【文档说明】北京海淀区2022届高三数学一模试卷及答案.docx，共(12)页，642.552 KB，由baby熊上传

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海淀区2021—2022学年第二学期期中练习高三数学2022.03本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题

共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{|12}Axx，{|0}Bxx，则AB(A){|2}xx(B){|1}x

x(C){|1}xx(D){|0}xx（2）在复平面内，若复数z对应的点为(1,1)，则(1i)=z(A)2(B)2i(C)2i(D)2（3）双曲线2213xy的离心率为(A)33(B)6

3(C)233(D)3（4）在4()xx的展开式中，2x的系数为(A)1(B)1(C)4(D)4（5）下列命题中正确的是（A）平行于同一个平面的两条直线平行（B）平行于同一条直线的两个平面平行（C）垂直于同一个平面的两个平面平行（D）垂直于同一条直线的两个平面平行（6）已知直线:

1laxby是圆22220xyxy的一条对称轴，则ab的最大值为（A）14（B）12（C）1（D）2（7）已知角的终边绕原点O逆时针旋转2π3后与角的终边重合，且cos()1，则的取值可以为(A)π6(B)π

3(C)2π3(D)5π6（8）已知二次函数()fx的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度后得到函数()gx的图象，则不等式2()loggxx的解集是（A）(,2)（B）(2,)xy1-2O（C）(0,2)（D）(0,1)（9）在ABC△中，π=4A，则“2sin

2B”是“ABC△是钝角三角形”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）[0,20)[20,40)[40,60)[60

,80)[80,)总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人.用,XY分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人

数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；③,XY的取值范围都是12{0,,}65；④()()EXEY.

其中，正确结论的个数为(A)1(B)2(C)3(D)4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若抛物线22ypx的准线方程为1x，则p_____.（12）已知na是等比数列，n

S为其前n项和.若2a是12,aS的等差中项，415S，则公比q=_____,1a_____.（13）若函数()|2|1xfxa的值域为[1,)，则实数a的一个取值可以为.（14）已知12,ee是单位向量，且120ee.设向量12aee，当1时，1,

ae______；当2时，1||ae的最小值为.（15）已知函数2cosπ()1xfxx，给出下列四个结论：①()fx是偶函数；②()fx有无数个零点；③()fx的最小值为12；④()fx的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为____________.三、解

答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）设函数()2sincoscos2fxxxAx（AR）.已知存在A使得()fx同时满足下列三个条件中的两个：条件①：(0)0f；条件②：()fx的最大值为2；条件③：π8x

是()fx图象的一条对称轴.（Ⅰ）请写出()fx满足的两个条件，并说明理由；（II）若()fx在区间(0,)m上有且只有一个零点，求m的取值范围.（17）（本小题14分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，平面11AADD平面ABCD，2AD，11AA

AD.（Ⅰ）求证：1ADAB；（Ⅱ）若AB与平面11ADC的所成角的正弦值为217，求1AA的长度.（18）（本小题14分）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，深睡时间越少，

睡眠指数也就越低.根据某B1C1D1A1BCDA次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比1[0,51)0.1%9.2%2[51,66)11.1%47.4%3[66

,76)34.6%31.6%4[76,91)48.6%11.8%5[91,100]5.6%0.0%注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.（Ⅰ）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位

数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（Ⅱ）据统计，睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中，早睡人群约占80%.从睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望()EX；（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数

平均值一定落在区间[76,90)内.试判断这种说法是否正确，并说明理由.（19）（本小题14分）已知函数2()e(1)xfxaxx.（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线的方程；（Ⅱ

）若函数()fx在0x处取得极大值，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数()fx存在最小值，直接写出a的取值范围.（20）（本小题15分）已知椭圆:C22221xyab（0ab）的下顶点A和右顶点B都在直线11:(2)2lyx上.（Ⅰ）求椭圆

