【文档说明】2020-2021上海市徐汇区高三数学二模试卷及答案2021.4.docx，共(9)页，777.439 KB，由baby熊上传

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徐汇区高三数学本卷共4页第页2020-2021学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2021.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．集合2{|20}Axx

x，{|1}Bxx，则AB=．2．已知函数34log2fxx，则方程14fx的解x=_____________．3．等比数列na（*Nn）中，若1612a，215a，则8a.

4．若方程2230xx的两个根为和，则||||．5．函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的部分图像如右图所示，则()fx．6．双曲线19422yx的焦点到渐近线的距离

等于．7.在二项式7(1)ax)(Ra的展开式中，x的系数为73，则23lim()nnaaaa的值是__________.8．已知正四棱柱1111DCBAABCD的八个顶点都在同一球面上，若1AB，21AA,则A、C两点间的球

面距离是.9．在ABC中，已知1AB，2BC，若cossinsincosCCyCC，则y的最小值是.10．已知三行三列的方阵111213212223313233aaaaaaaaa中有9个数(123123)ijaij，，；，，，从中任取三个数，则有且仅有两个数位于

同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是.(结果用分数表示)徐汇区高三数学本卷共4页第页11．在ABC中，12AMAB，13ANAC，BN与CM交于点E，ABa，ACb，则AE=（用a、b表示）.12．已知实数ab、使得不等式2||

axbxax对任意[1,2]x都成立，在平面直角坐标系xOy中，点(,)ab形成的区域记为.若圆222xyr上的任一点都在中，则r的最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个

正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设:1x且2y，:3xy，则是成立的-----------------------------（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条

件14．设1z、2z为复数，下列命题一定成立的是----------------------------（）A.如果02221zz，那么021zzB.如果21zz，那么21zzC.如果az1，a是正实数，那么aza1D.如果a

z1，a是正实数，那么211azz15．若是R上的奇函数，且()fx在[0,)上单调递增，则下列结论：①|()|yfx是偶函数；②对任意的Rx都有()|()|0fxfx；③()()yfxfx在(,0]上单调递增；④反函数1

yfx存在且在(,0]上单调递增．其中正确结论的个数为----（）A．1B．2C．3D．416．已知na是公差为(0)dd的等差数列，若存在实数1239,,,,xxxx满足方程组1239112233

99sinsinsinsin0,sinsinsinsin25,xxxxaxaxaxax则d的最小值为----------------（）A.98B.89C.54D.45()fx徐汇区高三数学本卷共4页第页三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在

答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，BCBA，21BBBCBA.（1）求异面直线1AB与11AC

所成角的大小；（2）若M是棱BC的中点.求点M到平面CBA11的距离.18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知函数2()1fxxax.（1）若2a，求函数fx的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数fx的奇偶性.19.

（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）元宵节是中国的传统节日之一.要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长(长度大于AC、两点距离)的绳子两头分别拴住AC、；BD、，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯

呈水平状态，如图.花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设PAC=θ，所有绳子总长为y米.(打结处的绳长忽略不计)(1)将y表示成θ的函数，并指出定义域；(2)要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长.(精确到0.01米)徐汇区高三数学本卷共4页第页20.（

本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知椭圆22163xy上有两点2,1P及2,1Q，直线:lykxb与椭圆交于A、B两点，与线段PQ交于点C（异于P、Q）.(1)当1k且12PCCQ时，求直线l的方程

；(2)当2k时，求四边形PAQB面积的取值范围；(3)记直线PA、PB、QA、QB的斜率依次为1k、2k、3k、4k.当0b且线段AB的中点M在直线yx上时，计算12kk的值，并证明：221234

2kkkk.21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数,,abc(abc)，,,abc都不能成为等差数列，则称M为“集”.(1)判断集合{1,2,4,

8,,2}n(*N,3nn)是否是集？说明理由；(2)已知*N,3kk.集合A是集合{1,2,3,,}k的一个子集，设集合21BxkxA，求证：若A是集，则AB也是集；(3)设集合34122222,,,,,,3341nnCnNnnn，判断

集合C是否是集，证明你的结论.徐汇区高三数学本卷共4页第页2020-2021第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2021.4一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分1．1,22．13．44．235．2sin4x6．3

7．128．29．1210．3711．2155ab12．22929二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．A14．D15．B16．C三．解答题：（本大题共5题，满分74分）17．（

本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解】由于11//ACAC，所以1CAB（或其补角）即为异面直线1AB与11AC所成角，2分连接1CB，在1ABC中，由于1122ABBCAC，所以1ABC是等边三角形，所以13CAB，所以异面

直线1AB与11AC所成角的大小为3.-------6分（2）如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为2,0,0C、0,2,0B1、0,2,2A1、M0,0,1.-------

----------------------8分设平面CBA１１的法向量为,,nuvw，则11BA,BnCn１.2,2,0B1C，0,0,2BA11，且0BA,0B111nCn，

002022uvwuwv，取1v，得平面CBA１１的一个法向量为1,1,0n，------------------11分且2n，又1MB0,2,1，于是点M到平面CBA１１的距离1MB0012112222ndn

所以，点M到平面CBA11的距离等于22.-------------------------------------14分解法二：过点M作1MNCB交1CB于N，由1111111MNCBMNABCBABBMN平面11ABC.

