()fx在点(0(0))f，处的切线方程；（ⅱ）当(1)x，时，求证：3()fxx．（Ⅱ）若函数()fx在区间(01)，上存在唯一零点，求实数m的取值范围．高三数学试题第6页（共13页）20．（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)xy

Cabab的短轴长等于23，离心率12e．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，判断PFAB是否为定值，请说明理由．21．（本小题15分）若数列{}na中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{}na

为“等比源数列”．（Ⅰ）已知数列{}na为4312，，，，数列{}nb为12624，，，，分别判断{}na，{}nb是否为“等比源数列”，并说明理由；（Ⅱ）已知数列{}nc的通项公式为121nnc，判断{}nc是否为“等比源数列”，并说明

理由；（Ⅲ）已知数列{}nd为单调递增的等差数列，且10d，ndZ*()nN，求证{}nd为“等比源数列”．高三数学试题第7页（共13页）石景山区2022年高三统一练习数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345

678910答案AADBBDCCBC二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．{1}xx；12．35；13．13；14．0（答案不唯一）；15．①③．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题1

3分）解：（Ⅰ）函数()sin()6fxmx满足条件为①③，理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin()6fxmx满足的条件之一，由③可知：2T，所以1．故②不合题意，所以函数()sin(

)6fxmx满足条件为①③，由①知：2A，所以()2sin()6fxx．．．．．．．．．．．．．7分（Ⅱ）由题意可得()afA()2sin232f，由余弦定理得2242co

s3bcbc，所以2242≥bcbcbcbcbc，当且仅当bc时取“”所以4≤bc，所以11sin4sin3223△≤ABCSbcA，所以△ABC面积的最大值为3．．．．．．．．．．．．．13分高三数学试题第8页（共13页）17．（本小题13分）解:（Ⅰ

）抽出的20位学生中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，可得高三年级的学生共有8300=12020（人）；．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）设事件iA为“甲是现有样本中高一年级中的第i个学生”，12345i，，，，，事件jC为“乙是

现有样本中高二年级中的第j个学生”，1234567j，，，，，，，由题意知：1()5iPA，1()7jPC，由于事件iA与事件jC相互独立，所以111()5735ijPAC，设事件B为“该周甲的学习时间不大于乙的学习时间”，由题意知，213141425152BACACACACACAC

，由于213141425152ACACACACACAC、、、、、彼此互斥，所以213141425152()=()PBPACACACACACAC23141425152116=()()()()()()65735PACPACPACPACPACPAC所以629()1()13535PBP

B，故该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间概率为2935．．．．．．．．10分（Ⅲ）77.588.5985x高一，7+8+9+10+11+12+13==107x高二，6+6.5+7+8.5+11+13.5+17+18.5

==118x高三高三数学试题第9页（共13页）三组总平均值04070889.920x，新加入的三个数8910，，的平均数为9，比0x小，故拉低了平均值，所以10xx．．．．．．．．．．．．．13分18．（本小题14分）解：（Ⅰ）依题意，ADAB因为PD∥BC，

所以BCAB，由于平面SAB平面ABCD，且交线为AB，BCABCD平面，所以BC平面SAB，因为l是平面SDC与平面SAB的交线，所以l平面SAB，故BCl．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AD平面SAB，所以ADSA，由题意可知SAAB

,ADAB．以点A为坐标原点，分别以ADABAS，，所在直线为xyz，，轴建立空间直角坐标系，则(000)A，，，(010)B，，，(110)C，，，1(00)2D，，，(001)S，，，zyxQSABCDP1(10)2B

D，，，(111)SC，，，设(01)SQSC，则(1)Q，，，(11)BQ，，，设()nxyz，，是平面QBD的一个法向量，高三数学试题第10页（共13页）则102(1)(1)0nBDxynBQxyz，，令2x，可

得13(21)1n，，，由于(001)m，，是平面CBD的一个法向量，依题意，二面角QBDC的余弦值为66，所以21361cos613141+()1mnmnmn，，解得1(01)2，，所以当点Q是棱SC的中点时，符合