方程及其离心率；（Ⅱ）不经过点B的直线2:lykxm交椭圆C于两点P,Q，过点P作x轴的垂线交1l于点D，点P关于点D的对称点为E.若,,EBQ三点共线，求证：直线2l经过定点.（21）（本小题14分）设m为正整数，若无穷数列na满足ikiikaai(1,2,,1,

2,)imk；，则称na为mP数列.（Ⅰ）数列n是否为1P数列？说明理由；（Ⅱ）已知nsatnn为奇数为偶数，，，，，其中,st为常数.若数列na为2P数列，求,st；（Ⅲ）已知3P

数列na满足10a，82a，666(1,2,)kkaak，求na．海淀区2021~2022学年第二学期期中练习高三数学参考答案2022.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BACBDA

CCAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案22；11（只需0a即可）π242；①②④说明：12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选

2个2分，不选0分。三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）()fx满足条件②和条件③.由()2sincoscos2fxxxAx，得2()sin2cos21sin(2)fxxAxAx

,ππ(,tan)22A所以()fx的最大值为21A.由条件②：()fx的最大值为2，得212A，得1A.当1A时，π()2sin(2)4fxx，π()28f，满足条件③，当1A时，π()2sin(2)4fxx，π()08f，不满足条件③，所以，(

)fx满足条件②和③，且π()2sin(2)4fxx.（Ⅱ）方法1:当0xm时，πππ22444xm,因为()fx在区间(0,)m上有且只有一个零点，所以ππ22π4m，得3π7π88m，所以m的取值

范围是3π7π(,]88.方法2:令π2π,4xkkZ，得1ππ,28xkkZ.所以()fx的所有零点为1ππ,28kkZ，即π3π7π,,,,888因为()fx在区间(0,)m上有且只有一个零点，所以该零点为3π8,m的取值范围是3π7π(,]88（17）（本小

题14分）解：（Ⅰ）在四棱柱1111ABCDABCD中，取棱AD中点为O，因为11AAAD，所以1AOAD.又因为平面11AADD平面ABCD，且平面11AADD平面ABCDAD，所以1AO平面ABCD.所以1AOAB

.因为底面ABCD是正方形，所以ABAD，因为1ADAOO，所以AB平面1AAD.所以AB1AD，即1ADAB.（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Oxyz，设1OA长度为a，因为正方形ABCD的边长2AD，则(0,0,0)O，(0,1,0)A

，(2,1,0)B，(0,1,0)D，1(0,0,)Aa，1(2,2,)Ca.所以(2,0,0)AB，1(0,1,)ADa，11(2,2,0)AC.设平面11ADC的法向量为(,,)nxyz，则1110,220,nADyaznACxy

令1z，则,yaxa，于是(,,1)naa.zyxD1C1B1OA1DABC因为AB与平面11ADC的所成角的正弦值为217，所以2221cos,7221ABnaABnABna，所以3a，所以

2211312AAAOAA.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.（Ⅱ）X的取值范围是{0，1，2，3}，0303411=055125PXC

（）=12134112=155125PXC（）=21234148=255125PXC（）=30334164=355125PXC（）=所以随机变量X的分布列为：X0

123P1125121254812564125所以随机变量X的数学期望11248641201231251251251255EX（）.（Ⅲ）这种说法不正确.例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指

数的均值为00.001510.111660.346760.486910.05600.001660.346760.486910.056510.056510.05500.001660.346760.

486710.112510.055760.001760.346760.486760.112760.05576所以这种说法不正确.法2.例如：当第1组均值为0，第2组均

值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为00.001510.111660.346760.486910.0560510.12660.35760.50910.0672.687

6.所以这种说法不正确.（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为2()(1)exfxaxx，所以01f，21exfxxaxa，所以00f，所以切线为：1y.（Ⅱ）21exfxxaxa

.（1）当0a时，exfxx，令0fx，得0x，fx与fx的情况如下：𝑥(−∞,0)0(0,+∞)𝑓′(𝑥)+0−𝑓(𝑥)↗↘此时，fx在0x处取得极大值，符合题意；（2）当0a时，令0fx，得0x，或12xa.

