【文档说明】北京房山区2022届高三数学一模试卷及答案.doc，共(13)页，1.189 MB，由baby熊上传

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高三数学一模试卷1/13房山区2021-2022学年度一模考试高三数学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选

择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合2,1,0,1,2A｛｝，2{|2}Bxx，则AB（A）{2,1,0,1,2}（

B）{1,0,1}（C）{2,2}（D）{0,1}（2）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,1)，则zz（A）5（B）3（C）54i（D）34i（3）若0,ab且ab，则下列不等

式一定成立的是（4）若6()axx的展开式中的常数项为20，则a（5）已知M为抛物线22(0)xpyp上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴的距离为3，则p（A）12（B）1（C）2（D）4（6）在等差数列na中，35a，151110

9aa，则15aa（A）22ab（B）11ab（C）2baab（D）2abab（A）2（B）2（C）1（D）1（A）92（B）9（C）10（D）25高三数学一模试卷2/13（7）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/

s）可以表示为31log2100Qv，其中Q表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（8）已知函数22cos()1fxx，则“+()4kkZ”是“fx为奇函数”的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知直线l被圆22:2Cxy所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（A）12xy（B）22(1)1xy（C）2212xy（D）221xy

（10）已知U是非空数集，若非空集合12,AA满足以下三个条件，则称12(,)AA为集合U的一种真分拆，并规定12(,)AA与21(,)AA为集合U的同一种真分拆.①12AA；②12AAU；③(1,2)iAi的元素个数不是iA中的元素.则集合{1,2,3,4,5,6}U的真

分拆的种数是第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若双曲线2221(0)xyaa的一条渐近线方程为12yx，则a.（12）已知a，b是单位向量，2cab，且ac，则ab___；c.（13）将函数(

)sin2fxx的图象向右平移6个单位长度后得到函数()gx的图象，（A）2600（B）2700（C）26（D）27（A）5（B）6（C）10（D）15高三数学一模试卷3/13则()gx___；若()gx在区间[0,]m上的

最小值为(0)g,则m的最大值为.（14）函数()fx的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若fx在区间(0,2)上存在零点，则(02)0ff”为假命题的一个函数()fx的解析式可以为()fx___．（15）如图,正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点O为底

面ABCD的中心，点P在侧面11BBCC的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①1DOAC；②存在一点P，1DO//1BP；③若1DOOP，则△11DCP面积的最大值为5；④若P到直线11DC的距离与到

点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是___.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111-ABCABC中，1BB平面ABC，1

1ABBCBB．（Ⅰ）求证：AC//平面11BAC；（Ⅱ）若ABBC，求：①1AA与平面11BAC所成角的正弦值；②直线AC与平面11BAC的距离．（17）（本小题14分）在△ABC中，sincosbAaB.（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）再从下列三个条件

中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积.条件①：1cos2A；条件②：2b；条件③：AB边上的高为62.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．ABCD1A1B1C1DO

P高三数学一模试卷4/13（18）（本小题14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气

污染治理取得里程碑式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8

月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为21s，空气质量污染天数的方差为22s.试判断21s，22s的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数()(ln)exfxxa．（Ⅰ）当0a时，求曲线()yfx在1x处的切线方程；（

Ⅱ）若()fx在区间(0,e]存在极小值，求a的取值范围．（20）（本小题满分15分）已知椭圆C的离心率为32，长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)AB.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(1,0)的直线与椭圆C交于,MN（不与

,AB重合）两点，直线AM与直线4x交于点Q．求证:BQBNSSMBQMBN．月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177高三数学一模试

卷5/13（21）（本小题14分）若无穷数列na满足如下两个条件，则称na为无界数列：①0(1,2,3,)nan；②对任意的正数，都存在正整数N，使得Na．（Ⅰ）若21nan，2cos()1,2,3

,nbnn，判断数列na，nb是否是无界数列；（Ⅱ）若21nan，是否存在正整数k，使得对于一切nk≥，都有122311nnaaanaaa成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；（Ⅲ）若数列

na是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得122311mmmaaaaaa．高三数学一模试卷6/13房山区2022年高考第一次模拟考试参考答案高三年级数学学科一、选择题共10小题，每小题4分，共4

0分。12345678910BACDCBDACA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）2（12）1;32（13）5sin(2);36x（14）答案不唯一，如2(1)x（15）①③三、解答题共6小题，共85分

