【文档说明】2020-2021上海市松江区高三数学二模试卷及答案2021.4.doc，共(10)页，605.000 KB，由baby熊上传

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高三数学第1页共10页松江区2020-2021第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021．4考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择

题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，

第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知集合{11}Axx，{1,2,3}B，则AB▲．2．若复数z满足(1i)2z（i为虚数单位），则z▲．3．已知向量(4,2)a，(,2)bk，若

ab，则实数k=▲．4．在6(2)x的二项展开式中，3x项的系数为▲．（结果用数值表示）5．如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD中，1111ACBDF，若1AFxAByADzAA，则xyz=▲．6．若函数()fxxa

的反函数的图像经过点(2,1)，则a=▲．7．已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为▲．8．因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行

核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为▲．9．已知函数tan()6yx的图像关于点(,0)3对称，且1，则实数的值为▲．10．如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在

正六边形内（含边界），则APBP的取值范围是▲．11．已知曲线C：2(12)xyx，若对于曲线C上的任意一点(,)Pxy，都有12()()0xycxyc，则12cc的最小值为▲．AFA1DBCB1C1D1高三数学第2页共10页12．在数列{}n

a中，13a，11231nnaaaaa，记nT为数列1{}na的前n项和，则limnnT=▲．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．经过点(1,1)，且方向向量

为(1,2)的直线方程是（）A．210xyB．230xyC．210xyD．230xy14．设，表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l，则//l是//的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分

又非必要条件15．已知实数a、b满足(2)(1)8ab，有结论：①当0,0ab时，ab存在最大值；②当0,0ab时，ab存在最小值．正确的判断是（）A．①成立，②成立B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立D．①不成立，②成立16．已知函数1()2fxxax

．若存在相异的实数12,(,0)xx，使得12()()fxfx成立，则实数a的取值范围为（）A．2(,)2B．(,2)C．2(,)2D．(2,)三、解答题（本大题满分76分）本大题共有

5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB、CD是底面圆的两条直径，且ABCD

，4,2SOOB，P为SB的中点．（1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点S到平面PCD的距离．ABDCOPS高三数学第3页共10页18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数()22xxfxa

（a为常数，aR）．（1）讨论函数()fx的奇偶性；（2）当()fx为偶函数时，若方程(2)()3fxkfx在[0,1]x上有实根，求实数k的取值范围．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备

将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为100米，圆心角为23，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且//PQOA．（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；（精确到米）（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/

平方米、20元/平方米．要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．（精确到元）ABPQO玫瑰花区郁金香区菊花区高三数学第4页共10页20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已

知抛物线24yx的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点．（1）若直线l的方程为1yx，求线段AB的长；（2）若直线l经过点(1,0)P，点A关于x轴的对称点为A，求证：A、F、B三点共线；（3）若直线l经过

点(8,4)M，抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于至少有四项的实数

列na，若对任意的n*(,3)nNn，都存在s、t(其中*,,,,)ststNsntn，使得nstaaa成立，则称数列na具有性质P．（1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2是否具有性质P，请说明理由；（2）已知数列

{}na是公差为(0)dd的等差数列，若sinnnba，且数列{}na和{}nb都具有性质P，求公差d的最小值；（3）已知数列||ncnab（其中ab，Nba,），试探求数列{}nc具有性质P的充要条件．高三数学第5页共10页2021.4松

江区高三数学二模试卷参考答案一、填空题1．{1}；2．1i；3．1；4．160；5．2；6．3；7．:4；8．3742；9．12或1；10．1[,3]4；11．322；12．23二、选择题13．A14．B15．C1

6．B17．解：（1）连接OP，∵P为SB的中点，∴OP为ABS的中位线，∴//SAOP．∴OPD即为异面直线SA与PD所成角．……2分∵ABCD，SOCD∴CD平面SOB，而OP在平面SOB内，∴CDOP．…………4分在直角三角形OPD中，2OD，22111245222OPSA

SB，…………5分∴225tan55ODOPDOP，25arctan5OPD，异面直线SA与PD所成的角为25arctan5．…………7分（2）以O为坐标原点，OD、OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系，则(0,0,4),(0,1,2),(2,0,0)SP

D，…………9分设平面PCD的一个法向量为(,,)nuvw由00nOPnOD，得2020vwu，所以02uvw，…………12分不妨取(0,2,1)n则点S到平面PCD的

距离44555nOSdn…………14分18.高三数学第6页共10页解：（1）()22xxfxa………………1分当()fx为偶函数时，由()()fxfx得2222xxxxaa………………

2分∵对任意的x，(1)2(1)2xxaa恒成立，∴10,1aa………………4分当()fx为奇函数时，由()()fxfx得2222xxxxaa………………5分∵对任意的x，(1)(22)0xxa恒成立，∴10

,1aa………………6分∴1a时，()fx为偶函数；1a时，()fx为奇函数；1a时，()fx为非奇非偶函数；………………7分（2）由已知，xxxf22)(，令22xxt，则由[0,1]x知5[2,]2t……8分则222)2(222txfxx方程3)(