题意．．．．．．．．．．．．．14分19．（本小题15分）解：（Ⅰ）1m，所以2()ln(1)fxxx．（ⅰ）1()21fxxx，(0)1kf．又(0)0f，所以()fx在(0(0))f，点处的切线方程为yx．．．．．．．．．．．．．4分（ⅱ

）令323()()ln(1)Fxfxxxxx，3232213213(1)()23111xxxxxFxxxxxx，(1)x，时，()0Fx，()Fx在(1)，上单调递减，所以()(1)ln20FxF，所以当(1)x，时

，3()fxx．．．．．．．．．．．．．10分（Ⅱ）2()ln(1)fxxmx，()fx的定义域为(1)，，222()2011mxxmfxxxx，即2220xxm．当48m≤0即m≥12

时，()fx≥0，()fx在(1,)上单调递增，高三数学试题第11页（共13页）又(0)0f，所以在(01)，上无零点，不合题意；当480m即12m时2220xxm有两根1212()xxxx，；当22

(1)2(1)0m即102m时，11(1)2x，，21(0)2x，，此时()fx在2()x，上单调递增，又(0)0f，所以在(01)，上无零点，不合题意；当0m时2()fxx，此时()fx在(01)，上无零点，不合题意；当0m时1(1)x，

，2(0)x，，此时()fx在2(0)x，上单调递减，在2()x，上单调递增，(0)0f，所以2()0fx，()fx在区间(01)，上存在唯一零点，即(1)0f即可．解得1ln2m．综

上，若()fx在区间(01)，上存在唯一零点，则1(0)ln2m，．．．．．．．．．．．．．15分20．（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意可得223b，所以3b，又12cea，由222abc得2=1，ac，所以椭圆C的方程为22143xy．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）

PFAB为定值．证明：由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)ykx，联立22143(1)，，xyykx得2222(3484(3))0kxkxk，设11()，Axy，2

2()，Bxy，则2122834kxxk，21224(3)34kxxk，设AB的中点为00()，Qxy，则212024234xxkxk，0023(1)34kykxk．高三数学试题第12页（共13页）当0k时，线段AB的垂直平分线的方程为222314()3

434kkyxkkk，令0y，得2234kxk，即22(0)34，kPk，所以22223(1|||1|3434)kkPFkk．222121212(1||(1(4)))ABkxxkxxxx222222816(3)1()3

434kkkkk2212(1)34kk．所以22223(113412(1)3)44kkkkPFAB．当0k时，直线l的方程为0y，此时，||24ABa，||1PFc，14

PFAB．综上PFAB为定值14．．．．．．．．．．．．．15分21．（本小题15分）解：（Ⅰ）{}na是“等比源数列”，{}nb不是“等比源数列”．{}na中“124，，”构成等比数列，所以{}na是“等比源数列”；{}nb中“126，，”，“1224

，，”，“1624，，”，“2624，，”均不能构成等比数列，所以{}nb不是“等比源数列”．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）{}nc不是“等比源数列”．假设{}nc是“等比源数列”，因为{}nc是单调递增数列，即{}nc中存在的mnkccc，，（

mnk）三项成等比数列，也就是2nmkccc，即1211(21)(21)(21)nmk，高三数学试题第13页（共13页）2221122222nnmkmk，两边时除以12m得211122212nmnmkkm，等式左边21122

nmnm为偶数，等式右边1212kkm为奇数．所以数列{}nc中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得{}nc不是“等比源数列”．．．．．．．．．．．．．9分（Ⅲ）证明：因为等差数列{}nd单调递增，所以0d．因为ndZ则1

d，且dZ，所以数列{}nd中必有一项0md．为了使得{}nd为“等比源数列”，只需要{}nd中存在第n项，第k项（mnk），使得2nmkddd成立，即2[()][()]mmmdnmdddkmd

，即()[2()]()mmnmdnmddkm成立．当mndm，2()mkdnmdm时，上式成立．所以{}nd中存在mnkddd，，成等比数列．所以，数列{}nd为“等比源数列”．．．．．．．．．．．15分【若有不同解法，请酌情给分

】