。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（Ⅰ）在三棱柱111ABCABC中，四边形11AACC为平行四边形.所以11//ACAC.............................................2因为AC平面1

1BAC，11AC平面11BAC，所以AC//平面11BAC............................................2(4)（Ⅱ）因为1BB平面ABC，,ABBC平面ABC，所以11,BBABB

BBC.又AB⊥BC，所以1,,ABBBBC两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系Bxyz，...................................................................1(5)则(100)A，，,

1(0,1,0)B,1(0,1,1)C,1(110)A，，，(0,0,0)B.所以1(1,1,0)BA，1(0,1,1)BC,1(0,1,0)AA...........................................6(6)设

平面11BAC的法向量为(,,)xyzn，则1100BABCnn，即0,0.xyyz令1x，则1,1yz.于是(1,1,1)n................................................3

（9）①设直线1AA与平面11BAC所成的角为θ，则111sincos,AAAAAAnnn222(0,1,0)(1,1,1)33111(1)..............2（11）所以1AA与平面11BAC所成角的正

弦值为33．高三数学一模试卷7/13②因为AC//平面11BAC，所以直线AC与平面11BAC的距离就是点A到平面11BAC的距离................1（12）设11ABAC到面的距离为h，则1(0,1,0)(1,1,1)333AAhnn.....

........................................2（14）（17）（本小题14分）（Ⅰ）由正弦定理BbAasinsin及BaAbcossin，.......................................2得Ba

Bacossin.所以1taB.………...…………..………...……………………...……………2因为001800B，所以045B..………...…………..………...…………..………...…………

……1（5）（Ⅱ）选择条件①②，ABC存在且唯一，解答如下：由21cosA，及001350A，得0120A.…...….………...……1（6）由正弦定理BbAasinsin及2b，得0045sin2120sina，解得3a..………...…………..

.…..………...……3（9）方法1：由0180CBA，得015C.）（12342462122232230sin45cos30cos45sin)3045sin(15sinsin0000000

C所以4334262321sin21CabSABC...……2（14）方法2：由余弦定理2222cosabcbcA，得213222()2cc即2210cc，解得622c所以43322)226(321sin21

BacSABC高三数学一模试卷8/13选择①③，ABC存在且唯一，解答如下：由21cosA，及001350A，得0120A..………...……1（6）因为AB边上的高为26，所以22326sinAhb..…

……...……2（8）由正弦定理BbAasinsin及2b，得0045sin2120sina，解得：3a...………...…….………...……3（9）（以下与选择条件①②相同）（18）（本小题14分）（Ⅰ）记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”,则288()365P

A.……………...………………...………………...………………4（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2,3.……………...………………...…………1方法1：记事件B为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件C为“从6月任选1天，这一天空气质量优

良”,事件D为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件,,BCD相互独立，且279()()3010PBPD,217()=3010PC.……...……………...….……………….

.………2所以1313(0)()()()()=1010101000PXPBCDPBPCPD.…………………...…………1(1)())()())()())()()PXPBCDBCDBCDPBPCPDPBPCPDPBPCPD

（（（931171139611010101010101010101000....………………...…………1(2)())()())()())()()PXPBCDBCDBCDPBPCPDPBPCPDPBPCPD（（（97193917936910101

01010101010101000....………………...………………………...1979567(3)())()()1010101000（PXPBCDPBPCPD....………………...………

…1方法2：3933(0)=3030301000PX.27933213392761(1)3030301000PX.高三数学一模试卷9/132721327927321273

69(2)3030301000PX.272127567(3)3030301000PX.所以X的分布列为:X0123P3100061100036910005671000………………...……………...….………………..…

……1（Ⅲ）2212ss.……………...………………...…………2（19）（本小题14分）（Ⅰ）当0a时，()lne(0).xfxxx则1()(ln)e.xfxxx……………...………………...…………1所以(1)e,f.0)1(f…………….

..………………...…………2所以曲线()yfx在1x处的切线方程为e(1)yx.……...…………1（4）（Ⅱ）11()(ln)e(ln)(e)e(ln)eln)exxxxxfxxaxaxaxaxx（.………1（5）令)(xgaxxln

1，(0,e]x.则22111)(xxxxxg.……………...………………...…………1（6）解,0)(xg得1x.'()gx与()gx的变化情况如下：所以函数)(xg在区间(0,e]上的最小值为.1)1(ag.

