【文档说明】北京丰台区2022届高三数学一模试卷及答案.doc，共(10)页，1.152 MB，由baby熊上传

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丰台区高三数学综合练习（一）第1页/共10页北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学2022.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

．1．已知集合{|12}Axx≤，{|21}Bxx≤，则AB（A）{|11}xx（B）{|11}xx≤（C）{|22}xx（D）{|22}xx≤2．已知命题p：2110xx

,，则p是（A）2110xx,（B）2110xx,≤（C）2110xx,≤（D）2110xx≤,≤3．已知复数i()zababR,，则“0a”是“z为纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而

不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4．已知圆22:20Cxxy，则圆心C到直线3x的距离等于（A）4（B）3（C）2（D）15．若数列na满足12nnaa，且41a，则数列na的前

4项和等于（A）15（B）14（C）158（D）786．在△ABC中，7cos423Bab,,，则A（A）6（B）3（C）56（D）6或567．在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区

“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者.则这6位志愿者不同的分配方式共有（A）19种（B）20种（C）3

0种（D）60种8.已知F是双曲线22:148Cxy的一个焦点，点M在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若||||OMMF，则△OMF的面积为（A）32（B）322（C）32（D）6丰台区高三数

学综合练习（一）第2页/共10页9.已知函数32()3xxafxxxxa,,,≥无最小值，则a的取值范围是（A）(1],（B）(1),（C）[1),+（D）(1),+10.对任意*Nm，若递增数列na中不大于2m的项

的个数恰为m，且12100naaa，则n的最小值为（A）8（B）9（C）10（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()2lgfxxx的定义域是．12.已知向量(23),a，(6)x,b.若ab，则=x．1

3.已知函数()fx的定义域为[01],.能够说明“若()fx在区间[01],上的最大值为(1)f，则()fx是增函数”为假命题的一个函数是．14.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，则F的坐标为；设点M在抛物

线C上，若以线段FM为直径的圆过点(02),，则||FM．15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，MN，分别是棱1111ABAD，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体1111ABCDABCD

所得的截面图形是五边形；②直线11BD到平面CMN的距离是22；③存在点P，使得11=90BPD；④△1PDD面积的最小值是556.其中所有正确结论的序号是．D1C1B1A1PNMDCBA丰台区高三数学综合练习（一）第3页/共10页三、解答题共6小题，共85分

．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共13分）已知函数()sin()(0||)2fxx,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()fx的解析式唯一确定.（Ⅰ）求

()fx的解析式；（Ⅱ）设函数()()()6gxfxfx，求()gx在区间4[0],上的最大值．条件①：()fx的最小正周期为；条件②：()fx为奇函数；条件③：()fx图象的一条对称轴为4x.注：如果选

择多组条件分别解答，按第一个解答计分．17.（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，90DAB，12ADDCAB．以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AFAD．（Ⅰ）求证：DF平面BCE；（Ⅱ）在线段DF上是否存在点P，使得直线AE和

平面BCP所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共14分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业

人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造

”的ADCBEF丰台区高三数学综合练习（一）第4页/共10页人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望()EX；（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(098)a人选择了上表中其他的毕业去

向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s.当a为何值时，2s最小.（结论不要求证明）19.（本小题共15分）已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为A，B，且||4AB，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，

PB与直线4x分别交于点MN，.若||4MN≤，求点P横坐标的取值范围．20.（本小题共15分）已知函数()fxxax．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）若函数2()()3agxfx恰有两个不同的零点，求a的

取值范围.21.（本小题共14分）已知集合{12}Sn,,,(3n≥且n*N），12{}mAaaa,,,，且AS.若对任意ijaAaA,（1ijm≤≤≤），当ijaan≤时，存在kaA(1km≤≤)，使得ijkaaa，则称A是S的

m元完美子集.（Ⅰ）判断下列集合是否是{12345}S,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A,,；②2{245}A,,.（Ⅱ）若123{}Aaaa,,是{127}S,,,的3元完美子集，求123aaa的最小值；（Ⅲ）若12{}mAaaa,,,是{12}Sn,,

,(3n≥且n*N）的m元完美子集，求证：12(+1)2mmnaaa≥，并指出等号成立的条件.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学综合练习（一）第5页/共10页北京市丰台区2021---2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案202

2．03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案DBBCCAACDC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．(02],12．413．21()()4fxx（答案不唯一）14．(10),；

515．①③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共13分）解：选择条件①②：（Ⅰ）由条件①及已知得2ππT，所以2.由条件②得()()fxfx，所以(0)0f，即

sin0.解得π()kkZ.因为||2，所以0，所以()fxsin2x.经检验0符合题意.„„„„„„6分（Ⅱ）由题意得()sin2sin(2)3πgxxx，化简得()3sin

(2)6πgxx.因为0π4x≤≤，所以ππ2π2663x≤≤，所以当ππ262x，即6πx时，()gx的最大值为3.„„„„„„13分丰台区高三数学综合练习（一）第6页/共10页选择条件①③

：（Ⅰ）由条件①及已知得2ππT，所以2.由条件③得()ππ2π42kkZ，解得π()kkZ.因为||2，所以0.所以()fxsin2x.„„„„„„6分（Ⅱ）由

