【文档说明】北京东城区2022届高三数学一模试卷及答案.docx，共(13)页，789.451 KB，由baby熊上传

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数学第1页（共13页）北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学2022.4本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束

后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{1}Axx，{12}Bxx，则AB（A）{13}xx（B

）{1}xx（C）{13}xx（D）{1}xx（2）下列函数中，定义域与值域均为R的是（A）lnyx（B）exy（C）3yx（D）1yx（3）已知复数z满足i=2+iz，则z的虚部为（A）2（B）2（C）1（D）1（4）已知数列{}na的前n项和2nSn，则{}

na是（A）公差为2的等差数列（B）公差为3的等差数列（C）公比为2的等比数列（D）公比为3的等比数列（5）已知3sin5，则sin2tan（A）3225（B）3225（C）1825（D）1825（6）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E为B

C上一点，则三棱锥11BACE的体积为数学第2页（共13页）（A）12（B）13（C）14（D）16（7）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍

给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（A）322（B）18（C）223（D）112（8）已知,abR，则“222ab”是“11ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系中，直线ykx

m（0k）与x轴和y轴分别交于A，B两点，22AB，若CACB，则当k，m变化时，点C到点（1，1）的距离的最大值为（A）42（B）32（C）22（D）2（10）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数()(0)ktAtAe，其中k为常数.已知小程序

发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（本题取lg20.30）（A）31（B）32（C）33（D）34数学第3页（共13页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5

小题，每小题5分，共25分。（11）在6(2)x的展开式中，常数项为.（用数字作答）（12）已知向量AB，CD在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则ABCD=_________．（13）已知抛物线2:2Cypx过点(2,4)P，则p_；若点1(4

,)Qy，2(,)Rty在C上，F为C的焦点，且||PF,||QF,||RF成等比数列，则t__．（14）已知函数2e,0()1,0xkxxfxkxxx，．若0k，则不等式()2fx

的解集为____；若()fx恰有两个零点，则k的取值范围为______．（15）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段AB表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，点B，C在同一水平面内，CD与水平面垂直

.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为__________．（只需写出一种方案）①CD，两点间的距离；②CE，两点间的距离；③由点C观察点A的仰角，④由点D观察点A的仰角；⑤ACE和AEC；⑥ADE和A

ED．图1数学第4页（共13页）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数sincosaxfxx(0a，0).从下列四个条

件中选择两个作为已知，使函数()fx存在且唯一确定.（Ⅰ）求fx的解析式；（Ⅱ）设22cos1xgxfx，求函数gx在0,上的单调递增区间.条件①：41f；条件②：()fx为偶函数；条件③：()fx的最大值为1；条件④：()fx图象的相邻

两条对称轴之间的距离为2.注：如果选择的条件不符合要求，第（I）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC，ABAC，1=1ABACAA，M为线段11AC上的一点．（Ⅰ）求证：1BMA

B；（Ⅱ）若直线1AB与平面BCM所成角为4，求点1A到平面BCM的距离.（18）（本小题13分）数学第5页（共13页）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01

）如下表所示：受教育程度性别未上学小学初中高中大学专科大学本科硕士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.120.030.00合计0.010.070.250.220.15

0.230.060.01（Ⅰ）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占的比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率.（Ⅱ）从Z市15岁及以上常

住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望.（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别为0年、6年、9年、12年、16年，设Z

市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数2()1xafxx．（Ⅰ）若曲线()yfx在点2,(2)f

处的切线斜率为1，求a的值；（Ⅱ）若()fx在1,上有最大值，求a的取值范围．（20）（本小题15分）数学第6页（共13页）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，焦距为23

.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P作斜率为k的直线l与椭圆C交于,AB两点.是否存在常数t，使得直线xt与直线l的交点Q在,AB之间，且总有||||||||PAQAPBQB？若存在，求出t的值；若

不存在，说明理由.（21）（本小题15分）设数列12nAaaa：，，，（2n）.如果{12}(12)ianin，，，，，，，且当ij时，(1)ijaaijn，，则称数列A具有性质P.对于具有性质P的数列A，定义数列

121()nTAttt，，：，，其中111(121)0kkkkkaatknaa，，，，，，.（Ⅰ）对()011TA：，，，写出所有具有性质P的数列A；（Ⅱ）对数列121nEeee：，，，（2n），其

中01(121)iein，，，，，证明：存在具有性质P的数列A，使得()TA与E为同一个数列；（Ⅲ）对具有性质P的数列A，若11(5)naan且数列()TA满足0(121)1iitini，，，，，奇偶，为数=为数，

求证这样的数列A有偶数个.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学第7页（共13页）北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准2022.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（

1）D（2）C（3）B（4）A（5）C（6）D（7）B（8）A（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）64（12）5（13）4；7（14）(1ln2)，；(e,)（15）①③④（答案不唯一）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（

Ⅰ）sincossin22afaxxxx.选择条件①④：因为函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，所以22，即1.所以sin22afxx.因为41f，所以sin1

22a，即2a.所以sin2fxx.„„„7分选择条件③④：因为函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，数学第8页（共13页）所以22，即1.所以sin22afxx.因为函数()fx的最大值为1，所以12a，即2a.所以sin2f

xx.7分（Ⅱ）22cos1sin2cos22sin24gfxxxxxx.因为sinyx在(2,2)22kk()kZ上单调递增，所以222242kxk()kZ.所以388kxk