……...….……………….………2（8）方法1：①当1a时，,01)1(ag所以0)(xg恒成立，即0)(xf恒成立，所以函数)(xf在区间(0,e]上是增函数，无极值，不符合要求.……….……1（9）②当111ea时，因为1(1)10,(e)10egaga

，所以存在0(1,e)x，使得0)(0xg.x10，1(1,e))(xg0)(xg极小值x01x，0x0(,e)x))(')((xfxg0高三数学一模试卷10/13所以函数)(xf在区间(1,e)上存在极小值)(0xf

，符合要求..………………...……4（13）③当11ea时，因为1(1)10,(e)10egaga，所以函数)(xf在区间(1,e)上无极值.取1(0,1)exa，则1()eln1e(1)1(e2)0e

gaaaaaaaa.所以存在0(0,1)x，使得.0)(0xg易知，0x为函数)(xf在区间10，上的极大值点.所以函数)(xf在区间(0,e)上有极大值，无极小值，不符合要求..………...………1（14）综上，实数a的取值范围是），

（e111.方法2：“()fx在区间(0,e]上存在极小值”当且仅当“(1)0(e)0gg”，解得111ea.证明如下：当111ea时，因为(1)0(e)0gg，所以存在0x，使得

0)(0xg.所以函数)(xf在区间(1,e)上存在极小值.所以实数a的取值范围是1(1,1)e.（20）（本小题15分）（Ⅰ）由长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)AB,可得2a,….………………...………1由离心率为32，可得23ac，所以3c.….……

…………...………1又222cba，解得1b.….………………...………1所以椭圆C的标准方程为2214xy.….………………...….………………...………2(5)（Ⅱ）方法1：当直线l斜率不存在时，直线l的方程为1x，)(xf极小值x01x，0x0(,e)x))(')

((xfxg0)(xf极小值高三数学一模试卷11/13易得),23,1(M),23,1(N所以63AMk，直线AM所在的方程为)2(63xy.求得).3,4(Q23BNk,23QBk,所以，QBN,,三点共线，所以BQBNSSMBQMBN．

................................................................1（6）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为)0()1(kxky．...............................1（7）由

，，14)1(22yxxky得0448)41(2222kxkxk．.....................................1（8）设),(),,(2211yxNyxM，则2221418kk

xx,22214144kkxx．.....................................................2（10）211xykAM，直线AM的方程为)2(211xxyy．.............

..........................1（11）所以)26411xyQ，（．................................................................

1（12）所以,2202222xyxykNB2322624026111111xyxyxykBQ．2)1(32)1(23211221122xxkxxkxyxykkBQNB)2)(2()2)(1(3)2

)(1(122112xxxxkxxk)2)(2(8)(52122121xxxxxxk.0)2)(2(8418541)442122222xxkkkkk（所以，QBN,,三点共线，所以BQBNSSMBQMBN．.......

.........................................................3（15）方法2：设直线l的方程为1myx,由，，14122yxmxx得032)4(22myym．高三数学一模试卷12/13设),()

,,(2211yxNyxM，则42221mmyy,43221myy.211xykAM，直线AM的方程为)2(211xxyy．所以)26411xyQ，（．所以,2202222xyxykNB2322624026111111xyxyxy

kBQ．)2)(2()1(3)3(2321221121122xxmyymyyxyxykkBQNB.0)2)(2()(32122121xxyyymy（21）（本小题14分）（Ⅰ）na是无界数列；nb不是无界数列．.............

..........................................4（Ⅱ）存在满足题意的正整数k，且4k³．.......................................

......................5当4n³时，因为12231nnaaanaaa32121231nnnaaaaaaaaa...............

..722222221572357911n，.......8所以存在正整数k(4)k³，对于一切nk，有122311nnaaanaaa成立.....................................

...........................................................9（Ⅲ）因为数列na是单调递增的无界数列，所以1210,nnnaaaaa所以12231nnaaanaaa

32121231nnnaaaaaaaaa32111211111111nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa．........................11即12123111nnnaaaanaaaa.高

三数学一模试卷13/13因为na是无界数列，取12Ma，由定义知存在正整数1N，使1112Naa.所以1112123112NNaaaNaaa．......................................

.......................12由定义可知na是无穷数列，考察数列11Na，12Na，13Na，„，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数2N，使得112112122123112NNN

NNNaaaNNaaa..................................................13故存在正整数2N，使得22121212311122NNaaaNNNaaa

21N．............................................14即存在正整数2mN=，使得122311mmmaaaaaa成立.