题意得()sin2sin(2)3πgxxx，化简得()3sin(2)6πgxx.因为0π4x≤≤，所以ππ2π2663x≤≤，所以当62ππ2x，即6πx时，()gx的最大值为3.„„„„„„13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由题意得EFCD‖，E

FCD，所以四边形DCEF为平行四边形.所以DFCE‖.因为DF平面BCE，CE平面BCE，所以DF‖平面BCE．„„„„„„4分（Ⅱ）线段DF上存在点P，使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD，AB，AF两两垂直.如图

，建立空间直角坐标系Axyz.设2AB，则(000)A,,，(020)B,,，(110)C,,，(100)D,,，(011)E,,，(001)F,,．所以(011)AE,,，(110)BC,,，(120)BD

,,,(101)DF,,.丰台区高三数学综合练习（一）第7页/共10页设(01)DPDF≤≤，则(12)BPBDDPBDDF,,.设平面BCP的一个法向量为()=x,y,zn

，所以00BCBP,,nn即0(1)20.xyxyz,令x，则y，1z.于是(1+),,n=．设直线AE和平面BCP所成角为，由题意得222|||12|5sin|cos|62(1)||||

AEAEAE,nnn，整理得232270，解得13或7.因为01≤≤，所以13，即13DPDF.所以线段DF上存在点P，当13DPDF时，直线AE

和平面BCP所成角的正弦值为56.…………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000.……4分（Ⅱ）由题意得，样本中1000名毕

业生选择“继续学习深造”的频率为200110005.用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15.随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.所以00331164(0)()(1)55125PXC，1231148(1)()(1)

55125PXC，2231112(2)()(1)55125PXC，3303111(3)()(1)55125PXC.丰台区高三数学综合练习（一）第8页/共10页所以X的分布列为X0

123P641254812512125112564481213()01231251251251255Ex．„„„„„11分（Ⅲ）42a.„„„„„14分19．（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意得2222432acaabc，,,解得24a，2

1b.所以椭圆C的方程是2214xy.……………….5分（Ⅱ）设()Pmn,（22m），由已知得(20)A,，(20)B,，所以直线AP，BP的方程分别为(2)2nyxm，(2)2nyxm.令4x，得点M的纵坐标为62Mny

m，点N的纵坐标为22Nnym，所以62||22nnMNmm24(4)4nmm.因为点P在椭圆C上，所以2214mn，所以2244mn，即4||mMNn.因为4MN||≤，所以44mn≤，即22(4)16mn≤

.所以22(4)4(4)mm≤.整理得2580mm≤，解得805m≤≤.所以点P横坐标的取值范围是8[0]5，.……………….15分丰台区高三数学综合练习（一）第9页/共10页20.（本小题共15分）解：（Ⅰ）当1a

时，()1(1)fxxxx≤，所以23()21xfxx.令()1fx，解得0x.因为(0)0f，所以切点坐标为(00),.故切线方程为yx.……………….5分（Ⅱ）因为2()3agxxax()xa≤，所以23()

.2axgxax令()0gx，解得23ax.当0a≤时，由xa≤,得230axa≥≥，所以()0gx≥，则()gx在定义域(]a,上是增函数.故()gx至多有一个零点，不合题意，舍去.当0a时，随x变化()gx和()gx的变化情况如下表：故()g

x在区间2()3a,上单调递增，在区间2()3aa,上单调递减，当23ax时，()gx取得最大值2()3ag2369aaa.若03a≤时，223(3)()039aaag≤，此时()gx至多有一个零

点；若3a时，2()03ag，又2(0)()03agga,由零点存在性定理可得()gx在区间2(0)3a,和区间2()3aa,上各有一个零点，所以函数()gx恰有两个不同的零点，符合题意.综上所述，a的取值范围是(3)，.……………….15分丰

台区高三数学综合练习（一）第10页/共10页21．（本小题共14分）解：（Ⅰ）①因为1235≤，又13A,所以1A不是S的3元完美子集.②因为2245≤，且24A,而55454425245

，所以2A是S的3元完美子集.……………….4分（Ⅱ）不妨设123aaa.若11a，则112aaA,123A,134A，与3元完美子集矛盾；若12a，则114aaA，246A，而267，符合题意，

此时123+12aaa.若13a≥，则116aa≥，于是24a≥，36a≥，所以123+13aaa≥.综上，123+aaa的最小值是12.……………….8分（Ⅲ）证明：不妨设12maaaL.对任意1im≤≤，都有11imiaan

≥,否则，存在某个(1)iim≤≤，使得1imiaan≤.由12maaaL，得121iiiimiaaaaaaan≤.所以121iiimiaaaaaa,,,是A中1mi个不同的元素，且均属于集合12{}iimaaa,,,L

，该集合恰有mi个不同的元素，显然矛盾.所以对任意1im≤≤，都有11imiaan≥.于是1211211212()()()()()(1)mmmmmmaaaaaaaaaaaamn≥LL.即12(1)2mmnaaa≥L.等号成

立的条件是111nam*N且(1)(2)1iniaimm≤≤.……………….14分（若用其他方法解题，请酌情给分）