①当102a时,120a,fx与fx的情况如下：此时，fx在0x处取得极大值，符合题意；②当12a时，120a，0fx，fx单调递增，无极大值，不符合题意；③当12a时,120a,fx与fx的情况如下：𝑥(−∞,0)0(

0,1𝑎−2)1𝑎−2(1𝑎−2,+∞)𝑓′(𝑥)+0−0+𝑓(𝑥)↗↘↗𝑥(−∞,1𝑎−2)1𝑎−2(1𝑎−2,0)0(0,+∞)此时，fx在0x处取得极小值，不符合题意；（3）当0a

时，120a.fx与fx的情况如下：此时，fx在0x处取得极大值，符合题意.综上，1,2a.（Ⅲ）10,4.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由11:(2)2lyx可

知(0,1),(2,0),AB椭圆方程22:14xCy,所以，离心率32e.（Ⅱ）方法一：由2244ykxmxy，得222(41)8440kxkmxm，由2222644(41)(44)0kmkm，得2241km.设1122(,),(,),PxyQx

y则2121222844,4141kmmxxxxkk，由题意得111111(,1),(,2)2DxxExxy，因为,,BEQ三点共线，且直线BQ斜率存在，𝑓′(𝑥)+0−0+𝑓(𝑥)↗↘↗𝑥(−∞,1𝑎−2)1𝑎−2(1𝑎−2,0)0(0,+∞)𝑓′(𝑥)

−0+0−𝑓(𝑥)↘↗↘所以BQBEkk，即21121222yxyxx，所以122110(2)(2)(2)xyxxy12211(2)()(2)(2)xkxmxxkxm1212(21)(22)()(44)k

xxmkxxm222448(21)(22)()(44)4141mkmkmkmkk化简得，2(41)2(21)0mkmkk.所以(2)(2+1)=0mkmk.又因为2(2,0)Bl，所以2

0,2+1=0mkmk,所以2l恒过定点(2,1).方法二：下面证明2l恒过定点(2,1)G.设1122(,),(,),PxyQxy则111111(,1),(,2)2DxxExxy,所以1111111221222BPBEyxyxkkxxx

,设直线:(2)BPynx，代入2244xy,得：2222(41)161640nxnxn,因为2222164822,4141PPnnxxnn，所以24(2)41PPnynxn,所以2

222411(21)418224241PPGPnynnknxn，用1n代替n，得22[2(1)1](21)44QGnnk.所以PGQGkk，所以,,PQG三点共线,所以2l恒过定点(2,1)G.（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为nan，所

以111kkaka．所以na是1P数列．（Ⅱ）因为na是2P数列，所以112tssttt．，，解得01st．，（Ⅲ）①先证明2121kkaa(12k，，)．则212222

1222112kkkkkkaaaaaa．，，所以2121kkaa(12k，，)．②再证明6616263kkkkaaaa，，，(12k，，)是公

差为1的等差数列．设6kab，611kab，62kac，631kac，则213cbcb．，所以2cb．所以6616263kkkkaaaa，，，(12k，，)是公差为1的等差数列．③接

下来证明636261kkkaaa，，(12k，，)是公差为1的等差数列．设63kad，62kae，611kae，6kaf，则123edfefd．，，所以1ed．所以636261kkkaaa，，

(12k，，)是公差为1的等差数列．④由①、②、③，6616265kkkkaaaa，，，，(12k，，)是公差为1的等差数列．因为82a，所以67891011012345aaaaaa

，，，，，．因为6510aa，所以51a．又由①、③，所以23454321aaaa，，，．因为2114aa，10a，所以15a．所以6nan(1211n，，，)．⑤最后证明666kak(12k，，)，从而6nan．

当1k时，已证．（反证法）假设存在k使得666kak不成立，且此时最小的k为(2)rr．则6(1)6(1)6rar，即66612rar．所以61670rar．所以661166rraar．又因为666612

0rraar，所以666rar，与假设矛盾．所以666kak(12k，，)恒成立，从而6nan．