【文档说明】北京市朝阳区2022届高三数学一模试卷及答案.docx，共(12)页，876.369 KB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-84125.html

以下为本文档部分文字说明：

高三数学第1页（共12页）北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2022．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40

分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{|2}4Axx„，集合B2{|320}xxx，则AB=（A）（B）{|12}xx（C）{|2}4xx„（D）{

|14}xx（2）直线1yx被圆221xy截得的弦长为（A）1（B）2（C）2（D）22（3）已知平面向量a，b满足||2a，||1b，且a与b的夹角为3，则||ab（A）3（B）5（C）7

（D）3（4）设(0,1)m，若lgam，2lgbm，2(lg)cm，则（A）abc（B）bca（C）cab（D）cba（5）已知函数23,0()=2,0.xxfxxx，…若()=1fm，则实数m的值为（A）2（B）12（C）1（D）2（6）已知

(0,)a，则“1a”是“12aa”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知三棱锥ABCD，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该

质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为（A）3（B）6（C）9（D）12高三数学第2页（共12页）（8）已知数列{}na，若存在一个正整数T使得对任意*nN，都有n+Tnaa，则称T为数列{}na的周期．若四个数列分别满足：①112,1nnaaa

nN；②1111,1nnbbnbN；③12211,2,nnncccccnN；④111,(1)nnndddnN．则上述数列中，8为其周期的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4（9）如图1，北京2022年冬奥

会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合．如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16m，上口半径为17m，下口半径为28.5m，高为70m．在冷却塔的轴截面所在平面建立如

图3所示的平面直角坐标系，设||16OA，||17DC，||28.5EB，||70DE，则双曲线的方程近似为（参考数据：2228.53.1716，2228.52.8117，22171.1316）（A）222211638xy（B）2222

11648xy（C）222211738xy（D）222211748xy图1图2图3（10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，1VAVBVC（单位：dm），小明同学计划过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面

平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：2dm）的最大值是（A）14（B）24（C）34（D）34高三数学第3页（共12页）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．（11）计算复数i(1i)_______．（12）已知数列na是首

项为3，公比为q的等比数列，nS是其前n项的和，若3450aaa，则q_______；3S_______．（13）已知直线3x和56x是曲线sin()(0)yx的相邻的两条对称轴，则

满足条件的一个的值是_______．（14）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQAB,垂足为Q，PRAC,

垂足为R，设(0,)3PAB，则PQ____（用表示）；当点P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是_____．（15）在平面直角坐标系xOy中,设抛物线24Cyx：的焦点为F，直线:3(1)lyx与抛物线C交于点A，且点A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛

物线C的准线交于点P，与x轴交于点H．给出下列四个结论：①OFA△的面积是3；②点H的坐标是(3,0)；③在x轴上存在点Q使0AQPQ；④以HF为直径的圆与y轴的负半轴交于点N，则2AFFN．其中所有正确结论的

序号是_______．高三数学第4页（共12页）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）在ABC△中，sincos0aCcA．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件

中选择两个作为已知，使ABC△存在且唯一确定，求ABC△的面积．条件①：2bc；条件②：10sin10B；条件③：10a．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题13分）某学校在寒假期间

安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[

70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示

其成绩在[90,100]中的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差()DX与()DY的大小．（直接写结果）高三数学第5页（共12页）（18）（本小题14分）如图1，在四边形ABCD中，ACBD，ACBDO，1ODOB

，2OC，E，F分别是AB,AD上的点，EFBD∥，ACEFH，2AH，1HO．将AEF△沿EF折起到1AEF△的位置，得到五棱锥1ABCDFE，如图2．（Ⅰ）求证：EF⊥平面1AHC；（Ⅱ）若平面1AEF⊥平面BCDFE，（i）求二面角1

DACH的余弦值；（ii）对线段1AF上任意一点N，求证：直线BN与平面1ADC相交．（19）（本小题15分）已知()exfxxa，aR．（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线

与x轴重合，求a的值；（Ⅱ）若函数()fx在区间(1,)上存在极值，求a的取值范围；（Ⅲ）设()(2)gxfx，在（Ⅱ）的条件下，试判断函数()gx在区间(1,)上的单调性，并说明理由．高三数学第6页（共12页）（20）（本小题15分）已知椭圆2222:

1(0)xyCabab的一个焦点为(1,0)F，且过点3(1,)2．（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）过点(4,0)P且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线1x交于点Q，点M满足MPx轴，

MBx∥轴，试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值．（21）（本小题15分）对非空数集,XY，定义X与Y的和集{|,}XYxyxXyY．对任意有限集A，记||A为集合A中元素的个数．（Ⅰ）若集合{0,5,10},{2,1,0,1,

2}XY，写出集合XX与XY；（Ⅱ）若集合12{,,,}nXxxx满足12nxxx，3n…，且||2||XXX，求证：数列12,,,nxxx是等差数列；（Ⅲ）设集合12{,,,}nXxxx满足12nx

xx，3n…，且)1,,(2,ixinZ，集合{|}BkmkmZ剟（2,mmN…），求证：存在集合A满足1||1||nxxAB„且XAB．高三数学第7页（共12页）北京市朝阳区高三年

级第二学期质量检测一数学参考答案2022．3一、选择题：（本题满分40分）题号12345678910答案DBACCABBAB二、填空题：（本题满分25分）三、解答题：（本题满分85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为sincos0aCcA，由正弦定理sin

sinacAC，得sinsinsincos0ACCA，即sin(sincos)0CAA．因为(0,)C，所以sin0C．所以sincos0AA．所以2A.所以cos0A．所以sintan1cosAAA