()kZ.所以函数g()x在(0,)上的单调递增区间为3(0,)8和7,8.„„„13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为1AA平面ABC，所以1AAAB，1AAAC.因为ABAC，所以AC平面11AABB.所以1ACAB.因为在三棱柱111ABCA

BC中，11//ACAC，所以111ACAB.又因为1AAAB，所以四边形11AABB为正方形.连结1AB，则11ABAB.又因为1111ABACA，所以1AB平面11BAC.因为BM平面11BAC，所以

1ABBM.„„„„„„6分（Ⅱ）因为AB，AC，1AA两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系Axyz-.可得(0,0,0)A，(1,0,0)B，(0,1,0)C，1(0,0,1)A，1(1,0,1)B，1(0,1,1)C．则(1,

1,0)BC，1(1,0,1)AB，1(1,0,1)AB.数学第9页（共13页）设111(01)AMAC，则11111(1,0,1)(0,1,0)(1,,1)BMBAAMBAAC

.设(,,)xyzn为平面BCM的法向量，则00BCBM，，nn即00.xyxyz，令1x，则1y，1z，可得(1,1,1)n．则1

12122sincos42223ABABAB，nnn.解得12，则1(11)2，，n.因为113ABnn，所以点1A到平面BCM的距离为13.„„„„„„14分（18）（

共13分）解：（Ⅰ）设事件A＝“该市民年龄为15岁及以上”.事件B＝“该市民受教育程度为硕士研究生”.依题意，()0.85PA，(|)0.06PBA.由概率的乘法公式可得，()()(|)0.850.060.051PABPAPBA.因此，从全市常住人口

中随机选取1人，该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率约为0.051.„„„„„„3分（Ⅱ）从Z市15岁及以上的常住人口中随机选取1人，受教育程度为大学本科及以上的概率为0.23＋0.06＋0.01＝0.3.X的所有可能取值为0，1，2.数学第10页（共13页）

2(0)(10.3)0.49PX，12(1)0.3(10.3)0.42PXC，2(2)0.30.09PX，所以X的分布列为X012P0.490.420.09故X的数学期望()00.4910.4220

.090.6EX.„„„„11分（III）a＞b.„„„„„„3分（19）（共15分）解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为,11,1(1,)．由2()1xafxx得22221()(1)xaxfxx.则45(2)1

9af，解得1a．„„„„„„„5分（Ⅱ）22221()(1)xaxfxx．令2()21gxxax(1)x，①当0a时，20ax，因此2()210gxxax恒成立，所以22221()0(1)xaxfxx.所以()fx在(1

,)上单调递减，没有最大值．②当01a时，2()21(1)0gxxaxg恒成立，所以22221()0(1)xaxfxx.数学第11页（共13页）所以()fx在(1,)上单调递减，没有最大值．③当1a

时，方程2210xax的两个根为211xaa，221xaa.由1a得101x，且21ax．当(1,)x时有()fx在21xaa函数处取得最大值．综上，a的取值

范围为(1)，．„„„„„„„„15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，得2223,2223,.cacabc解得21ab，.所以椭圆C的方程为2214xy．„„„„„„5分（Ⅱ）存在直线1x符

合题意.直线l的方程为(4)ykx.由22(4),14ykxxy得2222(41)32(644)0kxkxk.由2222(32)4(41)(644)0kkk得3366k.设112212(,),(,)()AxyBxyxx

，x21,x2x2(,)x()fx+0()fx↗极大值↘数学第12页（共13页）则21223241kxxk，212264441kxxk.设直线xt与直线l交于点(,)QQty，因为||||||||PAQAPBQB，所以11224||||4x

xtxtx.由题设，知122x，222x，12xtx.所以12404xx，120xttx.所以112244xxtxtx.整理，得12128(4)()20ttxxxx所以2222322(644)8(4)04141

kkttkk.解得1t.所以存在直线1x符合题意.„„„„„„15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）4123，，，；3124，，，；2134，，，.„„„„„„4分（Ⅱ）由于数列121nEeee：，，，，其中01(1212)ieinn，，，，，，不妨设121

nEeee：，，，中恰有s项为1，若0s，则:,1,,1Ann符合题意；若1sn，则:1,2,,An符合题意；若01sn，则设这s项分别为：1212()skkkseeekkk，，，，构造数列12nAaaa：，，，，令12111skkkaaa，，，分别为

12nsnsn，，，，数列A其余各项1212()mmnsnsaaammm，，，分别11nsns，，，.数学第13页（共13页）经验证，数列A符合题意.………………9分（III）对于符合题意的数列12(5)

nAaaan：，，，.①当n为奇数时，存在数列11,,,nnAaaa：符合题意，且数列A与A不同，()TA与()TA相同，按这样的方式可由数列A构造出数列A.所以n为奇数时，这样的数列A有偶数个.当3n时，这样的数列A也有偶数个.②当n为偶数时，如果1nn

，是数列A中不相邻两项，交换n与1n得到数列A符合题意，且数列A与A不同，()TA与()TA相同，按这样的方式可由数列A构造出数列A.所以这样的数列A有偶数个.如果1nn，是数列A中的相邻两项，由题设知，必有1

nan，1nan，12an.除这三项外，232,,naaa是一个3n项的符合题意的数列A.由①可知，这样的数列A有偶数个.综上，这样的数列A有偶数个.„„„„„„15分