徐汇区高三数学本卷共4页第页在RtCMN中，由4MCN，1CM，得22MN，所以，点M到平面CBA11的距离等于22.（解法三：利用等体积法，略.）18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）函数fx的定义域为1,1，由2a，得

2210xx，化简得222210xx，即222102xx1,1，所以，函数fx的零点为22x.------------------------------------6分（注意

：不求定义域扣1分）（2）函数fx的定义域为1,1，若函数fx为奇函数，则必有110ff代入得110aa于是11aa无解，所以函数fx不能为奇函数--------9分若函数fx为偶函数，由11ff得11aa解得0a；-

--------12分又当0a时，2()1fxxx，则22()11fxxxxxfx对任意1,1x都成立.-------------------------------------------------13分综上，当0a时，函数fx为偶

函数，当0a时，函数fx为非奇非偶函数.--14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)设上底中心为M，则|AM|=0.42，|PM|=0.42tanθ，|PA|=0.42cosθ，故y=4|PA|+|OP|=4|PA|+|OM|-|PM|=1.6210.4

2tancosθθ=0.42(4sin)1cosθθ,---------------5分520,arctan4θ.-----------------------------------------------------------

-------------------------6分(2)记A=4sincosθθ，则sin4θ+Acosθ，即21sin(Aθ+)=4，徐汇区高三数学本卷共4页第页由sin(θ+)1,得15A，等号成立时arctan152πθ=520,arctan4，-

---------10分从而ymin=0.430+13.19(米)，-----------------------------------------------------------------11分此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米.--

----------------------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)设C(a,b)，则2,1),(2,1)PCabCQab

（，由12PCCQ，得12(2),211(1),2aabb解得2,31.3ab所以，直线l的方程为12()33yx，即10xy.--------------------4分(2)直线l的方程为2yxb，代入椭圆方

程，整理得2298260xbxb(*)--5分则|AB|=2222(8)36(26)25(542)1299bbb,-----------------------6分由l与线段PQ相交，有4141055bb，得55b，---------------

-7分由12PQk，2lk知1PQlkk，所以ABPQ且25PQ，故四边形PAQB的面积S=1||5||2ABPQAB=2105429b，-------------9分其取值范围为20106,93.-----------------------------

-------------------10分(3)将直线l的方程:lykxb，代入椭圆方程，整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0(*)11分设A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB中点坐标为1212,22xxyy，且x1,x2为方程(*)的两根，则x1

+x2=2412kbk.徐汇区高三数学本卷共4页第页由条件，有1212022xxyy，即x1+x2+y1+y2=0，--------------------------12分又y1=kx1+b，y2=kx2+b，故有(1+k)(x1+x2)+2b=0，即24(1)()201

2kbkbk，解得b=0（舍）或k=12.-----------------------13分当k=12时，x1+x2=43b，x1x2=24123b，则12kk=1212121211(1

)(1)112222(2)(2)xbxbyyxxxx21212121211()(1)1422()42bxxxxbxxxx，----------------------------------14分又由于34k

k=21212121212121212111+1(+1)(+1)()(+1)+1+112242-2-2(-2)(-2)-2()42bxbxbxxxxbyyxxxxxxxx，由12kk，利用基本不等式有221234

2kkkk成立.----------------------------16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)【解】(1)任取三个不同元素2i<2j<2k(其中0i<j<kn)，若此三数成等差数列，则2i+2k=2

2j，但2i+2k>2k2j+1=22j，因此这三个数不能成等差数列.所以，集合{1,2,4,8,,2}n(*N,3nn)是“集”.----------------------4分(2)反证法.假设AB不是“集”，即AB中存在三个不同元素x<y<z，使x,y,z成等差数列，则

x+z=2y.------------------------------------------5分因为A是“集”，所以，x,y,z不能全在A中；----------------------------6分如果x,y,z全在B中，则[x-(2k-1)]+[z-(

2k-1)]=2[y-(2k-1)]依然成立，且x-(2k-1)，y-(2k-1)，z-(2k-1)都在A中，这说明A中存在三个数构成等差数列，即A不是“集”，与条件矛盾，因此，x,y,z也不能全在B中.---------------7分由于B中最小可能元素（为2k）大于A中最大可能元素（为k

），所以必有xA，zB.----------------------------------------------------8分从而，y=12(x+z)12[k+k+(2k-1)]=2k-12<2k，故yB；徐汇区高三数学本卷共4页第页同样，y=12(x+z)12

[1+1+(2k-1)]=k+12>k，故yA.这与yAB矛盾，故AB也是“集”.-----------------------------10分(3)集合C是“集”，证明如下：记121kkakNk，则21112220211(2)kkkkkkaakkkk

，故1234naaaaa.-----------------------------------------12分任取,,ijkaaaC(其中1i<j<k)，则ijkaaa.当kj+2时，2

221222201(3)jikjijjjjjaaaaaaaajj(这是由于j>i1,故j2)，即2ikjaaa；-------------------------14分当k=j+1

时，若,,ijkaaa成等差数列，则2ikjaaa，即+12ijjaaa，化简得11(+2=12jijji）„„(*)----------------15分从而1(+2jj）是12ji的正整数倍，由于1j与2j互质(为两个连续正整数

)，因此1j是12ji的正整数倍或2j是12ji的正整数倍，-----------------16分若1j是12ji的正整数倍，则1j12ji，而211jji，则(*)式不成立；

若2j是12ji的正整数倍，则2j12ji，而11ji，(*)仍不成立.综上可知，,,ijkaaa不能成等差数列，即证明了集合C是“集”.----------18分