．所以4A．··········································································6分（Ⅱ）选条件②③：由正弦定理sinsinabAB，及10a，10si

n10B，得10310sin410b，所以2b．因为3=4A，所以(0,)4B，题号1112131415答案1i13736（答案不唯一）60sinm22532m①③④高三数学第8页（共12页）

所以2310cos1sin10BB．所以sinsin()sincoscossinCABABAB2310210()21021055．所以115sin1021225ABCSabC

△．································13分选条件①③：由余弦定理2222cosabcbcA，及2bc，得2222102222ccc，解得2c．所以22bc．所以112sin221

222ABCSbcA△．···································13分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由题意得，(0.0060.0180.0320.0200.010)101t

，解得0.014t．因为0.06450.14550.18650.32750.20850.109572.6，所以估计全校学生的平均成绩为72.6．···········································4分（Ⅱ）

X的所有可能取值为0，1，2，3．3103152491(0)CPXC，211053151(14)59CCPXC，121053151(22)09CCPXC，35315291(3)CPXC．所以X的分布列为X0123P249145912091

291高三数学第9页（共12页）所以X的数学期望为2445202()0123191919191EX．···········10分（Ⅲ）()()DXDY．················

·························································13分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为ACDB，EFDB∥，所以ACEF．所以

1AHEF，HCEF．又因为1AH平面1AHC，HC平面1AHC，1AHHCH，所以EF⊥平面1AHC．·····························································4分（Ⅱ）（i）因为平面1AEF⊥

平面BCDFE，平面1AEF平面BCDFEEF，1AH平面1AEF，1AHEF，所以1AH平面BCDFE．因为HC平面BCDFE，所以1AHHC．又因为HCEF，如图建立空间直角坐标系Hxyz

，则(0,0,0)H，1(0,0,2)A，(0,3,0)C，(1,1,0)B，(1,1,0)D，2(,0,0)3F．所以1(0,3,2)AC，(1,2,0)DC．设平面1ADC的一个法向量为(,,)xyzn，则10,0,ACDCnn即320,20.yzxy

令3z，则2y，4x．所以(4,2,3)n．由（I）可知，EF平面1AHC，所以平面1AHC的一个法向量是(1,0,0)m．所以4429cos,||||291649nmnmnm．由题可知，二面角1DACH为锐角，高三数学第10页（共12页）其

余弦值为42929．··································································10分（ii）设(,,)Nxyz是线段1AF上一点，设11AN

AF(0)[,1]．则2(,,2)(,0,2)3xyz．解得23x，0y，22z．所以2(1,1,22)3NB．因为2104(1)23(22)8033NBn，所以0NBn．所以直线BN与平面1ADC相交．···

··············································14分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）()1exfxa，因为曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴重合，所以(1)1e=0fa

．所以1=ea,经检验符合题意.·······················································4分（Ⅱ）①当0a„时，()e10xfxa，函数()fx在区间(,)上单调递增，所以()fx在区间(1,)上无极值．所以0a„不合题意

．②当0a时，令()e10xfxa，解得1=lnxa．当1<lnxa时，()0fx，函数()fx在区间1(,ln)a上单调递增；当1>lnxa时，()0fx，函数()fx在区间1(ln,)a上单调递减．所以当1=lnxa时，函数()fx取得极大值．令1

ln1a，解得10<ea．所以a的取值范围是1(0,)e．·····················································10分（Ⅲ）由题可知，2()(2)2exgxfxxa

，10<ea．则2()e1xgxa．高三数学第11页（共12页）令()0gx，即2e10xa，解得=2+lnxa．因为10<ea，则ln1a，所以2+ln1a．当(1,)x，()0gx

，所以函数()gx在区间(1,)上单调递减．…15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知得半焦距1c，因为椭圆C过点3(1,)2，由椭圆定义得352422a，所以2a．又因为222abc

，所以3b．所以椭圆方程为22143xy．离心率e12ca．·····························5分（Ⅱ）依题可设直线:4lxmy．由224,1,43xmyxy得22(34)24360mymy

．令222357640144()144(4)mmm，得2m或2m．设2121(,),(,)AxyBxy，21yy，则1212222436,3434myyyymm，所以121223

()myyyy．由题得23(4,),(1,)MyQm，则22113,43MAMQyyymkkx．则21212112112123()3()3()333(4)()()MAMQkyyyyyy

kmyyyxymyymm2121121123()3()233()3()22yyyyyyyyy．····································15分（21）（本小

题15分）解：（Ⅰ）{0,5,10,15,20}XX，{2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}XY．···································4分（Ⅱ）因为111213123nnnnnx

xxxxxxxxxxxxx，高三数学第12页（共12页）所以XX中至少包含21n个元素，所以||21XXn…．因为||Xn，由题得||2XXn，又因为||XX是整数，所以||2

1XXn„．所以||21XXn．所以XX中的所有元素为111213123,,,,,,,,nnnnnxxxxxxxxxxxxxx．又因为1122121223,,,,,,,,nnnnnxxxxxxxxxxxxxx是XX中的21n个元素，且2

112212132nnnnnxxxxxxxxxxxxxx，所以121jjxxxx（2,3,,jn），即121jjxxxx（2,3,,jn），所以112210nnnnxxxxxx

．所以数列12,,,nxxx是等差数列．·················································9分（Ⅲ）因为{|}BkmkmZ剟，所以||21Bm．设1(21)nxxmqr，其中,q

rN，02rm剟．设{}ia是首项为1xm，公差为21m的等差数列，即1(1)(21)iaxmim，iN．令集合121{,,,}qAaaa，则111||111121||||nnnxxrxxrxxAqmBB

„．所以1111{,1,2,,(21)2}ABxxxxmqm，即11{|(21)2}ABtxtxmqmZ剟．因为11(21)(21)2nxxmqrxmqm„，所以112{|}{,,,}nnABtxtxxxx

Z剟．所以XAB．········································································15分