)2(xkfxf化为3)2(2ktt，所以ttk5…………10分由于xxy5在),0(上递增…………11分2t时，21252mink，…………12分25t时，21225mink…………13分]21,21[k时，方程

3)()2(xkfxf有解…………14分19.解：（1）因为扇形的半径为100M，Q是OB中点，所以50OQ，…………1分因为PQOA，23AOB，所以3OQP，…………2分在OPQ中，由余弦定理，得：222

2cosOPOQPQOQPQOQP…………4分即：25075000PQPQ，所以252513115PQ（米）………………6分（2）法一：设,OQxPQy，在OPQ中，由余弦定理，得：2222cosOPOQPQOQPQOQP即：2210000xyxy

…………8分由基本不等式得：22xyxyxy，所以10000xy高三数学第7页共10页而13sin2500324OPQSOQPQOQPxy当且仅当100xy时，OPQ的面积的最大值为25003，……………………10分此时OPQ为正三角形，3QOP

，则3AOP．……………………11分所以21500023AOPSAOPOA扇，25003OPQS，5000250033BPQSSSSOPQ扇AOB扇AOP……………………12分种植花卉总投入为：25000030502

07500033917033BPQSSSOPQ扇AOP（元）所以，郁金香的种植区OPQ的面积最大值为25003平方米，扇形区域AOB的种植花卉的总投入为391703（元）……………………14分20.解：设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y．（1）联立2

41yxyx得：2610xx．……………………2分由韦达定理：126xx．易知直线l经过抛物线的焦点(1,0)F，由准线1x得：1212||||||(1)(1)28ABOAOBxxxx

．……………………4分（2）证明：设直线l的方程为(1)ykx，……………………5分联立方程组2(1)4ykxyx，消去y可得：2222(24)0kxkxk，……………………6分设1(Px，1)y，2(Qx

，2)y，则1(Sx，1)y，212242kxxk，121xx，……………………7分221FQykx，111FSykx，21211212211212(1)(1)(1)(1)2(1)011(1)(1)(1)(1)FQ

FSyykxxkxxkxxkkxxxxxx，……9分高三数学第8页共10页FQFSkk，即S，F，Q三点共线．……………………10分（3）假设存在定点N，设20(4yN，0)

y，221212(,),(,)44yyAyBy，………11分设直线l的方程为：(4)8xmy联立24(4)8yxxmy，整理得2416320ymym，△0，12124,1632yymyym

，……………………13分由以弦AB为直径的圆恒过点N，知0NANB得：222201020102()()044yyyyyyyy……………………14分整理得：2001212()160yyy

yyy所以，200416160yymm即：200(416)160ymy对mR恒成立。所以，04160y，即：04y所以存在定点(4,4)N，使以弦AB为直径的圆恒过点N。……………

………16分21.解：（1）对于数列1,2,3,4，∵312,321，∴不具有性质P……………2分对于数列1,0,1,2，∵101,21(1)，∴具有性质P……………4分（2）∵数列{}na具有性质P，∴321aaa，1ad或13ad.当1ad

时，(2)nand，12nnnaaa，{}na具有性质P当13ad时，12343,2,,0adadada，{}na不具有性质P∴(2)nand……………6分此时1234sin,0,sin,sin2,bdbbdbd

有321bbb由于{}nb也具有性质P∴421bbb或431bbb或432bbb即sin2sindd或sin22sindd,0sind或cos1d或21cosd高三数学第9页共10页∴()dkkZ或Zkkd,3，…………

…8分当3d时，(2)2sinsinsin()333nnnnba，此时6nnbb，∴数列{}nb的6项为：23,0,23,23,0,23，由于362145327865,,bbbbbbbbbbbb且6nnbb，9n时，nb也具有性质P，符合

题意.d的最小值为3d……………10分（3）banan||（其中Nbaba,,）数列}{na具有性质P，则123aaa或213aaa……………11分baabaabaa|3|,|2|,|1|321|1||2||3|aaba，或|2||1||3

|aaba即baaa|1||2||3|，或baaa|2||1||3|……………12分①若1a，则1b或3b，由于ba，3b3,1ba时，此时4nan，前四项为0,1,2,3，第四项0不是前三项中某

两项之差，舍去………………………13分②2a，则2b，由于ba，舍去③3a，则1b，此时1|3|nan.前四项为0,10,1，第四项0不是前三项中某两项之差，舍去………………………14分④若4a，2ab或4a2ab时，2||aanan,即

ananannan,22,2，前四项为2,1,0,1.由于anaaanaaannn,3,3111，数列}{na具有性质P………………………16分4ab时，4||a

anan，即ananannan,42,4，前四项为0,1,2,3.第四项0不是前三项中某两项之差，舍去………………………17分高三数学第10页共10页数列}{na具有性质P的充要条件是2ab且4a.………

……18分